借空间动态问题 培养直观想象能力

近期，以“关注学教评，迎接新挑战”为主题的教学研讨活动在某兄弟学校举办，笔者受邀面向该校高三学生开设了一节微专题课.考虑到一轮复习接近尾声，学生已经掌握了立体几何的基本知识，于是就以“立体几何中的动态问题”为课题，编制学案并提前发给学生预习.下面将这节课的教学过程整理如下，并结合课例谈谈直观想象能力的培养问题.

1 教学分析

本节课研究立体几何中的动态问题，包括动点形成的轨迹、运动过程中的位置关系和最值等.

教学目标如下：

（1）熟悉立体几何中的动态问题，会求长度、面积、体积等的最值，培养直观想象与数学运算核心素养.

（2）熟练运用函数思想、轨迹思想，培养应用数学知识解决动态问题的能力.

（3）熟悉多媒体技术的辅助作用，形成数学直观，培养认识客观事物本质的能力.

教学重点：分析动态图形的形成原因以及运动规律，会求相应度量的最值.

教学难点：发挥空间想象能力，探求并证明动点的轨迹.

2 教学过程

2.1 先温故，再入新

上课前，笔者已布置学生完成如下两道小题：

（1）如图1所示，正三棱锥S-ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是SA，SB，CB，CA的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（" ）.

A.（0，＋∞）

B.33，＋∞

C.36，＋∞

D.12，＋∞

（2）（多选题）如图2所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点（点P不与点C，C1重合），过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（" ）.

A.A1C⊥平面α

B.存在点P，使得A1C∥平面α

C.存在点P，使得点A1到平面α的距离为53

D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

上课后，笔者请学生口述解题思路及结果.

生1：第（1）题，根据正三棱锥对棱垂直可得SC⊥AB，结合三角形的中位线，可推出四边形EFGH是矩形，所以其面积为EF·FG=12SC.当正三棱锥的高趋近于0，即点S趋近于△ABC的中心时，SC趋近于233，所以四边形EFGH面积的最小值趋近于33.故选：B.

生2：第（2）题，对于选项A，根据条件可以证明平面BDC1∥平面α，而正方体中A1C⊥平面BDC1，所以A1C⊥平面α，因此选项A正确.对于选项B，A1C与平面α相交，因此选项B错误.对于选项C，当点P趋近于点C时，点A1到平面α的距离趋近于3，当点P趋近于点C1时，点A1到平面α的距离趋近于233，所以点A1到平面α的距离的范围是233，3，因此选项C正确.对于选项D，

经过点P，M，D1的完整截面是梯形PMAD1（如图3），因此选项D正确.故选：ACD.

点评：这两道小题属于“开胃小菜”，是立体几何中比较简单的动态问题，涉及到图形的面积、形状.第（1）题常规解法是引入变量，将四边形面积表示为函数形式，但这种解法显然不适用于小题，所以用极限思想可以多想少算，从而解决问题.第（2）题抓住平面α始终与平面BDC1平行，就可以迅速判断前三个选项的正误，选项D考查学生作出几何体完整截面的能力.

设置这两道题目旨在复习空间中平行与垂直关系的判断，以及相关面积与距离的计算，培养学生用运动的视角处理动态问题，激发学生灵活思考问题的能力，为新课做好铺垫.

2.2 剖析新题，揭示动态本质

（1）动点保持定长条件下的最值问题

例1" 如图4所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，AB=AA1=4，BC=43，若动点P在侧面AA1C1C内运动，且PB1=13，则线段BP长的最小值为.

生3：首先，需要探索点P在平面AA1C1C内的轨迹.因为线段PB1的长度是定值13，所以点P在空间内的轨迹是以B1为球心，13为半径的球.而点P又在侧面AA1C1C内，所以点P在侧面AA1C1C的轨迹就是球面与该侧面的交线（即一段圆弧）.

如图5，过点B1作B1F⊥A1C1，利用等面积法可以推得B1F=A1B1·B1C1A1C1=23.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由于A1A⊥平面A1B1C1且B1F平面A1B1C1，则A1A⊥B1F.由此可证得B1F⊥平面AA1C1C，所以B1F⊥PF.所以截面圆半径r=PF=PB21－B1F2=（13）2－（23）2=1.

得到点P的轨迹后，接下来构造直角三角形计算线段BP的长度.作BE⊥AC于点E，同理可证BE⊥平面AA1C1C，则BE⊥EP，故BP=BE2+EP2=12+EP2.又EF∥AA1，所以线段EP的最小值为4－r=3，故BPmin=12+EP2min=12+9=21.

点评：此题难点在于根据定长PB1=13探索点P在侧面AA1C1C内的轨迹.生3把点P的轨迹看成球面与侧面AA1C1C的交线，体现了他能够深刻理解动点的运动规律，具有良好的空间想象能力.

（2）动点保持平行或垂直条件下的最值问题

例2" （1）如图6，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝4，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG平行，则△BB1P的面积最小值是.

