“阅读与思考”：依托数学文化，学习画法几何

摘要：数学文化的渗透与融入经常以“阅读与思考”等栏目的形式出现在高中数学教材中，教学中要合理引导学生进行课外阅读与拓展提升.结合画法几何的起源与应用所对应的“阅读与思考”栏目，深入研究相应的数学文化，通过画法几何与空间直观图等的应用，渗透画法几何的思维，实现数学文化的融合与应用，指导数学教学与复习备考.

关键词：画法几何；直观图；空间几何体；数学文化

数学文化的创新设置与巧妙融合，是新高考数学试卷的一个重要命题方向与命题趋势.此类问题往往以数学文化为问题场景，融合相应的数学基础知识，借助高中数学教材中的“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等栏目来设置.

合理挖掘数学问题中基础知识与数学文化的交汇点，全面剖析问题的内涵与实质，合理渗透数学知识，并借此进行自主加工与创新应用，有效提升数学文化内涵，进行合理的数学综合应用，给数学问题与数学应用创设更多的应用情境.

1 依托“阅读”栏目

江苏凤凰教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的《数学》（必修第二册）第13章“立体几何初步”第197页“阅读”栏目的内容是“几何学的发展”.

本栏目基于阅读材料，介绍了画法几何的应用、画法几何的起源、数学家蒙日的一些研究与经历等，拓展画法几何的应用，合理融入数学文化来创设应用场景.

2 数学文化史话——画法几何与中国数学

有关立体几何中的画法几何，是基于几何学的发展中的一个重要分支，也是一门独立的几何分支学科.它在现实生活中的绘画技术、建筑工艺、军事工程及机械制图等方面，都有着非常重要的用途.

2.1 透视原理与绘画

画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术.意大利数学家、艺术家阿尔贝蒂于1435年发表《论绘画》，阐述了最早的数学透视法原理，引入了投影线和截景等概念.他的透视法逐渐得到画家们的认可并得以采用、改进.意大利艺术家达·芬奇在绘画实践中，娴熟地运用了数学透视法原理，主要是中心投影.他还写了一本谈透视法的书《绘画专论》.越来越多的欧洲画家们把学习和应用透视法作为绘画的自觉行为.

2.2 蒙日与画法几何

法国数学家蒙日在1799年出版的专著《画法几何法》中，第一次详细阐述了与画法几何相关的知识，通过将空间（三维空间）物体投影到两个互相垂直的平面中，结合投影原理来分析并推断对应空间几何体的基本性质等，后来进一步发展成为射影几何学.该书不论是在概念上还是在方法上，都有着深远的影响.蒙日成为了画法几何的创始人.

2.3 年希尧与《视学》

中国古籍中也有立体图和平面图的画法，始于东汉，现在能看到的如北宋时期的《武经总要》中的兵器图、《新代象法要》中的天文仪器图、《营造法式》中的建筑图等，而且画得越来越好，但是总体来说还是比较粗糙，缺乏透视原理的说明，不是那么科学.

年希尧对科学技术很感兴趣，特别是对数学和医学研究颇多.他于1729年出版了《视学》一书（1735年加以了修订），系统论述了透视原理及画法几何.《视学》一书最精彩的部分是图形.图形分为两大类：直观图（立体图）和平面图.直观图从画法原理上又分为轴测图和透视图，平面图分为二视图和三视图，其原理和现代工程制图完全一致.书中对透视原理的论述很清楚，对于投影关系也处理得很好，他想象一个物体悬在空中，各点投影用虚线连接，一看就知道平面上的某个点是物体上哪个点的投影.《视学》是中国最早的一部系统地阐明透视原理的著作，更是18世纪画法几何的一部代表作.在世界上也堪称早期画法几何的代表作，比蒙日的《画法几何法》早70年.

3 画法几何及其相关数学文化应用

涉及画法几何及其相关数学文化的应用，包括空间几何体的画法几何及应用，结合空间几何体的直观图与应用，以及与画法几何相关的数学文化等，融入相应的数学思维与数学方法，基于此全面开拓数学思维，优化解题过程，养成解题习惯，提升解题效益.

3.1 蒙日圆

例1" 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的蒙日圆是x2+y2=a2+b2.若圆（x－3）2+（y－4）2=9与椭圆x2m+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（" ）.

A.2或8

B.3或63

C.3或63

D.4或64

解析：由已知条件可知mgt;0且m≠1.

依题，椭圆x2m+y2=1的

蒙日圆方程为x2+y2=m+1，蒙日圆的圆心为原点O，半径为m+1；圆（x－3）2+（y－4）2=9的圆心为A（3，4），半径为3.

因为两圆只有一个公共点，所以两圆外切或内切，则|OA|=3+m+1或|OA|=|3－m+1|.

又|OA|=32+42=5，所以3+m+1=5或|3－m+1|=5，解得m=3或63.

点评：依托画法几何学的创始以及蒙日圆的场景，融入数学文化知识，并结合不同知识之间的关系进行创设，是数学文化综合与应用的一种常用设置方式.

3.2 截交线

例2" 截交线，是画法几何中研究的重要内容之一，是指平面与空间几何体表面的交线.当空间形体表面是曲面（或由若干个平面组成）时，截交线是一条平面曲线（或一个多边形）.已知正三棱锥O-ABC，满足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，|OA|=3，点P在△ABC内部（含边界）运动，且|OP|=6，则点P的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（" ）.

A.3π2

B.2π2

C.π2

D.π

解析：

图1

依题意可得OA⊥平面OBC，正三角形ABC的边长为32.设正△ABC的中心为E，如图1所示.

由V三棱锥O-ABC=V三棱锥A-OBC，可得13×12×（32）2×sinπ3×|OE|=13×12×3×3×3，解得|OE|=3.

于是|EP|=|OP|2－|EO|2=3.又点P在△ABC内部（含边界）运动，且|OP|=6，所以点P的轨迹是以E为圆心，|EP|=3为半径的圆在△ABC内部（含边界）的弧.

以下过程略.

点评：以画法几何所研究的重要内容之一——截交线为数学文化场景来设置问题，考查空间动点的轨迹问题及其对应的综合应用.

3.3 三视图

例3" 图形是信息传播、互通的重要视觉语言，《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图“来表示三维空间中立体图形.即作一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（" ）.

A.26π

B.27π

C.30π

D.33π

解析：由图可知，

该几何体为三棱锥，以下过程略.

点评：借助画法几何的数学文化场景，设置三视图还原实物图来合理考查三棱锥的外接球问题，以及球的表面积等.数学文化只是起到一个问题场景与阅读应用的目的，关键在于理解空间几何体的三视图特征规律以及空间几何体之间的位置关系等，合理加以转换，巧妙空间想象.

基于高中数学教材中相关阅读栏目的设置与展示，如“阅读与思考”“文献阅读与数学写作”等，巧妙渗透数学知识，进而借助数学文化的综合与应用来深入探究与拓展，在学习数学文化的来源的同时，进一步探究数学知识的内涵与实质，全面提升学生的学习深度与广度.这对提升学生的“四基”“四能”，以及数学思维、创新意识等方面都是有帮助的.