用12阶分圆类构造新差族

摘"要：差族是差集概念的推广，满足某些特定条件的差族可以用于构造光正交码及最优常复合码，这两种码在通信领域都有很重要的应用，另外一些具有特定参数的差族可以用于构造平衡不完全区组设计及hadamard矩阵.本论文利用有限域Zp（p为素数）上的12阶分圆类构造了一个含有两个基块的参数为p，p-12，p-32的差族，把此差族中的每一个基块替换成原来的基块与{0}的并集，得到另外一个参数为p，p+12，p+12的差族，我们的数值试验验证了这两个集族在p取某些值时的确是差族.

关键词：差族；分圆类；有限域

1"概述

设G是一个阶数为v的加法交换群，BiG（1≤i≤s），称F={B1，B2，…Bs}为一个集族，Bi（i=1，2，…，s）称为F的块［1］.定义多重集ΔBi={x-y|x，y∈Bi，x≠y}，多重集ΔF=∪si=1ΔBi={x-y|x，y∈Bi，x≠y，i=1，2，…，s}.若G中每一个非零元素在ΔF中出现λ次，则称F是一个参数为（v，{B1，B2，…，Bs}，λ）的差族［1］.若B1=B2=…=Bs=k，则可记F的参数为（v，k，λ）［1］.差族的概念可以看作是差集概念的推广，参数为（v，k，λ）的差族可以用于构造平衡不完全区组设计［2］，特别地，具有两个基块的参数为（v，v-12，v-32）的差族还可以用于构造阶数为2v+2的hadamard矩阵［3］.

有限域上的分圆类是构造差族等组合设计的重要工具.设q=ef+1为某个素数p的幂次，g为有限域GF（q）的一个本原元，定义C（e，q）i=gilt;ge＞（0≤i≤e-1），其中lt;ge＞是由ge生成的GF（q）的一个乘法子群.这些陪集C（e，q）i（0≤i≤e-1）称为GF（q）的e阶分圆类［4］.若ilt;0或i≥e，定义C（e，q）i=C（e，q）k，其中i≡k（mode），且0≤k≤e-1.设x∈C（e，q）i，y∈C（e，q）j，满足x+1=y的数对（x，y）的数目称为GF（q）的e阶分圆数，记为（i，j）e［4］.显然，（i，j）e=（i′，j′）e，其中i≡i′（mode），j≡j'（mode）［4］.此外，分圆数具有性质［4］：（i，j）e=（e-i，j-i）.

衡子灵等［5］和参考文献［6］中的学者利用四阶分圆类构造了一些含有两个块的参数为（v，v-12，v-32）的差族，本论文利用有限域Zp上的12阶分圆类构造了一个参数为（p，p-12，p-32）的差族，并利用此差族构造了另外一个参数为（p，p+12，p+12）的差族.

2"12阶分圆数

参考文献［7］给出了当q等于素数p时的12阶分圆数.设p=12f+1为一个奇素数，则有如下表达式：p=x2+4y2=a2+3b2，其中x≡1（mod4），a≡1（mod6）.144个12阶分圆数最多有31个不同的取值，且每个分圆数都可以写成p，x，y，a，b的表达式，它们之间的关系可参看文献［10］，我们不再在本文中给出.

设β=exp（2πi12）为12次本原根，ind（a）为a对模p的指数，对于每一对整数m，n，定义雅克比和

φ（βm，βn）=∑a+b≡1（modp）βmind（a）+nind（b），其中1≤a，b≤p-1.令g为有限域Zp的一个本原元，M，M′∈Zp且满足gM≡2（modp），gM′≡3（modp），c=φ（β3，β）φ（β5，β）.12阶分圆数依赖于f的奇偶性，M（mod6），M'（mod4）及c的值，共有24种不同的情形.表2和表3列出了四种情形，分别是f为奇数，M′（mod4）=0，c=β3（及c=-β3），M（mod6）=3的情形，和f为奇数，M′（mod4）=2，c=1（及c=-1），M（mod6）=3的情形.

