在例习题教学中提升学生思维品质

教材是教学之本，充分利用教材例题、习题资源，挖掘例题、习题潜在的教学价值，在这一过程中，学生的分析问题、提出问题和解决问题能力等思维品质得到提升，对提升教师理解和驾驭教材的能力也很有帮助，特别是年轻教师.

王定老师从教第5年，教过一轮高中，从高一刚进入高二.王老师从教材中一道例题入手，通过从不同角度引导学生观察、分析、思考、研讨、归纳总结，提出“三余弦定理”、求二面角的面积射影法及最小角定理.这对生源处于中等偏下的层次学生来说很不容易.

1 挖掘习题的潜在价值

要挖掘例题、习题的潜在教学价值，首先，教师自己对相关问题要有深入的研究，才能发现例题、习题的价值.一般说来，其价值主要体现在：一题多解，培养学生思维的发散度；原题引申（含变式），培养学生思维的深度和广度.这是尊重知识的发生发展规律.

课堂教学中，王老师通过教材一道例题及追问，得到了“三余弦定理”、最小角定理及求二面角大小的面积射影法.从这个图形中分离出来一个四面体，其四个侧面都是直角三角形（我国古代称为鳖臑）“浑身是宝”，值得挖掘！关键是指导学生怎么挖掘.

王老师让学生观察例题的基本图形，并在此基础上演算、推理，再综合得到相互间的边角关系，最终推出自己从未见过结论，学生很有成就感.不仅使学生的学习能力得到了检验，而且自信心也得到了极大的提升.这是尊重学生认知规律的必然结果.

如果教师对教材中例题、习题的各种解法（一题多解），教材中例题、习题的各种变式（一题多变），以及教材中相关例题、习题的统一解法（多题一解）都有深入研究，在此基础上精选例题、习题，就会以少胜多，会有事半功倍之效.

2 深入认识这个模型

选择教材中例7作为这节课的教学内容是因为这道题目可以引出较多有用的结论，同时这些结论的推导不复杂，全部结论在教师的指导下学生自己完成.

为了加深对这两个结论的理解，结合图形可以用文字语言来表述.

三余弦定理：过一点的三条射线构成三个平面，其中两个平面互相垂直，三个平面构成三面角（锐角），互相垂直的两个平面内的两个角其余弦之积等于另一个面角的余弦.

二面角的面积射影定理：一个平面内面积为S的多边形在另一个平面内的射影面积为S影，则这两个平面所成二面角φ的余弦等于射影多边形面积除以原多边形面积，即cos φ=S影S.

这个四面体（鳖臑）中有一组对棱是互相垂直的，如图1中OC和AB，BC则是它们的公垂线段，∠ACB是二面角A-OC-B的平面角，∠OBC是二面角O-AB-C的平面角.∠AOB和∠ACB分别是棱AO和AC与平面OBC所成的角.

这个基本图形除了上述结论，还可以得到下面的三正弦关系：

sin∠AOB=sin∠AOC＼5sin∠ACB.

由于时间限制一节课不能讲完，可以留给学生课后自己研究.这些结论当然不要求学生记忆，如果能记得则可在客观题中使用.

3 课堂教学回顾与建议

利用三余弦定理证明最小角定理是不同于教材证法的另外一种证明方法，这是学以致用.但学生在回答过程中出现“cos α∈［－1，1］”有瑕疵，因为模型中的角是锐角，对钝角情形要补充说明.其实，这里没有必要考虑钝角的情况.同样，在例1中也出现了同样的问题.

例1的变式是个好问题，承前启后.例2也是一个好问题，很经典，多数情况下作为填空题通过画图即可得到答案，但在这里是为了强调三余弦定理的应用，最好通过计算解答，尤其是变式2，需要分类讨论，而分类的依据在哪里，只通过图形观察而不通过推理计算就得到答案对解答题来说不严谨.这是一道高考题的推广，从特殊到一般，三余弦定理是得力的推理论证工具.

