教师职业能力提升导向下“初等数学研究”课程学习策略的探究

摘"要：“初等数学研究”课程是数学本科师范专业重要的专业课程，理论性强，承担着大学数学的学习和中小学数学的教授之间桥梁的重要功能，对数学师范生职业能力的发展起着至关重要的作用。从学生视角分析“初等数学研究”课程原有学习成效中的不足，并据此提出若干学习策略，以助力提高数学师范生的中小学数学教师职业能力。学习实践表明，数学师范生以提出的学习策略为指导，学习“初等数学研究”课程取得的成绩更好，提高其职业能力的成效显著，提出的学习策略对数学师范的其他专业课程的学习也形成重要参考。

关键词：数学师范生；中小学数学；教师职业能力；“初等数学研究”课程；学习策略

数学本科师范专业基本上都会开设“初等数学研究”或相近的课程。“初等数学研究”课程的理论性偏强，其主要学习内容是中小学部分数学知识内容的延伸、拓展和升华，它是数学本科师范专业重要的专业课程［14］。“初等数学研究”课程具备桥接大学数学的学习和中小学数学的教授的重要功能，承担着传授数学知识、培养中小学数学教师的教育教学专业技能等多重任务，对数学师范生职业能力的发展起着至关重要的作用。

教师职业能力指的是中小学数学教师职业相关的能力。随着时代对中小学教师的要求不断提高，数学本科师范专业在学生培养方面越来越重视他们在职业能力提升上的显著程度。课程教学是帮助数学师范生提高其职业能力的关键抓手。数学师范生应该采取积极有为的学习策略，既要保质保量地完成学习任务，也要尽力在职业能力发展方面取得显著的成效。本文首先将中小学数学教师职业能力剖分成选择恰当例题的能力、解题能力、解题反思习惯、数学表达能力、选择恰当课后作业的能力等；然后在此剖分下，以“初等数学研究”课程为例，分析原有学习成效表现出的不足；最后结合教、学实践经验，提出若干改善提升数学师范生职业能力成效的学习策略。

1"教师职业能力提升视角下“初等数学研究”课程学习中的不足

选择恰当例题的能力的培养未得到重视。选择恰当例题的能力是中小学数学教师职业能力的重要组成部分。在原有的初等数学研究课程学习中，数学师范生不常有自主预习要学习的例题，被动接受教师传递的数学知识，观看教师的例题展示和解题示范，课后反复回顾例题的解答过程及其背后蕴藏着的深刻思想。理解了例题的推导过程，数学师范生就完成了学习任务。数学师范生并未下意识地理解出现的例题在章节、课程中所处的位置的重要性，并未理解例题从“从哪里来”、到“哪里去”，并未从所学例题找到自己在将来的教学中该如何选择恰当例题的灵感。换言之，数学师范生的选择恰当例题的能力的培养在原有的初等数学研究课程的学习中并未得到重视。

解题能力训练力度不足。解题能力是中小学数学教师职业能力的关键组成部分，数学师范生只有训练出强大的解题能力，将来在教学中才能培养出具有强大解题能力的中小学生。在原有的“初等数学研究”课程学习中，数学师范生大多是被动地接受知识，不会深入思考例题的解答思路，只会套用例题思路解答（课堂或课后）习题，并没有很好地利用例题、习题，充分锻炼其解题能力。

解题反思习惯和数学表达能力的培养被忽视。在原有的“初等数学研究”课程学习中，解题反思习惯或数学表达能力的培养基本上被数学师范生忽视，与其他三项能力相比，解题反思习惯和数学表达能力更加隐性，从而在诸如初等数学研究等课程的学习中一直未被重视甚至完全被忽视。

选择恰当课后作业的能力的培养未得到充分重视。选择恰当课后作业的能力是中小学数学教师职业能力的重要组成部分，在原有的“初等数学研究”课程的学习中，因课后作业非常初等且简单熟悉，故很少有数学师范生对该门课程的课后作业给予足够重视。这样导致数学师范生选择恰当的课后作业能力的培养没有得到重视。

2"教师职业能力提升导向下“初等数学研究”课程的学习策略探析

2.1"加大课程相关的课外阅读训练力度，提高数学师范生选择恰当例题的品位和能力

课外阅读，指的是“初等数学研究”课程相关的课外资料的研读，这里更侧重有研究目标指向的阅读，而不是采用“题海战术”，高强度地重复开展解题训练。在“初等数学”课程的学习中，数学师范生应该多涉及最近所学相关主题的典型问题和对该领域有重要贡献的数学家、教育教学研究与实践等。结合本研究团队的学习和教授“初等数学研究”课程的经验得出，课外阅读能助力提高选择恰当例题的品位和能力。

