泊松截断δ冲击模型可靠度的重积分计算法

摘要：泊松截断δ冲击模型是一类特殊的冲击模型，但传统的计算泊松截断δ冲击模型可靠度的方法仅有顺序统计量法和无记忆法两种.在已有的两种方法的基础上，本文深入研究泊松截断δ冲击模型的机理，采用不同条件下的联合分布——重积分，提出了多种计算泊松截断δ冲击模型可靠度的方法.

关键词：可靠度;泊松截断δ冲击模型;联合分布：重积分

中图分类号：O 213.2""" 文献标志码：A""" 文章编号：1001-988Ⅹ（2025）01-0102-09

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2025.01.015

收稿日期：20240401;修改稿收到日期：20240506

基金项目：甘肃省高等教育教学成果培育项目（2021GSJXCGPY-03）；中央高校基本科研业务费资助项目（31920210019）

作者简介：马明（1971—），男，内蒙古呼和浩特人，教授，博士.主要研究方向为可靠性数学理论.

Email：mm9252@qq.com

*通信联系人，男，硕士研究生.主要研究方向为可靠性数学理论.

Email：571928236 @qq.com

A multiple integral calculation method

on Poisson censored δ-shock model reliability

MA Ming，MA Lan，PENG Bo，HUANG Ai，ZHANG Qi-rui

（School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhou 730030，Gansu，China）

Abstract：Poisson censored δ-shock model is a special kind of shock model，but the traditional methods of Poisson censored δ-shock model of reliability calculation only have sequential statistics method and no memory method.On the basis of the existing two methods，this paper further studies the mechanism of Poisson censored δ-shock model，and deduces a variety of methods to calculate the reliability of the Poisson censored δ-shock model by using the joint distribution—multiple integration method under different conditions.

Key words：reliability;Poisson censored δ-shock model;joint distribution;multiple integral

随着科学技术的发展，冲击模型在可靠性数学理论的研究中占据着极其重要的地位，此系统的失效是由外在冲击引起的，它一般以交通、医学、生产、金融、保险等领域为背景，研究随机环境中各种运行系统在遭受持续的外部冲击下系统的失效分布、寿命分布以及维修更换策略等寿命指标.在此背景基础下扩展研究的截断δ冲击模型是由于冲击间隔超过了给定阈值而引起的失效，即该系统是一类由较长的冲击间隔引起系统失效的可靠性模型.对截断δ冲击模型的研究有一定的实际意义，通过对实际生活中的可靠性现象进行建模，能够更加合理地进行分析、规划，其在金融保险、机器维护等方面具有广泛应用.例如：保险公司会在每个参保人的保险参保周期内进行一系列优惠营销欲使客户续保，这是因为如果参保人超过了购买周期没有进行续保，那么之前购买的保险就会失效，之前所拥有的一系列续保优惠也随之失效，如要续保则需重新参保，性价比相比较于直接续保降低了很多，所以许多客户会选择不参保，这导致了保险公司客户的流失，故保险公司为了保持客户数量的稳定，在购买周期内及时对客户进行续保营销是一项非常必要的商业策略.

