借几何画板促深度学习发生

摘" 要：几何画板是一款易学且功能强大的软件，它的基本元素为点、线、圆，通过对这些基本元素的变换、构造、计算、跟踪轨迹等，构造出较为复杂的图形。这款软件以其精确的度量与计算、智能的几何变换、直观的动态演示等功能受到广大数学教师的青睐。将这些强大的功能巧妙地运用于小学数学课堂教学，化静态为动态、化抽象为直观，可以助力学生思考问题的本质，促进深度学习的发生。

关键词：几何画板；小学数学；深度学习；核心素养

文章编号：1671-489X（2025）01-00-03

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.01.0

0" 引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程理念”中提出促进信息技术与数学课程融合：“合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革。在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。”[1]在数学课堂教学中合理地利用几何画板，不仅能够激发学生的学习兴趣，而且能够引领学生思考问题的本质，促进深度学习的发生，提升学生的核心素养。

1" 在小学数学课堂教学中借助几何画板促

进深度学习发生

1.1" 在枯燥乏味处借助几何画板激发学生的探究欲望

爱因斯坦曾说：“兴趣是最好的老师。”数学课堂教学中可以借助几何画板激发学生的学习兴趣，引导学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题、提出问题。

以“三角形的内角和”一课教学为例，通常的教学思路是让学生经历“观察—猜想—验证—结论—应用”的过程，多个版本的教材教案都是组织学生先量角，得到三角形的内角和在180°左右，进而提出猜想：是不是所有三角形的内角和都是180°？然后教师组织学生动手操作去验证。可在实际的教学过程中，笔者发现学生并不能产生验证的愿望，其原因有两个。

一是部分学生课前已经知道三角形的内角和是180°的结论，并对此深信不疑。在量一量的环节，学生先量出两个角的度数，然后用180°减去这两个角的度数，得到第三个角的度数，再把三个角的度数相加，正好得到180°。学生的操作违背了推理的原则，把需要验证的结论当作条件来使用。

二是部分学生课前并不知道结论，但是对三角形的内角和没有探究的欲望，只是在教师的引领下被动去测量。

那么，在“三角形的内角和”这节课上如何去激发学生的探究欲望，让学生主动去关注角的变与不变呢？笔者利用几何画板成功吸引学生的注意力，激发学生的探究热情。

本课伊始，笔者打开几何画板，利用线工具绘制一个三角形，然后让学生到屏幕前任意选择一个顶点进行拖动，引导学生仔细观察。在拖动的过程中，学生的注意力被迅速吸引，很快发现一条边不变的情况下，三角形的形状、大小（周长）在不断发生变化。笔者适时引领：“你们观察得非常仔细，绝大多数同学都关注到了边的变化。想一想：我们除了关注边的变化，还可以关注什么？”学生马上想到还可以去关注角。此时，笔者利用几何画板的测量功能，实时呈现三个角的度数，然后再次拖动其中一个顶点，让学生聚焦角的度数的变化情况。学生发现当被拖动的顶点的角度数不断变大时，另外两个角的度数不断变小；而当被拖动的顶点的角度数不断变小时，另外两个角的度数不断变大。笔者进行总结：“有的角的度数变大，有的角的度数变小，你们都在关注变化的量，那么有没有不变的量呢？”在笔者的引领下，学生猜想三个角的度数之和是不是不会发生改变。他们有了自己的猜想，进而就有了探究的欲望，在整个引入过程中表现得兴趣浓厚。

借助几何画板，动态演示不断变化的三角形，在变与不变中激发学生的探究热情，引发学生积极思考。

1.2" 在思维难点处借助几何画板促进学生的想象

小学生以形象思维和具体思维为主，空间想象能力需要在教师的引领下进一步发展。线段、直线和射线的知识是小学阶段“图形与几何”部分最基础、但又最特殊的知识，其他的图形与几何的知识都是由现实世界中得到的，而直线、射线在现实世界中是找不到的。低年级小学生对长方体和正方体的认识是通过对现实生活中的具体物品进行抽象实现的，他们可以进而认识图形的特征，而由于线段、直线和射线的特殊性，这种教学方法不再可行。以往教学时会引入案例：手电筒射出的光线可以近似地看作射线，两个手电筒背对在一起射出的光线可以近似地看成直线。可学生认为手电筒射出的光线的范围是有限的，这样的举例显得缺乏说服力。教学线段、直线和射线时需要超越现实生活意象，让学生张开想象的翅膀。