2.2"加大典型问题的创新解答训练力度，提高数学师范生自身的解题能力

数学问题的创新解答，是相对于常规解法而言的，它能帮助数学师范生产生并积攒新思路、新体验、新感悟等，进而帮助其加深对数学问题，甚至所修数学课程的认识。在初等数学研究课程中，常见的创新解答问题的训练策略有一题多解、多题一解、由特殊到一般（包括举特例）、由一般到特殊、举反例等。

一题多解，即对“一例数学问题的多种解答方法”的简称［56］。在借助一题多解学习策略的过程中，数学师范生应从多视角、多观点、多路径研究同一道问题，丰富的学习经验表明，这不仅能助其加深对问题本身的认识，而且能助其养成发散性思维，将所学知识融会贯通及养成灵活运用数学知识的能力。例如，我团队曾经采用一题多解策略学习Nesbitt不等式，大致过程描述如下：

例题：证明Nesbitt不等式ab+c+bc+a+ca+b≥32，其中，a，b及c均是给定的正数。

通过教师引导，学生经探究发现了六种证法。

证法1（作差比大小验证法）：经验证，有：

ab+c+bc+a+ca+b－32=（b+a）（b－a）2+（c+b）（c－b）2+（a+c）（a－c）22（a+b）（b+c）（c+a）≥0

此即意味着完成了Nesbitt不等式的证明。

证法2（排序不等式）：由对称性可设a≤b≤c。于是，有1b+c≤1c+a≤1a+b。

由排序不等式便知，Nesbitt不等式得证。

证法3（Jensen不等式）：引入辅助函数F（x）=xW－x，x∈（0，W），其中，W=a+b+c。经计算，有F″（x）=2W（W－x）3。因F″（x）＞0，x∈（0，W），故函数F（x）在区间（0，W）上是凸函数。由Jensen不等式，得：

13F（a）+13F（b）+13F（c）≥F（a+b+c3）=F（W3）

化简整理即可发现，Nesbitt不等式得证。

据统计，笔者所在的班级还有同学针对Nesbitt不等式给出了基于Cauchy不等式、AMHM不等式及“选主元+函数思想”思路等的证明方法，为避免冗长，这里省略基于这些想法的证明详细步骤。

从上述学习案例能发现，一题多解学习策略能帮助学生更深刻认识问题本身，例如，能帮助学生更深刻理解Nesbitt不等式中的等号是可以取得的，且其取得等号的充分必要条件是a=b=c，此外，一题多解学习策略还有许多其他优点，例如，它能为学生提供发现简明解答方法的机会，能增强学生的解题能力与数学素养，能帮助学生认清数学实质，能提高学生的创新意识与探索未知的积极性等。在大力提倡提高中小学生创新能力的当下，数学师范生应该格外重视一题多解学习策略的应用。

多题一解，大体可视为与一题多解相对，其大意是针对若干问题给出统一处理。在初等数学研究课程的学习中，多题一解能帮助数学师范生更深刻认识所解决的这类问题或所采用的那一种解题方法的本质。例如，相当部分涉及椭圆、双曲线、椭圆等二次曲线的问题都可由“先设直线，再联立直线与二次曲线并整理得某一元二次方程，最后借助等价转化思想、一元二次方程根与系数的关系等来完成问题的解答”得以解决，对于二次曲线的众多问题而言，这套方法能帮助数学师范生从多视角、多方面理解这种方法，同时，也能帮助数学师范生更深刻地认识到椭圆、双曲线、椭圆皆是二次曲线的这一本质。

由特殊到一般，是一种不完全归纳法，指的是由部分特殊问题的结论推测一般问题的结论的解题策略，凭借特例解题是该策略的一种。在“初等数学研究”课程的学习中，由特殊到一般的解题策略，能帮助数学师范生更好地培养数学直觉和帮助数学师范生抓住事物的主要矛盾，而暂时撇开其他次要矛盾，这能帮助数学师范生更高效地理解数学问题并进而完成课程的学习任务。

由一般到特殊与由特殊到一般相对，指的是将所考虑的问题“嵌入”某一类理论中，再由一般理论的推导来解答原问题的解题策略。“不谋全局者，不足谋一域”，对数学师范生而言，有针对性地开展基于由一般到特殊策略的解题训练是非常重要的。以“初等数学研究”课程的学习为例：常见的由一般到特殊解题策略有将数列问题归结为函数问题，将方程问题归结为不等式问题，以及借助射影几何将Melelaus定理、Ceva定理、Simson定理等结论的证明归结在某一类问题中等。由一般到特殊的解题策略能帮助数学师范生开阔数学视野，帮助其提高抽象思维、逻辑推理能力等。

举反例即通过举反例证伪命题的策略，其在验证充要条件时非常重要。在“初等数学研究”课程的学习中，举反例能使部分深刻的结论显得浅显易懂，揭示问题实质。对数学师范生而言，举反例相关的解题训练是十分必要的，此对其在今后的教学中有深远影响。