近些年来，δ冲击模型受到国内外学者的广泛关注.例如，李泽慧［1］在研究城市交通拥挤问题的过程中首次描述了经典δ冲击模型，它的失效机制是连续两次冲击时间间隔低于临界值 时则系统失效.此后，在经典δ冲击模型的基础上，Ma等［2］在研究客户关系管理时扩展提出了截断δ冲击模型，研究了关于截断δ冲击模型的一些可靠性指标，包括可靠度、寿命分布等.目前，研究截断δ冲击模型的文献越来越多，且主要侧重于三类模型，分别是泊松截断δ冲击模型、均匀截断δ冲击模型、更新截断δ冲击模型.关于泊松截断δ冲击模型，Ma等［3］讨论了依齐次泊松过程到达的截断δ冲击模型系统寿命的相关性质，推导了泊松截断δ冲击模型的可靠性指标，得到了系统寿命的期望，并给出了该模型在关系营销系统中的一个应用；张攀等［4］把截断δ冲击模型的基础过程推广到非齐次泊松过程，得到了在此冲击强度影响下的系统寿命可靠度函数及其上界、寿命分布类等可靠性性质.关于均匀截断δ冲击模型，Eryilmaz等［5］研究了均匀截断δ冲击模型的可靠性指标；王苗苗等［6］研究了冲击按照更新过程到达且时间间隔服从均匀分布的截断δ冲击模型的系统寿命的分布函数；Pan等［7］研究了当两次连续冲击间到达时间服从均匀分布时截断δ冲击模型的参数估计.关于更新截断δ冲击模型，马明等［8］究了格点更新离散开型截断δ冲击模型的一般可靠性指标；姜伟欣等［9］研究了一种弱更新过程下截断δ冲击模型，讨论了冲击间隔服从幂级数分布的截断δ冲击模型，得到其系统的一些可靠性指标；姜伟欣等［10］讨论了更新间隔服从非负几何分布离散开型截断δ冲击模型的寿命性质.最近，Chadjiconstantinidis等［11］研究了冲击时间间隔具有离散型分布和连续型分布的截断δ冲击模型的可靠性指标，给出了这两类系统的寿命分布和矩；Bian等［12］研究了外部冲击按广义Pólya过程到达的截断δ冲击模型的一些可靠性指标，包括可靠度函数、平均寿命、失效率及寿命分布等.

受文献［2，3］的启发，本文研究泊松截断δ冲击模型的机理，进而采用不同条件下的联合分布-重积分法拓展出多种计算可靠度的方法.

1" 系统定义

考虑一个由单一元件构成并遭受间歇冲击的不可修系统，该冲击在任意时刻都有可能到达.如果距某次冲击发生后，超过δ长的时间还没有新的冲击到达，则系统失效，此时系统的失效机制称作截断δ冲击模型，或称系统寿命T服从失效参数为δ的截断δ冲击模型，其中δ称作失效阈值.通俗地讲，截断δ冲击模型是一类由较长的冲击间隔引起的系统失效的可靠性模型.

在截断δ冲击模型中，假设该系统受到的外部冲击按照速率为λ的泊松过程到达，此时系统称作泊松截断δ冲击模型，记作SM{［PP（λ）］，CD（δ）}（图1），或称系统寿命δ服从冲击率为λ、失效阈值为δ的泊松截断δ冲击模型，也记作T～SM{［PP（λ）］，CD（δ）}.设序列Zn（n=1，2，…）表示系统第（n-1）次冲击和第n次冲击之间的间隔时间，序列Sn=n（n=1，2，…）表示系统失效前的冲击总次数，则有M=inf{Zn+1gt;δ，n=1，2，…}，T=∑Mi=1Zi+δ表示系统发生冲击的时刻，N（t）表示［0，t］时间上系统的冲击次数.

2" 相关引理

为了计算SM{［PP（λ）］，CD（δ）}模型的可靠度，首先给出以下引理，统一规定x+=max{0，x}.

引理1［13］" 设-∞lt;tlt;+∞，b≥0，n=1，2，…，则以下三个表达式等价：

∫∫…∫0≤xi≤b，i=1，2，…，nt-b≤∑ni=1xi≤tdx1dx2…dxn，（1）

∫∫…∫0≤x1≤b，0lt;x2-x1≤b，…，0lt;xn-xn-1≤b，t-b≤xn≤tdx1dx2…dxn，（2）

1n！∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kb）n+.（3）

其中，（2）式称为（1）式的对偶积分.

引理2［13］" 设-∞lt;tlt;+∞，b≥0，n=1，2，…，则以下三个表达式等价：

∫∫…∫0≤xi≤b，…，0≤xn≤bx1+x2+…+xn≥tdx1dx2…dxn，（4）

∫∫…∫0≤x1≤b，0lt;x2-x1≤b，…，0lt;xn-xn-1≤b，xn≥tdx1dx2…dxn，（5）

bn-1n！∑nk=0（-1）knk（t-kb）n+.（6）

其中，（5）式称为（4）式的对偶积分.

