内容自然 学得自然 教得自然

摘要：数学是自然的，数学概念的产生与发展也具有自然性.基于章建跃博士提出的理解数学、理解学生、理解教学的理论，本文中以“二面角的概念”教学为例，进行了体现概念教学自然性的教学设计与实践，试图探索一种内容自然、学得自然、教得自然的概念课教学模式.

关键词：概念;教学;自然

课题信息：2021年度重庆市教学科学“十四五”立项一般课题“基于深度学习的高中新教材概

念教学实践研究”，课题批准号为2021-16-615.

数学概念是反映一类事物在数量关系与空间形式方面本质特征的思维形式，是数学逻辑思维的起点.正如刘绍学教授指出的，数学是自然的，数学概念的产生与发展也具有自然性.但受到重练习轻概念思想的影响，教学中经常出现直接给出概念，忽略概念生成过程的现象，使得概念的生成十分生硬，失去了其自然性.这不利于学生真正理解概念，不利于学生数学思维的培养与核心素养的发展.因此，教师应通过合理的教学设计体现概念教学的自然性，让学生真正感受数学是自然的［1］.本文中以“二面角的概念”教学为例进行教学设计与实践，试图探索一种内容自然、学得自然、教得自然的概念课教学模式.

1 教学过程

教育家夸美纽斯指出，教育要遵循自然秩序与学生认知规律.本文以建构主义学习理论为指导，以发展学生学科核心素养为导向，以促进学生深度学习为目标，引导学生体会概念本身逻辑结构的自然，感受概念生成过程中思维的自然.

1.1 创设情境，让概念自然抽象

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课程标准”）中指出，在教学活动中，应创设适合的情境与问题，引导学生从情境中抽象出数学概念，累积从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活与实践中一般性思考问题的习惯，让数学素养自然发展［2］.

情境：2023年2月22日，重庆最大装机容量屋顶光伏项目在两江新区完成并网及试运行.该项目光伏面板总面积25万余平方米，预计年发电量可达2 600万千瓦时，减少碳排放2万余吨.

问题1" 图1中蕴含了哪些几何图形，它们具有怎样的位置关系？

生1：光伏板所在平面与地面相交，即平面与平面相交.

问题2" 当光伏板绕着与地面的交线转动时，两个平面间的什么量发生了改变？

生2：角度.

师：这就是我们今天要讨论的问题——二面角.

设计意图：通过创设现实情境，学生能够自然抽象出二面角的图形，体会二面角学习的必要性.培养学生民族自豪感，体现数学育人.

1.2 类比旧知，让概念自然迁移

著名教育家波利亚说过：“类比是一个伟大的引路人.”类比就是通过比较已有知识与新知识之间的相似之处，建立新旧知识间的联系，让知识自然迁移，方法自然延伸.

问题3" 类比平面中角的概念，能否给出空间中二面角的概念？

类比平面中角的概念，学生自然得到二面角的概念、要素、表示等，如表1所示.

设计意图：通过类比，促使学生体会二面角与平面角之间的联系，感受二面角概念迁移的自然发生，发展学生数学抽象、逻辑推理核心素养.

1.3 问题串联，让概念自然辨析

心理学家布鲁纳指出，教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.问题串是在解决思维跨度较大的问题时，设计的具有层次性、启发性、驱动性的多个问题，启发学生思维，激发学生思考，让学生由浅入深地理解知识本质，体会研究思路［3］.

问题4" 随着半平面绕着棱旋转，二面角的大小随之改变，那如何度量二面角呢？

生3：可以类比线面角.如图2，直线与平面α所成的

角是过直线l上任一点P（非点A）作平面α的垂线构造Rt△PAB，用∠PAB表示线面角，其本质是用平面角度量线面角的大小，所以我认为也应该找一个平面角来度量二面角的大小.

问题5" 如图3，在二面角

α-MN-β中，怎样构造平面角？

生4：可以在平面β内找一条直线PA与棱MN交于点P，就构造出了平面角∠APN.

生5：我认为∠APN不行，因为半平面β绕着棱MN旋转时，二面角大小变了，而∠APN的大小却不变.我觉得应该在平面α内找一条直线PB，取∠APB，如图4.此时∠APB就会随着二面角的变化而变化.

问题6" 这样的∠APB唯一吗？

生6：不唯一.当直线PB绕着点P在平面α内旋转时，∠APB也在改变，那到底取哪个角呢？

生7：我们可以类比线面角的取法，如图5所示，过点A向平面α引垂线，垂足为Q，连接PQ，这样就可以唯一确定线面角∠APQ，就可以用它来度量二面角.

生8：这个∠APQ也不唯一呀！当点P在棱上移动时，线面角∠APQ也在发生改变，还是不知道取哪个线面角来度量二面角.

（此时，学生陷入了沉思.）

问题7" 既然这样，那我们来研究一下点P在棱上移动时，∠APQ是怎样变化的吧？

生9：我从直观感觉，不知道对不对.如图6，当点P移动到点O，使得OQ⊥MN时，显然OA⊥MN，此时∠AOQ应该是最大角，当点P向棱的两端移动时，∠APQ会越来越小.

（学生纷纷点头表示赞同.）

此时，教师利用动态数学软件GeoGebra直观展示在点P移动过程中∠APQ的变化情况，验证了学生的猜想，如图7所示.

问题8" 刚才我们利用信息技术直观感受了猜想是正确的，那该如何证明呢？

生10：在Rt△AQP，Rt△AQO中，sin∠APQ=AQAP，sin∠AOQ=AQAO，因为AO⊥MN，则有AP≥AO，所以sin∠AOQ≥sin∠APQ，进而得到∠AOQ≥∠APQ.

