圆锥曲线中一类斜率互为相反数问题的探究

过圆锥曲线左（或右）焦点的直线与曲线交于两点（异于顶点），坐标轴x轴（或y轴）上存在一个定点使得与这两点连线的斜率互为相反数.定点问题一直是圆锥曲线试题命题的热点问题之一，此类问题内涵丰富，具有一定的研究价值.本文以2023届贵州省贵阳市高三上学期高考适应性月考（三）中的圆锥曲线试题为例，探究问题的本质，从而得到几个一般性的结论.

一、试题呈现

题目" （2023届贵州省贵阳市高三上学期高考适应性月考（三）第20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），短轴长为23，过椭圆C的右焦点F2且垂直于x轴的直线被截得的弦长为3.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F2的直线l与椭圆C交于D，E两点，则在x轴上是否存在一个定点M，使得直线MD，ME的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由.

解析" （1）根据题意得2b=23，

2b2a=3， 解得a2=4，

b2=3， 所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.

（2）由（1）可知F2（1，0），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x－1），

联立y=k（x－1），

x24+y23=1， 得（4k2+3）x2－8k2x+4k2－12=0.设E（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3.设M（m，0），则kMD=y2x2－m，kME=y1x1－m.

又因为直线MD，ME的斜率互为相反数，

所以kME+kMD=y1x1－m+y2x2－m=x2y1+x1y2－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以x2y1+x1y2－m（y1+y2）=x2k（x1－1）+x1k（x2－1）－m［k（x1－1）+k（x2－1）］=0，所以2kx1x2－k（x1+x2）－m［k（x1+x2）－2k］=2k·4k2－124k2+3－k·8k24k2+3－m（k·8k24k2+3－2k）=0，整理得k（m－4）=0.若k（m－4）=0对于任意k∈R恒成立，则m=4；当直线l的斜率k不存在时，若m=4，则M（4，0）满足直线MD，ME的斜率互为相反数.

综上所述，在x轴上存在一个定点M（4，0），使得直线MD，ME的斜率互为相反数.

评注" 通过对解题过程的分析，我们知道圆锥曲线中很多的试题都可以进行不同程度的一般性探究与推广，尤其是涉及到斜率之和为定值的问题.此题难度适中，试题第（2）问中是定点问题的一种特殊的情况，为此，下面探究一般情形下是否也有相关结论成立.

二、结论推广

结论1"" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过椭圆C的左（或右）焦点F1（－c，0）（或F2（c，0））的直线l与椭圆交于A，B两点，在x轴上存在定点M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

证明" （以直线l过椭圆的右焦点为例）根据题意得F2（c，0），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x－c），联立y=k（x－c），

x2a2+y2b2=1， 得（b2+a2k2）x2－2ca2k2x+a2k2c2－a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2.设M（m，0），则kMA=y1x1－m，kMB=y2x2－m，又因为直线AM，BM的斜率互为相反数，同上述解析过程得kMA+kMB=y1x1－m+y2x2－m=y1x2+y2x1－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以y1x2+y2x1－m（y1+y2）=0，即k（x1－c）x2+k（x2－c）x1－m［k（x1－c）+k（x2－c）〗=0，所以2kx1x2－k（m+c）（x1+x2）+2kmc=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－k（m+c）·2ca2k2b2+a2k2+2kmc=0，整理得k（mc－a2）=0，若k（mc－a2）=0对任意k∈R成立，则m=a2c；当直线l的斜率k不存在时，若m=a2c，则M（a2c，0）满足直线AM，BM的斜率互为相反数.