注1" 文献［13］要求引理1和引理2中t≥0，但实际上引理1，2对tlt;0也成立.

引理3［14］" 设{N（t），t≥0}表示强度为λ的齐次泊松过程，Si（i=1，2，…）表示该过程第i个事件的发生时刻，则对n=1，2，…， （S1，S2，…，Sn）的联合密度函数为

f（S1，S2，…，Sn）（s1，s2，…，sn）=

λne-λsn， 0lt;s1lt;s2lt;…lt;sn，

0， 其它情形.（7）

引理4［15］" 对x≥0，n=1，2，…，有

∫∞xe-ttn-1dt=（n-1）！e-x∑n-1m=0xmm！，（8）

其中，00=1.

由引理4易得

推论1" 对-∞lt;xlt;+∞，n=2，3，…，有

∫∞xe-ttn-1+dt=（n-1）！e-x+∑n-1m=0xm+m！.（9）

3" 泊松截断δ冲击模型的可靠度

SM{［PP（λ）］，CD（δ）}的可靠度是系统可靠性的重要指标，下面引理5给出了SM{［PP（λ）］，CD（δ）}的可靠度.

引理5［2，3］" 设T～SM{［PP（λ）］，CD（δ）}，则系统可靠度R（t）有以下两个等价结果：

R（t）=1λe-λt∑∞n=1λn1（n-1）！×

∑nk=0（-1）nnk（t-kδ）n-1+，（10）

R（t）=∑∞m=1∑mk=0e-λ（t∨（（k+1）δ））（-1）kmk×

∑m-1i=1（λ（t-（k+1）δ））i+i！，（11）

其中规定，00=1.

文献［2］利用模型发生冲击时刻的条件联合分布顺序统计量的性质推导出（10）式，文献［3］利用模型冲击时间间隔无记忆性的性质推导出（11）式，并证明了（10）与（11）式的等价性.本文采用不同于文献［2，3］的方法，利用冲击间隔或冲击时刻的联合分布直接求解多重积分，推导出SM{［PP（λ）］，CD（δ）}系统可靠度函数的显性表达式.

显然，当tlt;δ时，P（Tgt;t）=1.因此接下来仅考虑t≥δ的情形.

3.1" 关于时间［0，t］上的冲击次数N（t）取条件

对于t≥δ，由全概率公式可得

P（Tgt;t）=∑∞n=0P（Tgt;t，N（t）=n）=

P（Tgt;t，N（t）=0）+

∑∞n=1P（Tgt;t，N（t）=n）.（12）

注意到由于t≥δ时，N（t）=0意味着系统寿命T=δ.所以当N（t）=0时，{Tgt;t}是不可能事件，因此有P（Tgt;t｜N（t）=0）=0.故

P（Tgt;t，N（t）=0）=P（Tgt;t）N（t）=0）×

P（N（t）=0）=0，（13）

因此

R（t）=∑∞n=1P（Tgt;t，N（t）=n）.（14）

3.1.1" 使用冲击间隔的联合分布计算P（Tgt;t，N（t）=n）

当n=1，2，…时，由于

P（Tgt;t，N（t）=n）=

Pt-δlt;∑ni=1Zi≤t，∑n+1i=1Zigt;t，

Zi≤δ，i=1，2，…，n，（15）

所以，若记（Z1，Z2，…，Zn+1）的联合密度函数为f（Z1，Z2，…，Zn+1）（x1，x2，…，xn+1），则

P（Tgt;t，N（t）=n）=

∫∫…∫0≤xi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1xi≤tlt;∑n+1i=1xif（Z1，Z2，…，Zn+1）×

（x1，x2，…，xn+1）dx1dx2…dxn+1.（16）

由于SM{［PP（λ）］，CD（δ）}的冲击过程是参数为λ的泊松过程，故对n=1，2，…，有

f（Z1，Z2，…，Zn+1）（x1，x2，…，xn+1）=λn+1∏n+1i=1e-λxi，

xigt;0，i=1，2，…，n+1，（17）

将（17）式代入（16）式得

P（Tgt;t，N（t）=n）=λn+1×

∫∫…∫0≤xi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1xi≤tlt;∑n+1i=1xi∏n+1i=1e-λxidx1dx2…dxn+1.（18）