对线段的有限性，学生能够轻松理解，而直线和射线的无限长是他们理解的难点。如何让学生充分感知射线和直线无限长的特征，真正建立射线和直线的表象呢？借助几何画板可以轻松解决这个难题。在教学这节课的时候，笔者事先用几何画板分别画出线段、射线、直线这三种线型，其中线段的两个端点和射线的一个端点都在屏幕边界的外面，并隐藏了三种线型上的点。课上组织学生观察这三条线，学生一致认为这三条线一模一样，只是位置不同。此时，笔者请一名学生上来拖动这三条线，其他学生观察。当该学生用鼠标向左或向右拖动第一条线的时候，大家看到线开始和结束的点。笔者让学生概括这条线的特征，学生想到“有始有终”这个词。在此基础上，笔者让另外一名学生拖动第二条线，大家在他拖动的过程中发现，这条线有开始的地方，但没有结束的地方，向右拖，线一直延伸。学生总结这条线的特征为“有始无终”。拖动第三条线时，学生发现无论是向左拖动还是向右拖动，都找不到开始和结束的地方，总结这条线的特征为“无始无终”。在学生总结的基础上，笔者介绍这三条线的名称。

借助几何画板，学生对直线和射线的无限长有了充分的感知，真正建立了直线和射线的表象。

1.3" 在传统教具无法实现处借助几何画板发展学生的空间观念

空间观念是小学阶段核心素养的重要表现之一，主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识[1]。形成空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，其是形成空间想象力的经验基础[1]。

小学数学教学中圆的面积推导过程主要是让学生感受等积变形、极限等数学思想方法，进一步增强其空间观念，发展数学思维，提升核心素养。在以往的教学中，教师通常用传统教具把圆平均分成16份或32份，然后拼成一个近似的长方形，再引导学生想象如果把圆平均分成64份、128份……会怎样。对于空间观念较差的学生来说，他们还是无法在头脑中想象平均分的份数越多，越接近长方形的相应画面。传统教具很难实现把圆分成更多的份数，而利用几何画板则能轻松实现，只要输入所需要的份数，它就可以即时按照输入的数据把圆等分，完成剪拼的动画过程，使学生能够充分感知极限思想。

除了把圆等分再拼成近似的长方形来推导圆面积的公式外，教师还可以引导学生继续思考，把一个圆看成是由无数个从小到大的同心圆构成的。教师提问：“把这些从小到大的同心圆沿半径剪开拉直，会变成什么样？”在学生想象、汇报之后，教师用几何画板动态演示将一个一个同心圆展开变成三角形，引领学生寻找原来的圆和三角形之间的关系，进而用另一种方法推导出圆面积的公式，使学生感受化曲为直的思想。

把圆等分再拼成长方形可以用传统教具实现，但同心圆展开变成三角形，只能依靠现代信息技术实现，这展现出现代信息技术手段无可比拟的优势。总之，利用几何画板帮助学生推导圆的面积公式，发展了学生的空间观念，促进了深度学习的发生。

1.4" 在言不及义处借助几何画板让数据直观化，培养学生的数据意识

数据意识主要是指对数据的意义和随机性的感悟[1]。每次收集到的数据可能不同，而只要有足够的数据，就可能从中发现规律[1]。形成数据意识有助于学生理解生活中的随机现象，逐步养成用数据说话的习惯[1]。

在“可能性的大小”这节课中有一个经典的抛硬币实验，这个实验的目的是让学生感受单次实验数据的随机性和感受大量重复实验的规律性。在这节课中设计以下两个环节：

猜一猜：抛之前，先猜测自己所抛的硬币什么面朝上。

抛一抛：上述实验每人完成10次，记录自己抛硬币的结果。

学生通过上述实验感受到了单次实验数据的随机性。笔者引导学生思考：“每次抛硬币，出现正面朝上和背面朝上的可能性相等，每一次抛的结果与上一次抛的结果无关。每个人都抛了10次，是几次正面朝上，几次反面朝上呢？为什么正面和反面的可能性相等，但抛10次出现正面和反面的次数却不一样呢？原因是实验次数较少，如果实验次数无限多，正面朝上和反面朝上的频数就会趋于相等。”在学生分析的基础上，笔者用几何画板演示“抛硬币”过程，并用条形统计图记录实验的结果。