（2）如图7，已知正四面体ABCD的棱长为2，E是棱CD上一动点，若BF⊥AE于点F，则线段CF长度的最小值为.

生4：对于第（1）题，首先我们要画出平面EFG与长方体的完整截面，即平面EFGHQR1（如图8）.因为D1A∥QR1，D1C∥HG，所以可以证明平面ACD1∥平面EFGHQR1，所以P∈AC.由BB1⊥平面ABCD可得BB1⊥BP，所以S△BB1P=12BB1·BP=2BP.在平面ABCD内作BR⊥AC于点R，当点P与点R重合时，BP最短为125，则△BB1P的面积最小值为245.

生5：对于第（2）题，首先根据BF⊥AF可知，点F在以AB为直径的球面上，球心是线段AB的中点O，又因为点F也在平面ACD内，所以球O与△ACD的交线（应该是一段圆弧）就是动点F的轨迹.但是接下来就没有思路了.

扫码看动画

师：我们一起看动画课件（扫码看动画），然后再想一想，当平面截球时，怎么找截面圆的圆心呢？

生5：过点O作OQ⊥平面ACD于点Q，那么Q就是上述圆弧对应的圆心（如图9所示）.取线段CD的中点M，根据正四面体的性质可知，点Q在线段AM上.

因为正四面体的棱长为2，所以它的高h=263，从而OQ=12h=63.所以圆Q的半径r=1－OQ2=33.而CQ=1+MQ2=213，所以CF≥CQ－r=21－33.因此线段CF长度的最小值为21－33.

点评：这两小题是在动点满足平行或垂直的条件下研究相应的动点轨迹.生4抓住D1P∥平面EFG，想到过点D1作一个辅助平面D1AC与平面EFG平行，那么平面D1AC与平面ABCD的交线就是点P的轨迹.生5的分析过程，体现了垂直关系的转化，把点F的轨迹看成是球面与平面的交线.由此可见，这两位学生抓住了空间动态问题的本质，学会了如何运用空间想象和逻辑推理来探索数学，解决数学问题.

（3）图形翻折过程中的最值问题

例3" 如图10，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AF⊥平面ABC，且AF＝3.E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则三棱锥M-BCF体积的最小值是.

生6：本题的目标是求解三棱锥M-BCF体积的最小值.为达到这一目标，我们需要弄清如何翻折矩形ABCD才能使三棱锥M-BCF的体积最小.由于M为BD′的中点，所以当点M到平面BCF的距离最小时，三棱锥M-BCF的体积也将是最小的.也就是说，

我们需要找到使点D′到平面BCF的距离最小的翻折方式.在△D′AE翻折的过程中，点D′在以点A为球心，半径为1的球面上运动.如图11所示，过点A作AH⊥BF，则AH⊥平面BCF.在Rt△ABF中，AH＝32，所以点D′到平面BCF的距离的最小值为AH－AD′＝12，此时点M到平面BCF的距离为14.最终，我们可以通过体积公式计算出三棱锥M-BCF体积的最小值，所以三棱锥M-BCF的体积的最小值为13×14×3＝312.

点评：平面图形的翻折问题是典型的动态问题，本题引导学生掌握解决图形翻折过程中的最值问题的方法，强调动态问题中的几何变换与最值关系.学生不仅能够求出三棱锥M-BCF体积的最小值，还能够深入理解翻折问题中几何体体积变化的动态过程.

2.3 总结方法，掌握解题策略

师生一起归纳解决立体几何动态问题的要点：

第一，准确识图，根据图形把握空间几何元素的位置关系并想象它们的动态过程；

第二，在动态过程中寻找动点轨迹、函数关系式、不变因素以及极限位置等，找到关键几何元素的运动规律；

第三，要善于运用降维思想把空间问题转化为平面问题，从而提高思维的精准度.

3 教有所得

首先，培养学生的直观想象素养需要借助多种有效载体.就立体几何来说，可以用实物模型，也可以借助GGB软件演示三维模型，直观地反映立体几何中切、接、截等问题（如例2的第二小题），帮助学生认识空间几何体的结构特征以及空间点线面的位置关系.这些载体能够帮助学生直观地感知数学概念的形成过程，也有助于提升学生数学抽象思维水平.其次，本节课以动态问题为背景，例题和习题体现了典型性，学生在探究和解决的过程中分析引起图形动态变化的因素，体悟到数学思想方法的作用.因此，空间动态问题有利于展现学生的思维过程，实现强化直观想象能力的教学目标.最后，在解决空间动态问题时，学生既要能想象出几何体中元素的位置关系，更要能说出动态过程中动点的运动规律，即学生的语言描述能力更能体现他们真实的数学思维水平.在教学过程中，笔者都是尽可能地让学生说思路和解法，必要时让学生走上讲台，一边作图一边讲述解题过程，这样能让学生的思维自然地流淌.因此，教学要及时捕捉学生的思维火花，实现学生直观想象能力的再成长.