下面计算多重积分

I1：=∫∫…∫0≤xi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1xi≤tlt;∑n+1i=1xi∏n+1i=1e-λxidx1dx2…dxn+1.（19）

做变量替换yi=xi，i=1，2，…，n，yn+1=x1+x2+…+xn+1，此时该变换的雅可比行列式J（y1，y2，…，yn）=1，于是

I1=∫∫…∫0≤yi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1yi≤tlt;yn+1e-λyn+1dy1dy2…dyn+1.（20）

对（20）式中的多重积分分离变量yn+1得

I1=∫∞te-λyn+1∫∫…∫0≤yi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1yn≤tdy1dy2…dyndyn+1=

1λe-λt∫∫…∫0≤yi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1yn≤tdy1dy2…dyn.（21）

由引理1得

∫∫…∫0≤yi≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;∑ni=1yn≤tdy1dy2…dyn=

1n！∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kδ）n+.（22）

将（22）式代入（21）式得

I1=1λe-λt1n！∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kδ）n+，（23）

把（23）式代入（18）式得

P（Tgt;t，N（t）=n）=

λne-λt1n！∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kδ）n+.（24）

再把（24）式代入（14）式得

R（t）=e-λt∑∞n=1λn1n！∑n+1k=0（-1）k×

n+1k（t-kδ）n+.（25）

作变量替换n+1=i，则

R（t）=e-λt∑∞i=2λi-11（i-1）！×

∑ik=0（-1）kik（t-kδ）i-1+.（26）

由于当i=1时，

λi-11（i-1）！∑ik=0（-1）kik（t-kδ）i-1+=0，

其中00=1，故（26）式也可写作

R（t）=e-λt∑∞i=2λi-11（i-1）！×

∑ik=0（-1）kik（t-kδ）i-1+.（27）

这证明了（10）式.

3.1.2" 使用冲击时刻的联合分布计算

由于Sn=∑ni=1Zi，n=1，2，…，故将（15）式改写为

P（Tgt;t，N（t）=n）=

P（t-δlt;Sn≤t，Sn+1gt;t，Si-Si-1≤δ，

i=1，2，…，n），（28）

其中S0≡0.若记{S1，S2，…Sn+1）的联合密度函数为f（S1，S2，…，Sn+1）（x1，x2，…，xn+1），则

P（Tgt;t，N（t）=n）=

∫∫…∫0≤xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;xn≤tlt;xn+1

f（S1，S2，…，Sn+1）×

（x1，x2，…，xn+1）dx1dx2…dxn+1，（29）

其中x0≡0.

对于0lt;x1lt;x2lt;…lt;xn+1，由引理3可得

f（S1，S2，…，Sn+1）（x1，x2，…，xn+1）=λn+1e-λxn+1，（30）

则将（30）式代入（29）式可得

P（Tgt;t，N（t）=n）=λn+1×

∫∫…∫0≤xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;xn≤tlt;xn+1

e-λxn+1dx1dx2…dxn+1.（31）

对（31）式中的多重积分分离变量xn+1得

P（Tgt;t，N（t）=n）=λn+1∫∞te-λxn+1×

∫∫…∫0≤xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;xn≤tdx1dx2…dxndxn+1=

λne-λt∫∫…∫0≤xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;xn≤tdx1dx2…dxn.（32）

由引理1得

∫∫…∫0≤xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，nt-δlt;xn≤tdx1dx2…dxn=

1n！∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kδ）n+.（33）

把（33）式代入（32）式可得

P（Tgt;t，N（t）=n）=λne-λt1n！×

∑n+1k=0（-1）kn+1k（t-kδ）n+，（34）

再把（34）式代入（14）式可得

R（t）=e-λt∑∞n=1λn1n！∑n+1k=0（-1）k×

n+1k（t-kδ）n+.（35）

（35）式与（25）式相同，这意味着证明了（10）式.