问题9" 现在你会选择哪个角来度量二面角？为什么？

生11：现在会选择∠AOQ，因为它具有唯一性与最大性.

师：非常好！数学上常常用研究对象所能取到的最值来定义概念.例如，异面直线的距离就是用两异面直线上两点距离的最小值来定义的.那我们就得到了二面角的平面角的概念——在二面角α-MN-β的棱MN上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱MN的射线OA和OQ，则射线OA和OQ构成的∠AOQ叫做二面角

α-MN-β

的平面角［4］.

问题10" 二面角的平面角概念中有哪些关键词？

生12：“垂直”，当点O确定时，它可以保证∠AOQ的唯一性与最大性.

生13：“任取”，点O在棱MN上取不同位置时，由于等角定理，得到的角其大小都一样，进一步说明了其唯一性.

（此时一个学生举手发言.）

生14：我有一个问题，当二面角α-MN-β为钝二面角时，二面角的平面角还是最大的线面角吗？

（问题一出，学生从最开始的窃窃私语，渐渐演变成激烈讨论，最后讨论声慢慢变小，最终归于安静.）

问题11" 现在你知道钝二面角的平面角是哪个角了吗？

生14：知道了，应该是最大线面角的补角.

思考：请同学们对比直线与平面所成的角概念和二面角的平面角概念的生成过程，有哪些相同（或相似）的方法与思路.

设计意图：通过问题串，促使学生自然经历二面角的平面角概念的提出、修正，再提出、再修正过程，并从直观感知逐步提升到理性分析，在发现唯一性与最大性的同时体会其合理性，进而理解概念本质.培养学生严谨的思维品质，发展学生直观想象、逻辑推理核心素养.

1.4 实践评价，让概念自然运用

新课程标准中指出，教学评价是数学教学活动的重要组成部分.教学过程中，教师应及时自然地采取课堂实践活动、课内作业等方式了解学生课堂学习目标与学科核心素养的达成情况，为改进学生学习行为与教师教学行为提供依据.

练习" 已知某时刻两江新区屋顶光伏项目基地的太阳高度角（指太阳光线与水平面所成角）是60°，假设光伏板会随着太阳的移动而转动并始终保持与太阳光线垂直.此时光伏板与水平面所成的二面角的大小是多少？

设计意图：通过设计与课堂引入相呼应的实践应用，考查学生学习成效的同时，加深学生对概念的理解，让学生感受数学来源于生活，运用于生活，引导学生认识学科价值，发展学生数学建模素养.

2 总结与反思

章建跃博士指出，教好一堂课要理解三个方面，即理解数学、理解学生、理解教学.那么一堂自然的好课就必须满足：内容显得自然，学生学得自然，教师教得自然.

2.1 内容自然——把握概念本质，让概念生成更自然

数学概念的本质是指一个数学对象，在一定的范围内所保持的不变性质.概念教学是否把握了其本质，关键在于是否抓住了概念的不变性质［5］.

教学中，不能用感性认同代替对概念不变性的挖掘.例如，在二面角的平面角概念教学中，部分学生通过直观感知认为一个角的两边，只要分别在两半平面上就可以作为二面角的平面角，这并未触及概念本质，所以教师继续提问引发学生质疑，提出作线面垂直以及找棱的垂线构造平面角，并利用信息技术动态展示与几何证明发现其具有唯一性与最大性，进而定义概念，体现概念本质.最后提出思考：对比直线与平面所成的角概念和二面角的平面角概念生成过程，有哪些相同（或相似）的方法与思路.引导学生探寻数学概念间的内在联系，建构概念体系，在体系中掌握概念，让概念生成更自然.

2.2 学得自然——遵从概念认知规律，让学习过程更自然

数学概念教学应注重学生认知水平，结合概念自身特点，设计遵从学生认知规律的教学，让学习自然发生.概念的生成常常要经历情境引入、共性归纳、概念生成与辨析、实践应用这几个过程，本文中设计了创设情境、类比旧知、问题串联、实践评价四个环节，让学生在抽象、迁移、辨析、运用中体验概念自然生成.特别是在概念辨析过程中，充分发挥学生主体地位，鼓励学生大胆猜想，自主验证，让学生在提出猜想、修正猜想，再提出、再修正的过程中逐步挖掘概念本质，体会概念认知规律，进而培养学生探究意识，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.

2.3 教得自然——抓住教学“两条线”，让教学过程更自然

教育家顾明远指出，教育的本质是培养学生的思维，而课堂是培养学生思维的最好场所.课堂上不仅要抓住基本知识、方法等显性内容的教学，还要抓住数学思维、核心素养等隐性内容的培养，我们称其为明线与暗线.本节课的明线是二面角概念、二面角的平面角概念生成过程；暗线则是培养学生概念生成的一般性思维，激发学生探究意识，发展学生核心素养.教学过程中要处理好明线与暗线的关系，在显性内容教学中渗透数学思维与素养，让思维与素养引导显性内容的学习，做到明中透暗，暗中引明.

参考文献：

［1］刘飚，王克亮.还原数学概念自然性的教学策略初探［J］.数学通报，2016，55（10）：4-8.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］汪小莲.问题串：概念学习的支架［J］.中学数学，2022（8）：27-29.

［4］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［5］徐德同，黄金松.关于“理解数学把握本质”的几点思考［J］.数学通报，2022，61（3）：37-40.