3"两个新的差族

在下文中，将C（12，p）i简记为Ci.

定理：在下列四种情形下，当b=-6时，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11}是Zp中一个参数为p，p-12，-32+p2的差族.

（1）f为奇数，M′（mod4）=0，c=β3，M（mod6）=3；

（2）f为奇数，M′（mod4）=0，c=-β3，M（mod6）=3；

（3）f为奇数，M′（mod4）=2，c=1，M（mod6）=3；

（4）f为奇数，M′（mod4）=2，c=-1，M（mod6）=3.

证明：记C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10=A，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11=B.IA及IB分别是由A和B中分圆类的下标构成的集合，即IA={0，1，2，3，4，10}，IB={0，1，7，9，10，11}.设x∈Cm，则

（A+x）∩A=∑i，j∈IA（Ci+x）∩Cj

=∑i，j∈IA（i-m，j-m）12

=∑i，j∈IA（m-i，j-i）12.

从而ΔA=∪11m=0∑i，j∈IA（m-i，j-i）12Cm.

同理可得ΔB=∪11m=0∑i，j∈IB（m-i，j-i）12Cm.

由12阶分圆数之间的关系及表1和表2中列出的分圆数，可得此定理四种情形下的ΔA和ΔB，在前两种情形下：

ΔA=112（3p+2b+6y-9）C0∪124（6p+3a+4b-3x-18）C1

∪124（6p+3a-4b-3x-18）C2∪112（3p-2b-6y-9）C3

∪18（2p-a-2b+x-10）C4∪18（2p-a+2b+x-2）C5

∪112（3p+2b+6y-9）C6∪124（6p+3a+4b-3x-18）C7

∪124（6p+3a-4b-3x-18）C8∪112（3p-2b-6y-9）C9

∪18（2p-a-2b+x-10）C10∪18（2p-a+2b+x-2）C11，

ΔB=112（3p-2b-6y-9）C0∪18（2p-a-2b+x-10）C1

∪18（2p-a+2b+x-2）C2∪112（3p+2b+6y-9）C3

∪124（6p+3a+4b-3x-18）C4∪124（6p+3a-4b-3x-18）C5

∪112（3p-2b-6y-9）C6∪18（2p-a-2b+x-10）C7

∪18（2p-a+2b+x-2）C8∪112（3p+2b+6y-9）C9

∪124（6p+3a+4b-3x-18）C10∪124（6p+3a-4b-3x-18）C11.

将上述两式中各分圆类的系数表达式中的x换为-x，y换为-y可得后两种情形下的ΔA和ΔB，我们不再列出它们的表达式.

从而，在此定理的四种情形下，都有：

ΔA，B=p2-32C0∪p2-b12-2C1∪p2+b12-1C2∪p2-32C3∪p2-b12-2

C4∪p2+b12-1C5∪p2-32

C6∪p2-b12-2C7∪p2+b12-1

C8∪p2-32C9∪p2-b12-2

C10∪p2+b12-1C11.

当b=-6时，Δ{A，B}中各个分圆类Ci（0≤i≤11）前的系数都等于p2-32，因此定理的结论成立.

证毕.

推论：在定理的四种情形下，当b=6时，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10∪{0}，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11∪{0}}是Zp中一个参数为p，p+12，p+12的差族.

