一道高三测试题的多角度探究与启示

摘"要"本文以一道落实“基础性”考查要求的单选压轴题为例，从该试题的解法、变式及结论推广等方面进行分析研究，并从中得到一些有益启示，以体现高考复习备考落实“基础性”考查要求的重要性.

关键词"抛物线；多角度探究；推广

题目"（深圳中学2024届高三二轮一阶测试第8题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若圆M与抛物线C只有一个交点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径为（""）.

A.439 """B.79""""C.32"""D.233

1.解法探究

分析1"根据题意设出圆M的方程，与y2=4x联立消去x得到关于y的方程，然后分离出圆M的半径，得到关于y的函数，根据题意可知该函数有唯一零点，该零点对应圆M与抛物线C唯一交点的纵坐标，由此转化即为函数的最小值，利用导数知识求解.

解法1"设圆M的半径为r（r＞0）.

根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0），故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.把y2=4x，即x=y24代入圆M的方程得（y24－1）2+（y－r）2=r2，所以r=12yy24－12+y2=（y2+4）232y（y＞0），该方程关于y恰有一个解，该解对应圆M与抛物线C唯一交点的纵坐标.

令φ（t）=（t2+4）232t（t＞0），注意到limt→0+φ（t）=+，limt→+φ（t）=+，所以r=［φt］min.由于φ't=（t2+4）（3t2－4）32t2，则由φ't＜0，解得0＜t＜2"33；由φ't＞0，解得t＞2"33，所以φ（t）在（0，2"33）上单调递减，在（2"33，+）上单调递增，从而r=［φt］min=φ2"33=4"39.故选A.

分析2"将圆M与抛物线C只有一个交点等价转化为圆M与抛物线C相切，然后从函数的角度利用导数的几何意义研究抛物线C的切线，从平面几何的角度研究圆M的切线，然后利用分别得到的公切线的斜率相等建立方程，解方程得解.

解法2"设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0）.故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.

设圆M与抛物线C的公切线为l，公切点为N（t，2"t）.由y2=4x，得y=2"x，所以y'=1"x，因此l的斜率为1"t.

根据圆的几何性质得MN⊥l，所以2"t－rt－1·1"t=－1，整理得r="t+t"t，所以圆M：（x－1）2+（y－"t－t"t）2=（"t+t"t）2.

又因为（t，2"t）在圆M上，所以（t－1）2+（2"t－"t－t"t）2=（"t+t"t）2，所以（t－1）2+（"t－t"t）2－（"t+t"t）2=0，所以（t－1）2+t（1－t）2－t（1+t）2=0，所以3t2+2t－1=0，解得t=13（t=－1舍去）.因此，r="13+13"13=4"39.故选A.

分析3"设出圆M与抛物线C的公切线及公共切点坐标，然后设角并利用抛物线光学性质及平面几何知识求角，从而得到公切线的斜率.再从函数的角度利用导数的几何意义表示公切线，由此建立方程，解方程得解.

解法3"设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F（1，0）.故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.

设圆M与抛物线C的公切线为l，公共切点为N（t2，2t）（t＞0），l与x轴交点为P.如图1，连接MF，MN，MP.设∠MNF=∠MFN=θ，则根据抛物线光学性质得∠PFN=2θ.又由MF⊥x轴，可得∠MFN+∠PFN=3θ=90°，所以θ=30°.

在△NPF中，∠NPF=180°－∠PNF－∠PFN=180°－2θ－2θ=60°，所以公切线l的斜率为tan60°="3.又由y2=4x，得y=2"x，所以y'=1"x，因此l的斜率为1"t2=1t，因此1t="3，解得t="33，所以公切点N（13，2"33），所以l的方程为y－2"33="3（x－13）.令y=0，解得x=－13，从而P（－13，0），所以PF=1－－13=43.

因此，在Rt△MFP中有r=MF=PFtan∠MPF=PFtan30°=4"39.故选A.

分析4"根据题意设出圆M的方程，设出圆M与抛物线C的公切线及公共切点坐标，然后分别利用二次曲线在某点处的切线方程的“二级结论”，分别列出圆M与抛物线C在公共切点N处的切线方程，根据两条切线方程表示同一条直线，比较对应项的系数，结合切点N的坐标满足抛物线C方程，从而列出关于切点N的坐标的方程组，解方程组由此得解.

解法4"由题意可知F（1，0）.设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F，故圆M的方程为（x－1）2+（y－r）2=r2.

设圆M与抛物线C的公切线为l，公共切点为N（x0，y0）（y0＞0）.圆M在切点N的切线方程为（x0－1）（x－1）+（y0－r）（y－r）=r2，所以x0－1x+y0－ry+1－x0－ry0=0①.抛物线C的在切点N的切线方程y0y=4×x+x02，即2x－y0y+2x0=0②.

比较①②对应项系数得x0－12=y0－r－y0=1－x0－ry02x0，又y02=4x0，于是，x0=13，y0=2"33，r=4"39.故选A.