随着社会对提高中小学生创新能力的要求越来越迫切，在学习初等数学研究课程的过程中，数学师范生应积极避免高强度机械式练题，而是从繁多相关问题中遴选出其中的典型问题，并加大这些典型问题的创新解答训练力度，切实提高师范生的解题能力，为有效提高中小学学生创新能力提供有力保障。

2.3"反复回顾典型问题的解答，形成数学师范生自身的解题反思习惯与自觉意识

反复回顾典型问题的解答和一题多解有异曲同工之妙，也是要求数学师范生在学习“初等数学研究”课程中要避免“题海战术”，而是要求他们反复回顾，如前文提到的Nesbitt不等式等典型结论和例题及解答。按照匈牙利著名的数学家、教育家G.Pólya的观点，解题反思在数学解题中属重要环节。“读书百遍，其义自见”，通过反复、细致、深入地回顾典型问题的解题过程，能帮助数学师范生更深刻理解问题产生的背景、问题的学科价值，帮助他们体会到问题中的价值并进而提高其解题能力，反复回顾典型问题的解答能帮助数学师范生提高其数学审美品位。

2.4"加大课程内容研究小论文写作训练力度，提高数学师范生的数学表达能力

数学师范专业的大多专业课程中含有大量的知识内容模块，非常适合作为数学师范生开展科研训练的素材。在“初等数学研究”课程的学习中，数学师范生可选定某一特定主题，在任课教师提供的必要辅助下，结合中小学数学教育教学真实情景，开展针对性的研究训练，并在研究成果的基础之上，整理出小论文。这能帮助数学师范生全过程亲身体验科学研究历程，提高创新能力和数学（尤其是书面）表达能力，这都能助力提升数学师范生的数学表达能力。

2.5"在学习中衔接中小学数学，提高数学师范生选择恰当课后作业的能力

衔接中小学数学，就是要求数学师范生在学习本科数学专业课程的过程中，自主“桥接”所学的大学阶段的知识和中小学阶段的数学知识，以所掌握的中小学数学知识“同化”大学阶段的数学知识，同时，从大学数学的高（等）观点下，重新认识中小学阶段所学的数学知识。数学师范生在学习过程中积极主动衔接中小学数学能帮助其更顺利地从大学生状态过渡到中小学数学教师状态；以中小学数学知识同化大学数学知识，能使得数学师范生的学习效率更高，所学知识更成体系；从大学数学高观点重新认识中小学数学知识，能帮助数学师范生更深刻理解数学知识。这三方面综合起来，能帮助数学师范生提高选择恰当课后作业的能力。

结语

本文从学生视角分析“初等数学研究”课程原有学习成效中的不足，并据此提出加大课程相关的课外阅读训练力度、加大典型问题的创新解答训练力度、反复回顾典型问题的解答、加大课程内容研究小论文写作训练力度、在学习中衔接中小学数学等五项学习策略，借此提高数学师范生的选择恰当例题、习题的品位和能力、解题能力、数学表达能力，帮助数学师范生养成解题反思习惯与自觉意识，进而帮助数学师范生提升其职业能力。

参考文献：

［1］刘学军，魏喜凤，孙庆利.在“初等数学研究”中开展研究性学习的探索与实践［J］.石家庄学院学报，2006（03）：117120.

［2］施俊.合作学习教学模式在初等数学研究课程教学中的设计［J］.江苏技术师范学院学报，2011，17（08）：7478.

［3］斯海霞，叶立军.“慕课+翻转课堂”教学模式下《初等数学研究》课程教学改革对策［J］.湖州师范学院学报，2018，40（08）：107110.

［4］张新全，王杰.用好微课实现《初等数学研究》的自主学习［J］.安徽教育科研，2019（13）：108110.

［5］王成强.探究式教学在数学分析复习课的应用［J］.贵阳学院学报（自然科学版），2020，15（02）：9699.

［6］王成强.关于二重积分的一题多解教学问题探析［J］.成都师范学院学报，2020，36（03）：105113.

基金项目：宿迁学院优秀毕业设计（论文）培育项目（2023YXBYSJ05）；宿迁学院“专业认证”专项教学改革研究课题（2023ZYRZ04）；宿迁学院创新创业教育课题（2023CXCY08）；宿迁市指导性科技计划（Z2023131）；宿迁学院人才引进项目、宿迁学院“西楚学者”培养计划项目（2022XRC033）；江苏高校“青蓝工程”；江苏省高等教育教改研究课题资助项目（2023JSJG718）；中国高等教育学会高等教育科学研究规划课题（23SX0203）；江苏省高校“高质量公共课教学改革研究”专项课题（2022JDKT106）

作者简介：林文浩（2001—"），男，汉族，江苏连云港人，本科在读，研究方向：从事数学教育的研究。

*通信作者：王成强（1985—"），男，汉族，四川武胜人，博士，副教授，研究方向：从事数学控制论与数学教育的研究。