综上，当直线l经过椭圆C的右焦点F2（c，0）时，在x轴上存在定点M（a2c，0），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

评注" 试题正是结论1中的过右焦点情形，将c=1，a2=4代入到结论1中可以加以佐证结论的正确性，同时当直线l经过椭圆C的左焦点F1（－c，0）时，将结论1中的c换为－c，左焦点情形即可得证.以上结论是存在定点在x轴上，使得直线AM，BM的斜率互为相反数，思考这样一个问题，在y轴上是否存在定点M，使得线AM，BM的斜率互为相反数？

结论2"" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过椭圆C的左（或右）焦点F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，在y轴上存在定点M（0，b2ck）（或M（0，－b2ck））（k≠0），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

证明" （以直线l过椭圆的右焦点为例）由于x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2，证明过程同结论1.设M（0，m），则kMA=y1－mx1，kMB=y2－mx2，又因为直线AM，BM的斜率互为相反数，所以kMA+kMB=y1－mx1+y2－mx2=x2（y1－m）+x1（y2－m）x1x2=0，所以x2（y1－m）+x1（y2－m）=0，即x2［k（x1－c）－m］+x1［k（x2－c）－m］=0，所以2kx1x2－（kc+m）（x1+x2）=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－（kc+m）·2ca2k2b2+a2k2=0，得b2=－kcm，所以当k≠0时，m=－b2ck；当直线l的斜率k不存在时，若m=－b2ck（k≠0），则M（0，－b2ck）满足直线AM，BM的斜率互为相反数.

综上，当直线l经过椭圆C的右焦点F2（c，0）时，在y轴上存在定点M（0，b2ck），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

评注" 当直线l经过椭圆C的左焦点F1（－c，0）时，将结论1中的c换为－c，左焦点情形即可得证.以上结论都是基于椭圆模型，那么，在双曲线和抛物线中是否也有类似的结论？下面继续探究.

结论3" 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），过双曲线C的左（或右）焦点F1（－c，0）（或F2（c，0））的直线l与双曲线交于A，B两点，在x轴上存在定点M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

结论4" 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），过双曲线C的左（或右）焦点F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率为k的直线l与双曲线交于A，B两点，在y轴上存在定点M（0，－b2kc）（或M（0，b2kc））（k≠0），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

评注" 结论3和结论4的证明思路与结论1和结论2的证明思路完全一致，通过观察上述结论可以发现，椭圆和双曲线模型的结论具有统一性.

结论5"" 已知抛物线C：y2=2px（p≠0），过抛物线的左（或右）焦点F1（－p2，0）（或F2（p2，0））的直线l与抛物线交于A，B两点，在x轴上存在定点M（p2，0）（或M（－p2，0）），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

结论6"" 已知抛物线C：y2=2px（p≠0），过抛物线的左（或右）焦点F1（－p2，0）（或F2（p2，0））且斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，在y轴上存在定点M（0，pk2+k2）（或M（0，－pk2+k2）），使得直线AM，BM的斜率互为相反数.

以上所有结论中圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程都是焦点在x轴上的情形，那么当焦点在y轴上的情形，也有类似的结论成立，大家不妨类比探究.另外，基于以上结论的探究，我们自己可以编制一些相关的题目.

三、题目编制

题目1" 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）过点（4，0），离心率为54，F2为双曲线的右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F2且斜率为－2的直线l与双曲线C交于A，B两点，则在y轴上是否存在一个定点M，使得直线AM，BM的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由.

题目2" 已知抛物线C：y2=2px（pgt;0），其焦点为F，抛物线线上任一点P到点F的距离等于到直线x=－1的距离.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，则在x轴上是否存在一个定点M，使得直线AM，BM的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由.

评注" 这两道试题的命题思路分别是直线过双曲线和抛物线的右焦点，求定点在y轴和x轴上的情形，求解思路与前面结论的证明探究相同.

参考文献

［1］林国红. 一道圆锥曲线竞赛试题的推广探究［J］. 数学通讯，2022，（04）：44-45+55.

［２］徐凤旺，刘天明，成敏. 一道2022年数学奥林匹克试题的多解探究及推广［J］. 中学数学研究（华南师范大学），2023，（11）：24-26.