证明：设A，B，IA，IB表示与之前（在定理的证明过程中出现）相同的含义.由定理的证明过程，ΔA=∪11m=0∑i，j∈IA（m-i，j-i）12Cm，ΔB=∪11m=0∑i，j∈IB（m-i，j-i）12Cm.记km=∑i，j∈IA（m-i，j-i）12，lm=∑i，j∈IB（m-i，j-i）12，从而ΔA=∪11m=0kmCm，ΔB=∪11m=0lmCm，Δ（A，B）=∪11m=0（km+lm）Cm.又Δ（A∪{0}）=ΔA∪A∪（-A），Δ（B∪{0}）=ΔB∪B∪（-B），其中-A={-x|x∈A}，-B={-y|y∈B}.另外，当f为奇数时，-Cm=Cm+6（0≤m≤11）.从而：

Δ（A∪{0}）=（k0+1）C0∪（k1+1）C1∪（k2+1）C2∪（k3+1）C3∪（k4+2）C4∪k5C5∪（k6+1）C6∪（k7+1）C7∪（k8+1）C8∪（k9+1）C9∪（k10+2）C10∪k11C11，

Δ（B∪{0}）=（l0+1）C0∪（l1+2）C1∪l2C2∪（l3+1）C3∪（l4+1）C4∪（l5+1）C5∪（l6+1）C6∪（l7+2）C7∪l8C8∪（l9+1）C9∪（l10+1）C10∪（l11+1）C11，

Δ（A∪{0}，B∪{0}）=（k0+l0+2）C0∪（k1+l1+3）C1∪（k2+l2+1）C2∪（k3+l3+2）C3∪（k4+l4+3）C4∪（k5+l5+1）C5∪（k6+l6+2）C6∪（k7+l7+3）C7∪（k8+l8+1）C8∪（k9+l9+2）C9∪（k10+l10+3）C10∪（k11+l11+1）C11.

由定理证明过程中得到的Δ（A，B），得：

Δ（A∪{0}，B∪{0}）=p2+12C0∪p2-b12+1

C1∪p2+b12C2∪p2+12

C3∪p2-b12+1C4∪p2+b12

C5∪p2+12C6∪p2-b12+1

C7∪p2+b12C8∪p2+12

C9∪p2-b12+1C10∪p2+b12C11.

当b=6时，各分圆类前的系数相等，都为p2+12，所以推论的结论成立.

证毕.

我们的数值实验验证了在定理所列的四种情形下，上述两个集族当p取某些值时确为具有相应参数的差族.例如，在定理的第（1）种情形下，当p=229，9133，24133，32869，37357…时，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11}是Zp中一个参数为p，p-12，-32+p2的差族；在定理的第（3）种情形下，当p=397，6037，38917…时，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10∪{0}，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11∪{0}}是Zp中一个参数为（p，p+12，p+12）的差族.

结语

本文利用有限域Zp上的12阶分圆类构造了两个差族，并且我们的数值实验验证了这两个集族当p取某些素数时确是差族.

参考文献：

［1］COLBOURN"C"J，DINITZ"J"H.Handbook"of"Combinatorial"Designs［M］.Boca"Raton：CRC"Press，2006.

［2］LAM"C，MIAO"Y.（Ck⊕G，k，λ）"Difference"Families［J］.Designs，Codes"and"Cryptography，2001，24（3）：291304.

［3］BEKISHEV"G"A.Hadmard"matrices"and"difference"families［J］.Matematical"Notes"of"the"Academy"of"Science"of"the"USSR，1990，47（3）：236239.

［4］STORER"T.Cyclotomy"and"difference"sets［M］.Chicago：Markham"Publishing"Company，1967.

［5］衡子灵，岳勤.新的差族和几乎差族的构造［J］.江苏师范大学学报（自然科学版），2013，31（02）：912.

［6］DING"C"S.Two"constructions"of"v，v-12，v-32"difference"families［J］.Journal"of"Combinatorial"Designs，2008，16（2）：164171.

［7］WHITEMAN"A"L.The"cyclotomic"numbers"of"order"twelve［J］.Acta"Arithmetica，1960，6（1）：5376.

基金项目：2023年辽宁省大学生创新创业训练计划项目（202312026155）

作者简介：徐亭亭（2004—"），女，汉族，河南商丘人，本科在读，研究方向：组合设计。

*通讯作者：唐玲丽（1983—"），女，汉族，河北邯郸人，博士研究生，讲师，研究方向：组合设计和编码理论。