对2024年天津高考卷第15题的解法探究

摘"要"本文通过分类讨论以及分离参数两种策略求解了2024年天津卷第15题，研究了此类问题的一般规律，并据此命制了变式问题.

关键词"分类讨论；参数分离；零点

通过梳理近几年的天津卷试题可发现，其选择或填空的压轴题常常以函数的零点为背景，考察参数的取值范围.此类问题涉及到的函数较为简单，但参数与变量的结合较为“紧密”.解决此类问题通常有两种策略：一是通过分类讨论对函数进行化简求解；二是通过分离参数将范围问题转化为最值问题.2024年天津卷第15题便是此类问题，本文通过两种策略研究了该问题，现将探究过程整理如下，以飨读者.

一、试题分析

题目"若函数f（x）=2x2－ax－ax－2+1有唯一零点，求a的取值范围．

分析"通过零点的定义，原函数存在唯一零点等价于2x2－ax=ax－2－1，等价于函数g（x）=2x2－ax与函数h（x）=ax－2－1有且仅有一个交点.两个函数都较为“简单”，但两边都含有参数.可通过分类的思想，确定函数的图象，从而求得交点.对于函数g（x），其函数图象为“双曲线”的部分图象，其参数a影响“顶点”的具体位置；函数h（x）为一个“V”形图象，其参数a影响“V”的倾斜程度.如何进行分类则成为本题的最大难点；其次，参数a与变量x深度融合，分离参数也较为困难.

二、解法呈现

解法1"（分类讨论，确定图象求解）当a=0时，g（x）=2x，h（x）=1，则x=±12，不符合要求，舍去.

当agt;0时，函数g（x）的定义域为（－，0］∪［a，+）.函数h（x）的表达式为h（x）=ax－3，x≥2a，1－ax，xlt;2a.现考虑x∈（－，0］时的零点.原函数的零点等价于方程2x2－ax=1－ax的解.上述方程等价于（4－a2）x2－2ax－1=2+ax+12－ax－1=0，当a=2时，即4x+1=0，即x=－14，当a∈0，2，x=－12+a或x=12－agt;0（舍）；当a∈（2，+）时，x=－12+alt;0或x=12－alt;0，有两解（舍）；由此可得当a∈（0，2］时，原函数在（－，0］内有唯一零点，此时需要求原函数在［a，+）内无零点.

对于函数g（x），令gx=y=2x2－ax，化简可得x－a22a24－y2a2=1（y≥0，x≥a）.其图象为双曲线右支且位于x轴上方的部分，其渐进线为l：y=±2（x－a2）.

原问题转换为“V”形图象h（x）与双曲线的交点.考虑到参数a在函数h（x）中的几何意义（直线的斜率），且有a∈（0，2］，则可得函数h（x）的两个零点与双曲线与x轴交点的位置关系.图1等价于1alt;a，3agt;a，解得1lt;alt;3，如图1所示.

当alt;0时，函数g（x）的定义域为（－，a］∪［0，+）.函数h（x）的表达式为hx=ax－3，x≤2a，1－ax，xgt;2a.现考虑x∈［0，+）时的零点，原函数的零点等价于方程2x2－ax=1－ax的解.

同上述解法，可得，当a∈（－2，0］时，原函数在［0，+）内有唯一零点，此时需要求原函数在（－，a］内无零点.与上述构造双曲线的方式一样同理可得a∈（－3，－1），过程略.综上即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

评注"该解法求解的过程有两个核心难点，一是确定分类的标准；二是通过构造双曲线通过几何视角研究零点的存在性.在具体的求解过程中，非常容易出现“遗漏”与“重复”，求解的难度较大.

解法2"（分离参数）经过笔者的不断探索，将原问题进行了等价转化才实现了参数分离，其本质上是构造了一个复合函数.令ax=m，即有x=ma（将x视为关于m的一次函数）.此时f（x）=2m2a2－m－m－2+1.令g（m）=2m2a2－m－m－2+1，因为x是关于m的单调函数，函数g（m）的零点个数与函数f（x）的零点个数相同.但仅有一个“参数”，达到了消参的目的.实现了参数分离.

令g（m）=0，即2m2a2－m=m－2－1=m－3，m≥3，1－m，m≤1.此时进行参数分离，上述方程等价于1a2=94m2－12m+14，m≥3，14m2+12m+14，m≤1.此时令t=1m，上述方程等价于1a2=94t2－12t+14，0lt;t≤13，14t2+12t+14，t≥1或tlt;0.

为了满足原函数仅有一个零点，等价于上述方程仅有一个解.如图2，显然可得1a2∈（13，1），即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

评注"该解法通过构造一个单调函数所形成的复合函数，其零点个数与原函数相同.并同时将变量进行了“集中化”处理.此外，该解法还涉及到分段函数的参变量分离［1］，需要分段构造分离后的函数表达式.

三、变式探究

反思上述过程，原函数中的核心部分为根号下的二次函数以及绝对值中的一次函数.为此笔者考虑更改参数的位置以及二次函数的运算形式进行变式探究.

变式1"若函数f（x）=ax2－x－ax－2+1有唯一零点，求a的取值范围．

变式2"若函数f（x）=ax2－x－ax－2+1有两个零点，求a的取值范围．

变式3"若函数f（x）=ax－1－ax2－x有两个零点，求a的取值范围．

以变式2为例求解如下：仿照上述解法2，令ax=m，即有x=ma（将x视为关于m的一次函数）.此时f（x）=m2－ma－m－2+1，令g（m）=m2－ma－m－2+1，因为x是关于m的单调函数，函数g（m）的零点个数与函数f（x）的零点个数相同.令g（m）=0，等价于m2－ma=m－2－1=m－3，m≥2，1－m，mlt;2.注意到当m=1时，方程恒成立，m=0时，方程不成立.此时进行参数分离，上述方程等价于1a=m－3m2－m，m≥2，－1m，mlt;2，（m≠1且m≠0）.

为了满足原函数有两个零点，等价于上述方程仅有一个解.如图3，显然可得1a∈（－，－1）∪（－1，0），即可得a∈（－，－1）∪（－1，0）.

参考文献

［1］龙宇.解决含参分段函数问题的四种解法［J］.数理化学习.2021（4）.10-11.