多思少算觅蹊径 直观数形巧转化

1. 问题的提出

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考重点考察的内容.其特点是运算量大，导致计算量大的主要原因是：一是当曲线与直线进行联立时，由于二次曲线方程或直线方程形式较为复杂，涉及大量的代数运算；二是解析几何中问题常常涉及其他数学知识，如向量、距离、面积等，使得问题综合性强，计算变得繁琐.这些问题不仅考验学生的计算能力，还考验他们的逻辑思维和问题解决能力.本文以2024年新高考I卷第16题为例，作一评析.

题目" （2024年新高考I卷第16题）" 已知A0，3和P3，32为椭圆C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上两点.

（1）求C的率心率；

（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

解法1" （常规解法）（1）将点A0，3和P3，32代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，解得a2=12，b2=9，则e=12.

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=3，此时PB=3，A到PB的距离为3，此时S△ABP=12×3×3=92≠9，故不满足题意，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l方程为y－32=kx－3，联立方程y=kx－3+32，

x212+y29=1， 消去y得4k2+3x2－24k2－12kx+36k2－36k－27=0.设Bx0，y0，由韦达定理得3x0=36k2－36k－274k2+3，则x0=12k2－12k－94k2+3，代入y=kx－3+32得y0=－12k2－18k4k2+3+32，因为直线AP方程为y=－12x+3，则B到AP的距离为x0+2y0－65=5512k2+48k+94k2+3+3，

从而S△ABP=12·AP·d=3412k2+48k+94k2+3+3=9，化简得4k2－8k+3=0或12k2+8k+9=0，解得k=12或32，故直线l的方程为y=12x或y=32x－3.

评析" 上述解法由于点P不在坐标轴上使得直线方程形式复杂，导致在直线与曲线方程联立时计算量大，运算出错点多，学生普遍反映解题易入手，难通关，出现了“烂尾楼”的现象.

2.解决问题的思路

2.1" 聚焦运算对象，优化运算路径

在圆锥曲线问题解决的过程中，聚焦运算对象和优化运算路径是减少计算量、提高解题效率的关键.通过聚焦运算对象，可以明确解题的目标，让学生集中精力进行必要的计算，而优化运算路径不仅是为了减少计算量，还可以探索问题的最优解，培养学生创新思维，提高解决问题的能力.

（1）" 巧设直线方程

本题由于点P不在坐标轴上使得直线方程形式复杂，而通过观察发现点A在y轴上，点B也落在直线AB上，因此可以通过设直线AB方程进行求解，达到简化运算的目的.

解法2" （简化部分展示） 当直线AB的斜率不存在时，B0，－3，则AB=6，P到AB的距离为3，S△ABP=12×6×3=9，满足题意，此时直线l的方程为y+3=32x，即3x－2y－6=0.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+3，联立方程y=kx+3，

x212+y29=1， ，消去y得4k2+3x2+24kx=0，解得x=0或－24k4k2+3，所以B－24k4k2+3，9－12k24k2+3.

（2）" 巧设参数方程

由于椭圆方程是二次方程，直接消参比较麻烦，如果可以借助椭圆的参数方程来设点B，可以减少参数，简化运算.

解法3"" AP=（0－3）2+（3－32）2=352，因为kAP=32－33－0=－12，则直线AP方程为y=－12x+3，即x+2y－6=0.

设B到直线AP的距离为h，则S△ABP=12·AP·h=12×352h=9，∴h=1255.

设点B（23cosθ，3sinθ），θ∈［0，2π），则h=23cosθ+6sinθ－65=1255，化简得sinθ+π6=－32或sinθ+π6=332（舍去），则θ=7π6或θ=3π2.

当θ=3π2时，B（0，－3），此时直线l的方程为3x－2y－6=0.当θ=7π6时，B（－3，－32），此时直线l的方程为x－2y=0.

综上所述，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0.

