2025年高考之计数原理考点解读

计数问题是重要的数学问题，包括两个计数原理、排列与组合、二项式定理等知识内容。通过对计数原理的学习，我们能够初步解决现实生活中简单的计数问题。两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，也是进一步研究排列与组合问题的基础。排列与组合是高考命题的热点，试题灵活且难度不大，多以选填题的形式出现。排列与组合内容也常与概率、离散型随机变量的分布列等知识综合命题，多在解答题中出现。二项式定理也是高考中的常考常新内容，多以选填题的形式出现，试题难度中档，主要考查二项展开式中的特定项、二项式系数和、二项式系数及二项式定理的应用等。

考点1.对两个计数原理及其综合应用的考查

例1在如图1所示的方格中，用4种不同的颜色做涂色游戏，要求相邻区域的颜色不同，每个区域只能涂一种颜色。

①若区域A，B，C，D涂2种颜色，区域E，F，G，H涂另外2种颜色，则有______种不同涂法;

②若区域A，B，C，D涂4种颜色（A，B，C，D涂的颜色互不相同），区域E，F，G，H也涂这4种颜色（E，F，G，H涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法。

分析：①利用分步计数原理可求不同的涂法;②先涂A，B，C，D，再就F，G的涂色情况分类计算即可。

解：①先涂A，B，C，D，有C24×A22=12（种），再涂E，F，G，H，有A22=2（种），故不同的涂法共有12×2=24（种）。故填24。

②先涂A，B，C，D，共有A44=24（种）。若F，G所涂颜色为A，B所涂颜色，则有A22×A22=4（种）涂法;若F，G所涂颜色为C，D所涂颜色，则有1种涂法;若F，G所涂颜色为A，C所涂颜色，则有1种涂法;若F，G所涂颜色为A，D所涂颜色，则有1种涂法;若F，G所涂颜色为B，C所涂颜色，则有1种涂法;若F，G所涂颜色为B，D所涂颜色，则有1种涂法。综上可得，不同的涂法共有24×（4+5）=216（种）。故填216。

考点解读：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终。在综合应用两个原理解决问题时应注意：（1）一般是先分类再分步，在分步时可能又会用到分类加法计数原理;（2）对于较复杂的两个原理的综合应用问题，可恰当地列出示意图或表格，使问题形象化、直观化。

考点2.对排列组合及其综合应用的考查

例2（1）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值。棋盘中有红黑两方阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方法共有（）。

A.120种B.24种C.36种D.12种

（2）某校田径队有十名队员，分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队。其中将A，B，C，D，E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法共有（）。

A.432种B.864种

C.1728种D.2592种

分析：（1）先排红色棋子，再将黑色棋子插空进行求解。（2）首先计算甲队的排列总数，分别用捆绑法和除序法;然后利用插空法计算乙队的排列总数;最后利用计数原理计算总的排列方法数即可。