评注"这是一道该落实“基础性”考查要求的典型试题，其设问清晰、表述简约、题意明确，从试题和上述的四种解法可以看出，试题以抛物线及其几何性质（基础知识）的应用为背景，解答以形数结合、化归转化（基本思想）为主线，运用构造、建模、平几知识或光学性质、亦或利用“二级结论”（基本方法）等多种手段，在考查直线与曲线、曲线与曲线位置关系（基本技能）的同时，考查全面合理的知识结构及扎实灵活（基本素养）的解题能力.解答该试题的几种方法，思维颇为活跃、精彩，对于提升数学思维能力大有裨益.

2.试题变式

试题反映了圆既与抛物线相切（只有一个公共点），又与抛物线的对称轴相切于焦点的半径的求法，若将试题分别改为圆与抛物线没有公共点和有两个公共点，又都与抛物线的对称轴相切于焦点，求半径的取值范围，则有下面的两个变式.

变式1"已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若圆M与抛物线C没有公共点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径的取值范围是______.

简析"先考虑圆M与抛物线C相切（只有一个公共点）临界情形时的圆M的半径的值，再结合图形确定圆M半径的取值范围.答案：（0，4"39）.

变式2"已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，若圆M与抛物线C有两个公共点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径的取值范围是______.

简析"先考虑圆M与抛物线C相切（只有一个公共点）临界情形时的圆M的半径的值，再结合图形确定圆M半径的取值范围.答案：（4"39，+∞）.

3.结论推广

由试题解法3得出，圆M与抛物线C相切的公切线的斜率为定值"3，若将这一情形推广到一般抛物线的情形，可得

结论1"设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若圆M与抛物线C只有一个交点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M与抛物线C相切的公切线的斜率为"3.

若将试题推广到一般抛物线的情形，可得：

结论2"设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若圆M与抛物线C只有一个交点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径为2"3p9.

证明"由题意可知F（p2，0）.设圆M的半径为r（r＞0）.根据图形对称性，不妨设圆M在x轴上方（y＞0）且与x轴相切于焦点F，故圆M的方程为（x－p2）2+（y－r）2=r2.

设圆M与抛物线C的公切线为l，公共切点为N（t2，"2pt）（t＞0），l与x轴交点为P，如图1，连接MF，MN，MP，设∠MNF=∠MFN=θ，则根据抛物线光学性质得∠PFN=2θ.

又由MF⊥x轴得∠MFN+∠PFN=3θ=90°，所以θ=30°.在△NPF中，∠NPF=180°－∠PNF－∠PFN=180°－2θ－2θ=60°，所以公切线l的斜率为tan60°="3.由y2=2px得y="2px，所以y'="2p2"x，因此l的斜率为"2p2"t2="2p2t，因此"2p2t="3，解得t="6p6，所以公切点N（p6，"3p3），所以l的方程为y－"3p3="3（x－p6）.令y=0，解得x=－p6，从而P（－p6，0），所以PF=p2－（－p6）=2p3.因此，在Rt△MFP中，圆M的半径r=PFtan∠MPN=2"3p9.

与变式1、2分别相对应，若将结论2分别改为圆与抛物线没有公共点和有两个公共点，又都与抛物线的对称轴相切于焦点，求半径的取值范围，则有下面的两个结论.

结论3"已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若圆M与抛物线C没有公共点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径的取值范围是（0，2"3p9）.

结论4"已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若圆M与抛物线C有两个公共点，且圆M与x轴相切于点F，则圆M的半径的取值范围是（2"3p9，+）.

4.两点启示

（1）数学必备知识是构筑“中学数学”这座大厦的根基，是落实“基础性”考查要求的最好载体.因此，在数学复习备考中，教师要指导学生切实理解基础概念、定理、公式及一些重要的结论；掌握并熟练运用基本解题方法和数学思想；全面复习备考，对所有知识点复习要做到不缺、不漏，不留下知识死角，不留知识盲点.

（2）高考数学命题重视落实对“基础性”的考查要求，一份试卷中会有相当大比例的基础题目，从以下几个方面加强对数学必备知识的考查：①直接考查概念；②对基本公式运用的考查；③对知识之间关系的考查；④多个知识混合在一块解决一个问题；⑤围绕基本概念，考查某些重点计算策略是否掌握；⑥解决某一常见问题的基本方法；⑦多角度考查某一个知识点的理解，上述试题及四种解法就是对这几个方面的最好诠释.另外，在复习备考中，在抓好对基础性题目训练的同时，通过甄选典型试题进行一题多解与一题多变，使学生对所学的知识做到融会贯通，对解题方法与规律做到触类旁通，从而开阔学生的数学思维，提升学生的学科素养.

课题项目：广西柳州市教育规划课题 《基于数学核心素养的普通高中校本课程实践研究》（编号：2023-C162）