3.2" 关于失效前的冲击次数M取条件

对于t≤δ，由全概率公式可得

P（Tgt;t）=P（Tgt;t，M=0）+

∑∞m=1P（Tgt;t，M=m）.（36）

其中{M=0}表示冲击还未发生系统即失效，即有

{M=0}{Z1gt;δ}{T=δ}.

当t≥δ时，易得

P（Tgt;t，M=0）=P（Tgt;t，T=δ）=

P（δgt;t，T=δ）=0，（37）

故

R（t）=∑∞m=1P（Tgt;t，M=m）.（38）

3.2.1" 使用冲击间隔的联合分布计算"" 当m=1，2，…时，有

P（Tgt;t，M=m）=

Pt-δlt;∑mi=1Zi，Zm+1gt;δ，

Zi≤δ，i=1，2，…，m，（39）

故

P（Tgt;t，M=m）=

∫∫…∫0lt;xi≤δ，i=1，2，…，m∑mi=1xigt;t-δ，xm+1gt;δf（Z1，Z2，…，Zm+1）×

（x1，x2，…，xm+1）dx1dx2…dxm+1.（40）

将（17）式代入（40）式得

P（Tgt;t，M=m）=λm+1×

∫∫…∫0lt;xi≤δ，i=1，2，…，m∑mi=1xigt;t-δ，xm+1gt;δ∏m+1i=1e-λxidx1dx2…dxm+1.（41）

对（41）式中的多重积分分离变量xm+1得

P（Tgt;t，M=m）=

λm+1∫∞δe-λxm+1

∫∫…∫0lt;xi≤δ，i=1，2，…，m∑mi=1xigt;t-δ∏mi=1e-λxi×

dx1dx2…dxmdxm+1=λme-λδ×

∫∫…∫0lt;xi≤δ，i=1，2，…，m∑mi=1xigt;t-δ∏mi=1e-λxidx1dx2…dxm.（42）

下面计算多重积分

I2：=∫∫…∫0lt;xi≤δ，i=1，2，…，m∑mi=1xigt;t-δ∏mi=1e-λxidx1dx2…dxm.（43）

当m=1时，有

I2=∫0lt;x1≤δx1gt;t-δe-λx1dx1=∫δ∨（t-δ）t-δe-λx1dx1=

0， t≥2δ，

-1λ（e-λδ-e-λ（t-δ））， tlt;2δ.（44）

当m≥2时，做变量替换xi=yi，i=1，2，…，m-1，ym=x1+x2+…+xm，此时该变换的雅可比行列式J（y1，y2，…，ym）=1，则

I2=∫∫…∫0lt;y1≤δ，0lt;y2≤δ，…，0lt;ym-1≤δ，ymgt;t-δ

ym-δ≤y1+y2+…+ym-1≤ym

e-λymdy1dy2…dym.（45）

对（45）式中的多重积分分离变量ym得

I2=∫∞t-δe-λym∫∫…∫0lt;y1≤δ，0lt;y2≤δ，…，0lt;ym-1≤δym-δ≤y1+y2+…+ym-1≤ym

dy1dy2…dym-1dym，（46）

由引理1得

∫∫…∫0lt;y1≤δ，0lt;y2≤δ，…，0lt;ym-1≤δym-δ≤y1+y2+…+ym-1≤ymdy1dy2…dym-1=

1（m-1）！∑mk=0（-1）k×

mk（ym-kδ）m-1+.（47）

将（47）式代入（46）式得

I2=∫∞t-δe-λy1（m-1）！∑mk=0（-1）k×

mk（y-kδ）m-1+dy=

1（m-1）！∑mk=0（-1）kmk×

∫∞t-δe-λy（y-kδ）m-1+dy.（48）

做变量替换z=y-kδ，则对0≤k≤m，有

∫∞t-δe-λy（y-kδ）m-1+dy=

e-λkδ∫∞t-（k+1）δe-λzzm-1+dz，（49）

由推论1可得

∫∞t-（k+1）δe-λzzm-1+dz=

1λm∫∞t-（k+1）δe-λz（λz）m-1+d（λz）=

1λm（m-1）！e-λ（t-（k+1）δ）+×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（50）