原文例3借助于正方体一题多问，意在巩固三余弦定理和面积射影定理，可惜最后没有来得及讲完.笔者认为这道题可再添两问，修改为：

如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱AB，BC的中点.

（1）判断△B1MN为三角形（锐角、直角、钝角）；

（2）二面角M-B1N-B的余弦值为；

（3）平面B1MN与平面B1A1C1所成二面角的平面角大小为;

（4）直线B1B与平面B1MN所成角的大小为.

第（1）问直接利用三余弦定理得cos∠B1MN=cos∠B1MB＼5cos∠BMNgt;0，所以∠B1MN是锐角，同理可知其他两个角也是锐角.

此问常规解法是利用余弦定理，但运算量大.需要指出的是三棱锥B-B1MN不是鳖臑.若取MN中点E，连EB和EB1，那么三棱锥B1-MEB是鳖臑，也就是说三棱锥B-B1MN中包含三棱锥M-B1EB，它是鳖臑，因此，满足三余弦定理使用条件.三棱锥B-B1MN可以看成是鳖臑的一个变形体，以此考查学生的识图能力.

第（2）问，△B1BN是△B1MN在平面B1BN上的射影三角形，设二面角M-B1N-B的平面角为θ，则cos θ=S△B1BNS△B1MN=112×2×32=23.其中△B1MN的底边MN的高B1E=32.

作为填空题，这种解法比作二面角的平面角要简单许多.

第（3）问，需要分锐二面角和钝二面角两种情况求解.其锐二面角的余弦为S△BMNS△B1MN=13，其锐二面角大小为arccos13，钝二面角的大小为π－arccos13.

如果单独解第（3）问，直接作二面角的平面角∠B1EB会更简单，cos∠B1EB=BEB1E=13.

分子与分母同乘12MN就与面积射影定理吻合.复习了公式的推导过程.

第（4）问，要作线面角，可先证平面B1EB⊥平面B1MN，则交线B1E就是B1B在平面B1MN上的射影，即∠BB1E为直线B1B与平面B1MN所成的角，其正弦值为13.此问也可以利用三余弦公式cos∠BB1M=cos∠BB1E＼5cos∠MB1E，得

cos∠BB1E=223.

这道题涉及立体几何中的线线角、线面角、二面角三种角，各小题解法有时利用本课讲的知识来解简单，有时利用常规方法简单，这些常规方法也是推出本课结论的基本方法.这样，学生就不会硬套这些“二级结论”了.日常教学不仅要关注二级结论，更要关注其形成过程，因为它是解决问题的常规方法.本例中，如果把填空题改为解答题，那么，作出截面BB1E就是关键的“题眼”.

如果把修改后的例3作为例1，删去原文例1，例2不变，只不过讲授要写出推理过程，给学生作出示范，时间可能不够，变式2可留作课后探究.

如果课堂教学语言能更精炼一些，尤其是上课开始那一段，还会省出一点时间用于例题教学.

课堂小结是提高一堂课品位的关键节点之一，除了知识、技能方面的陈述，还可以用学生喜闻乐见的形式，用简洁的语言总结所学内容，比如：

一体四面都直角，

古人称之为鳖臑.

二面射影三余弦，

实际应用价值高.

还有结论待挖掘，

课后继续去探讨.

4 作业是减负的重要抓手

目前，不少学校是买现成的资料，包括课堂教学用书和课后作业，老师上课照资料按部就班上课，学生做配套作业，批改后再评讲、订正，如此往复.由于题量大，师生被资料牵着走，教师无心也无暇去钻研课本、研究教法，学生日复一日做不完的题、订正不完的作业，没有时间去思考一些“题外”的事，结果就是师生都陷入“题海”，在较低的层次里循环往复.

本节课是从教材中“挖掘”出来的内容，自然没有现成的配套作业，需要老师补充.王老师配置了恰当的相关习题，既能巩固所学知识，又不至于负担过程，值得点赞！