抛物线中与过原点的两直线斜率有关的一类性质

摘"要"在抛物线中，与定点定值和直线斜率有关的问题是研究中的重点.本文从一道典型试题出发，经过深入探究，得到了抛物线中与过原点的两直线斜率有关的一类性质.

关键词"抛物线；斜率；定值

在抛物线的定点定值问题中，有一个熟知的结论，即已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过原点O作两条斜率之和（积）为定值的直线分别与抛物线E交于点A，B，则直线AB过定点或有定向［1］.若过原点O作两条斜率之商（差，平方和）为定值的直线分别与抛物线E交于点A，B，则直线AB有什么性质？本文经过深入探究，得到抛物线中与过原点的两直线斜率有关的一类性质.

1.试题呈现与解析

题目"已知抛物线E1：y2=18x，抛物线E2：y2=16x，O为坐标原点，动直线l与抛物线E2相切，且与抛物线E1交于A，B两点，证明：直线OA，OB的斜率之商为定值.

分析"设l的方程为x=ty+m，由l与抛物线E2相切可得t，m满足的关系式.然后将l的方程与抛物线E1的方程联立，消元后可得A，B的坐标，从而得到直线OA，OB的斜率之商为定值.

证明"设l的方程为x=ty+m（t≠0）.

联立y2=16x，x=ty+m，消去x得y2－16ty－16m=0.

由Δ=（16t）2+4×16m=0得m=－4t2，于是l的方程为x=ty－4t2.

联立y2=18x，x=ty－4t2，消去x得y2－18ty+72t2=0，即（y－6t）（y－12t）=0，则y=6t或12t.

设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1=6t，y2=12t.于是直线OA的斜率k1=y1x1=18y1=3t，直线OB的斜率k2=y2x2=18y2=32t，则k1k2=2 ， 所以直线OA，OB的斜率之商为定值2.

2.定值问题探究

由试题可得，若抛物线E2：y2=16x的切线与抛物线E1：y2=18x交于A，B两点，则直线OA，OB的斜率之商为定值.对于任意两条抛物线，有没有一般性结论？经过深入探究，本文得到以下结论.

结论1"已知抛物线E1：y2=2p1x（p1≠0），抛物线E2：y2=2p2x（p2≠0），O为坐标原点，动直线l与抛物线E2相切，且与抛物线E1交于A，B两点，则p1p2＜0或p1p2＞1，且直线OA，OB的斜率之商为定值δ，δ满足δ+1δ=4p1p2－2.

证明"设l的方程为x=ty+m.联立y2=2p2x，x=ty+m，消去x得y2－2p2ty－2p2m=0.

由Δ=（2p2t）2+8p2m=0得m=－p2t22，于是l的方程为x=ty－p2t22.

联立y2=2p1x，x=ty－p2t22，消去x得y2－2p1ty+p1p2t2=0①.由Δ=（2p1t）2－4p1p2t2＞0得t≠0且p1（p1－p2）＞0，则p1p2＜0或p1p2＞1.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2p1t，y1y2=p1p2t2②. 于是直线OA的斜率k1=y1x1=2p1y1，直线OB的斜率k2=y2x2=2p1y2，则k1k2=y2y1.

（方法一）"设k1k2=δ，则y2=δy1，由②得（δ+1）y1=2p1t且δy21=p1p2t2，则（δ+1）2δ=4p1p2，于是δ+1δ=4p1p2－2，所以δ为定值.

（方法二）"由p1p2＜0或p1p2＞1得存在定值δ≠0，±1满足δ+1δ=4p1p2－2，则p2=4δp1（δ+1）2.

由①得y2－2p1ty+4δp21t2（δ+1）2=0，即（y－2p1tδ+1）（y－2δp1tδ+1）=0，则y=2p1tδ+1或2δp1tδ+1.不妨设y1=2p1tδ+1，y2=2δp1tδ+1，则k1k2=y2y1=δ.

在结论1中，直线OA，OB的斜率之商为定值，若直线OA，OB的斜率之差（平方和）为定值，本文经过深入探究，得到类似的结论.

结论2"已知抛物线E：y2=2px（p＞0），圆M：（x－p）2+y2=p2，O为坐标原点，动直线l与圆M相切，且与抛物线E交于A，B两点，则直线OA，OB的斜率之差的绝对值为2.

证明"设l的方程为x=ty+m.由l与圆M相切得p－m1+t2=p，整理得p2t2+2pm=m2.

联立y2=2px，x=ty+m，消去x得y2－2pty－2pm=0.由Δ=（2pt）2+8pm＞0得m2＞0，又m2－2pm=p2t2≥0，则m＜0或m≥2p.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pt，y1y2=－2pm.

于是直线OA的斜率k1=y1x1=2py1，直线OB的斜率k2=y2x2=2py2.

所以k1－k2=2py1－2py2=2p（y1+y2）2－4y1y2y1y2=2p4p2t2+8pm2pm=2p2t2+2pmm=2.

结论3"已知抛物线E：y2=2px（p＞0），圆M：（x－2p）2+y2=4p2，O为坐标原点，动直线l与圆M相切，且与抛物线E交于A，B两点，则直线OA，OB的斜率的平方和为1.

证明"设l的方程为x=ty+m.

由l与圆M相切得2p－m1+t2=2p，整理得4p2t2+4pm=m2.

联立y2=2pxx=ty+m消去x得y2－2pty－2pm=0.

由Δ=（2pt）2+8pm＞0得m2+4pm＞0，又m2－4pm=4p2t2≥0，则m＜－4p或m≥4p.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pt，y1y2=－2pm.于是，直线OA的斜率k1=2py1，直线OB的斜率k2=2py2.

所以k21+k22=4p2y21+4p2y22=4p2t2+4pmm2=1.

3.相关试题编制

已知抛物线E：y2=2px（p＞0），O为坐标原点，A，B是抛物线E上异于O的两个动点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2.

（1）若k1k2=δ，δ为常数且δ≠0，±1，由结论1得直线AB与抛物线y2=8δp（δ+1）2x相切，由此可编制以下试题：

试题1"已知抛物线E：y2=4x，O为坐标原点，A，B是抛物线E上异于O的两个动点，直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=3，证明：直线AB与抛物线y2=3x相切.

（2）若k1－k2=2，由结论2得直线AB与圆（x－p）2+y2=p2相切，由此可编制以下试题：

试题2"已知抛物线E：y2=2x，O为坐标原点，A，B是抛物线E上异于O的两个动点，直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1－k2=2，在坐标平面上是否存在定点M，M到直线AB的距离是定值？

（3）若k21+k22=1，由结论3得直线AB与圆（x－2p）2+y2=4p2相切，由此可编制以下试题：

试题3"已知抛物线E：y2=2x，O为坐标原点，A，B是抛物线E上异于O的两个动点，直线OA，OB的斜率k1，k2满足k21+k22=1，在坐标平面上是否存在定点M，M到直线AB的距离是定值？

参考文献

［1］曹军.圆锥曲线上的定点定值子弦的性质-圆锥曲线顶点定值子弦性质的推广［J］.中学数学研究（华南师大），2013（10）：19-21.

基金项目：广东省中山市教育科研2023年度一般项目课题“高观点下高中数学深度学习教学实践研究”（项目编号：B2023133）