将（50）式代入（49）式得

∫∞t-δe-λy（y-kδ）m-1+dy=

1λm（m-1）！e-λ（kδ+（t-（k+1）δ）+）×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！，（51）

再将（51）式代入（48）式得

I2=1λm∑mk=0（-1）kmke-λ（kδ+（t-（k+1）δ）+）×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（51）

注意到t≥δ及00=1，所以当m=1时，有

I2=-1λ（e-λ（δ+（t-2δ）+）-e-λ（t-δ））=

0， t≥2δ

-1λ（e-λδ-e-λ（t-δ））， δ≤tlt;2δ.（53）

故（52）式对m=1的情形即（44）式也成立.

再将（53）式代入（42）式得

P（Tgt;t，M=m）=

∑mk=0e-λ（（k+1）δ+（t-（k+1）δ）+）（-1）kmk×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！，（54）

将（54）式代入（38）式可得

R（t）=∑∞m=1∑mk=0e-λ（（k+1）δ+（t-（k+1）δ）+）（-1）kmk×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（55）

注意到，（55）式中的

（k+1）δ+（t-（k+1）δ）+=

t， tgt;（k+1）δ（k+1）δ， tlt;（k+1）δ=

t∨（（k+1）δ），

故

R（t）=∑∞m=1∑mk=0e-λ（t∨（（k+1）δ））（-1）kmk×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.

这证明了（11）式.

3.2.2" 使用冲击时刻的联合分布计算

由于Sn=∑ni=1Zi，n=1，2，…，故将（39）式改写为

P（Tgt;t，M=m）=

P（t-δlt;Sm，Sm+1-Smgt;δ，

Si-Si-1≤δ，i，=1，2，…，m），（56）

其中，S0=0.所以

P（Tgt;t，M=m）=

∫∫…∫xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mt-δlt;xmlt;xm+1-δ

f（S1，S2，…，Sm+1）×

（x1，x2，…，xm+1）dx1dx2…dxm+1，（57）

其中x0=0.

对于0lt;x1lt;x2lt;…lt;xm+1，由引理4得

f（S1，S2，…，Sm+1）（x1，x2，…，xm+1）=λm+1e-λxm+1，（58）

将（58）式代入（57）式得

P（Tgt;t，M=m）=

λm+1∫∫…∫xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mt-δlt;xmlt;xm+1-δe-λxm+1dx1dx2…dxm+1.（59）

对（59）式中的多重积分分离变量xm+1得

P（Tgt;t，M=m）=λm+1∫∞te-λxm+1×

∫∫…∫0lt;xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mt-δlt;xmlt;xm+1-δdx1dx2…dmdxm+1.（60）

由引理2得

∫∫…∫0lt;xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mt-δlt;xmlt;xm+1-δdx1dx2…dxm=

∫∫…∫0lt;xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mxmgt;t-δdx1dx2…dxm-