利用几何画板能够快速地收集数据，让学生聚焦实验数据的变化，实现传统教学中难以实现的效果，帮助学生发现统计规律，发展学生的数据分析能力，体现信息技术在数学实验课上的价值。

1.5" 在思而不得处借助几何画板，让数形结合更直观

我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”在小学数学课堂教学中，教师要引领学生学会用数形结合的方法分析和解决问题。

在“圆柱的表面积”一课探究圆柱的表面积公式的过程中，教师首先引导学生思考圆柱的表面积包括哪些部分，在明确包含侧面积和两个底面积之后，放手让学生自主去探究表面积的计算方法。多数学生想到了把圆柱体沿着高剪开，展开得到一个长方形，通过寻找长方形的长和宽与圆柱各部分之间的关系，推导出圆柱的侧面积=底面周长×高，在此基础上得出圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示为：S表=2πrh+2πr²。

在学习完圆柱表面积的计算方法后，笔者发现在实际计算时由于计算量较大，很多学生计算出现错误。为了减小运算量，笔者又做了相关设计，引导学生思考：“如何让表面积的计算变得更加简单？为了简化计算，可以把公式进行怎样的变形？”学生想到利用乘法分配律进行简算，将公式简化为S表=2πr（h+r）。教师继续追问：“谁能从图形的角度解释这样计算的道理？”学生思考后遇到困难，于是教师用几何画板动态演示把圆柱体的侧面展开，得到一个长方形；然后把上下底面各自进行64等分，把上下底面都拼成一个近似的长方形，并把这两个长方形再横向拼在一起，放在侧面展开图的上面。学生恍然大悟：这样的展开图，长就是底面周长，而高就是圆柱的高和半径的和。通过几何画板的演示，以形助数，可以让学生知其然并知其所以然。

2" 几何画板在数学课堂教学中应用的注意" "事项

2.1" 几何画板辅助课堂教学，要遵循适合、适时的原则

几何画板的优势不言而喻，但在使用时要遵循适合、适时的原则，并不是所有的教学内容都适合用几何画板动态呈现。在小学阶段的图形与几何部分，图形的各种变换如平移、旋转、轴对称，以及图形的面积、体积推导过程，比较适合用几何画板动态呈现，而数与代数部分数的概念的教学就不适合用几何画板去呈现。在使用几何画板的时候，教师要把握几何画板呈现的时机，在兴趣激发时、在重难点突破处适时呈现，帮助学生更好地理解知识的本质，提升学生的核心素养。

2.2" 几何画板辅助课堂教学，不能越俎代庖，剥夺学生的主体地位

教师在使用几何画板时切记不能用画板的动态演示效果代替学生的想象，也不能缩短学生的思维过程。如在教学圆的面积时，有些教师直接用几何画板动态呈现平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，这样学生就成了“看客”，对等积变形、极限思想也就无法深刻体验。教师在教学中不能剥夺学生的主体地位，要给学生充分的思考时间，应该在学生想象的基础上利用几何画板验证学生的想象，化抽象为具体，让学生经历知识的发生、发展过程，深度学习才能真正发生。

2.3" 几何画板与其他教学软件、传统教具相结合，相得益彰

几何画板的强大功能能够帮助教师深挖数学的本质，促进深度学习的发生，但几何画板的书写功能还有缺陷，如利用几何画板演示时，无法在课件上进行即时板书。若将几何画板和希沃白板等其他教学软件以及传统教具、板书相互结合使用，取长补短，定能让数学课堂教学更高效。

3" 结束语

借助几何画板，化静态为动态、化抽象为直观，将枯燥的知识变得生动形象，可以促进教学方式和学习方式的变革，让学生深度参与学习，加深对知识的理解，在探寻数学本质的过程中不断提升核心素养。

4" 参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.