∫∫…∫0lt;xi-xi-1≤δ，i=1，2，…，mxmgt;xm+1-δdx1dx2…dxm=

1m！∑mk=0（-1）kmk

［（xm+1-（k+1）δ）m+-

（t-（k+1）δ）m+］.（61）

将（61）式代入（60）式得

P（Tgt;t，M=m）=

λm+1m！∑mk=0（-1）kmk∫∞te-λx×

［（x-（k+1）δ）m+-（t-（k+1）δ）m+］dx=

∑mk=0（-1）kmkλm+1m！∫∞te-λx×

（x-（k+1）δ）m+dx-

e-λt（λ（t-（k+1）δ））m+m！.（62）

对0≤k≤m，下面计算积分

I3：=λm+1m！∫∞te-λx（x-（k+1）δ）m+dx.（63）

做变量代换z=x-（k+1）δ，则

∫∞te-λx（x-（k+1）δ）m+dx=

e-λ（k+1）δ∫∞t-（k+1）δe-λzzm+dz，（64）

由推论1可得

∫∞t-（k+1）δe-λzzm+dz=

1λm+1∫∞t-（k+1）δe-λzzm+（λz）m+d（λz）=

m！λm+1e-λ（t-（k+1）δ）+×

∑mi=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（65）

将（65）式代入（64）式得

∫∞te-λx（x-（k+1）δ）m+dx=

m！λm+1e-λ（（k+1）δ+（t-（k+1）δ+）×

∑mi=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！=

m！λm+1e-λ（t∨（（k+1）δ））×

∑mi=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（66）

再将（66）式代入（63）式得

I3=e-λ（t∨（（k+1）δ））∑mi=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！=

e-λ（t∨（（k+1）δ））∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！+

e-λ（t∨（（k+1）δ））（λ（t-（k+1）δ））m+m！.（67）

由于m≥1，所以当t≥（k+1）δ时，有

e-λ（t∨（（k+1）δ））（λ（t-（k+1）δ））m+m！=

e-λt（λ（t-（k+1）δ））m+m！.（68）

当δ≤tlt;（k+1）δ时，有

e-λ（t∨（（k+1）δ））（λ（t-（k+1）δ））m+m！=0=

e-λt（λ（t-（k+1）δ））m+m！.（69）

因此，对t≥δ及0≤k≤m，由（68）式和（69）式可得

e-λ（t∨（（k+1）δ））（λ（t-（k+1）δ））m+m！+

e-λt（λ（t-（k+1）δ））m+m！.（70）

将（70）式代入（67）式得

I3=e-λ（t∨（（k+1）δ））∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！+

e-λt（λ（t-（k+1）δ））m+m！，（71）

再将（71）式代入（62）式得

P（Tgt;t，M=m）=

∑mk=0e-λ（t∨（（k+1）δ））（-1）kmk×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.（72）

最后将（72）式代入（38）式可得

R（t）=∑∞m=1∑mk=0e-λ（t∨（（k+1）δ））（-1）kmk×

∑m-1i=0（λ（t-（k+1）δ））i+i！.

这证明了（11）式.

4" 数值模拟

由于（10）式与（11）式等价，为了更清晰地观察泊松截断δ冲击模型中系统冲击率λ和失效参数δ对系统可靠性的影响，分别模拟参数λ和δ不同取值对可靠度函数R（t）的影响.

由图2可见，失效阈值δ对系统可靠性有一定影响.当冲击率λ分别固定为1.1，1.2，1.3和1.4时，δ取值2，2.2，2.4和2.6时系统可靠度R（t）的变化曲线如图2所示.当λ的值一定时，失效阈值δ越大，系统的可靠度提高越快.结果表明，失效阈值δ越小，可靠性越差.也就是说，δ的值越大，系统失效的可能性就越小.

同样地，失效阈值δ对系统可靠性也有一定影响.当失效阈值δ分别固定为2，2.2，2.4和2.6时， 取值为1.1，1.2，1.3，1.4时系统可靠度R（t）的变化曲线如图3所示.由图3可见，当δ的值一定时，随着冲击率λ的增加，系统在冲击下的可靠度提高越快.结果表明，系统的冲击到达率越大，系统的可靠性越好.

注意到，系统可靠度函数R（t）在t=δ处有一个跳跃间断点，说明R（t）在t=δ处不连续，关于该结论的证明文献［2］已给出.

5" 结束语

在已有计算泊松截断δ冲击模型的可靠度方法的基础上，利用不同条件下的联合分布——重积分法得到系统的可靠度，还通过数值模拟分析了泊松截断δ冲击模型中系统冲击率λ和失效参数δ两个参数对系统可靠性的影响.本文用于计算泊松截断δ冲击模型可靠度的新方法可以推广到其它截断δ冲击模型，为以后截断δ冲击模型可靠性的研究开辟了新的思路，既丰富了冲击模型在可靠度方面的内容，也进一步推动了截断δ冲击模型的发展.

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（责任编辑" 马宇鸿）