2.2" 直观条件特征，转化运算对象

“解几”的本质是“几何”，教师要引导学生直观出数形特征，挖掘出图形的几何性质，利用图形描述分析问题，由图形特征确定合理的解题路径，建立形与数的联系.

（1）" 几何条件转化

在解决直线与二次曲线的问题时，要善于捕捉曲线的几何特性，灵活应用对称性、平行性等平面几何性质将问题进行转化，避免繁琐的计算.本题B到直线AP距离为1255，则B落在与直线AP平行的直线上.

解法4" 如图1，设过B与直线AP平行的直线m：x+2y+c=0.图1

B到直线AP的距离为c－（－6）5=1255，解得c=6或－18.

当c=6时，联立方程x+2y+6=0，

x212+y29=1， 消去x得2y2+9y+9=0，解得y=－3或－32，则B（0，－3）或（－3，－32）.

（2）" 直观数形特征

在解决直线与二次曲线的问题时，若能有意直观图形特征，直观数的特点，发现问题的本质，则可简化求解过程.

图2

解法5"" 如图2，观察A0，3和P3，32坐标，结合△ABP的面积为9，发现当B的坐标（0，－3）时，SΔABP=9，满足条件，此时直线l的方程为3x－2y－6=0.

结合椭圆的对称性，连接PO并延长与椭圆相交于B′，SΔABP=SΔAB′P，则B′的坐标为（－3，－32），也满足条件，此时直线l的方程为x－2y=0.

由条件可知，B在与直线AP平行且距离为1255的直线上，观察图形可知，满足条件的直线只有一条，即为BB′，该直线与椭圆有两个交点.

综上所述，直线l的方程为3x－2y－6=0或x－2y=0.

3.数学教学实践对策

3.1" 以生为本，积累经验

在实际课堂教学中，教学过程中要以学生为主体，多给学生提供自主探究学习的机会，让学生在学习过程中通过一题多解自主体悟出如何设参能简化求解过程，在此过程中学生积累了一定的活动经验，有了成功的体验，就能激发学生的兴趣，培养学生的理性思维，提升逻辑推理、数学运算等核心素养.

3.2" 引领直观，渗透思想

（1）" 重视作图训练，直观图形特征

在教学中，做图训练是提高学生数学素养和解题能力的重要一环.教师要在课堂上给学生提供充足的做图机会，可以通过示范和引导学生做图，帮助他们掌握做图的方法和技巧，要求学生绘制图形时要准确、规范，避免出现错误或模糊的情况.在高考中，准确作图可以帮助学生更快的找准解题方向，简化解题过程.

例1" （2024年北京卷13）已知双曲线x24－y2=1，则过（3，0）且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为"""" .

评析" 本题学生只需要精确做图，就会发现所求直线与渐近线平行，从而快速解决问题，避免了设直线方程进行联立再判断根的个数.

（2）" 强化转化意识，提升思维能力

通过设计具有挑战性、启发性的问题，不断有意识地加以引导，引导学生运用平面几知识，经历推理、转化、化归等思维活动，逐步领悟利用平面几知识何进行转化的优点，形成深度思考的课堂氛围，促使学生在解题过程中培养数学思维和创新能力.

例2" （2024年天津卷8）双曲线x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.ΔPF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（" ）.

A.x28－y22=1"""" B.x28－y24=1

C.x22－y28=1""" D.x24－y28=1

评析" 本题学生只需要对斜率为2这个条件进行巧妙转化，在直角三角形利用角的正切值得到三角形的边长关系，并利用定义结合面积就可轻松求解.

3.3" 聚焦思维，培育素养

教学的本质是思维.教师在教学过程中要重视课堂问题的设计，力求在问题的解决中实现知识问题化；创设有效情境来引领课堂活动，在情境的活动中解决问题，实现问题情境化；在激发学生思维的过程中活化情境，实现情境思维化；在可视的课堂教学流程中调控思维，实现思维可视化；在形成结构化的教学环节中实现可视结构化.通过“五化”的整体调控与把握，实现“思维过程化、可视化、结构化、规范化”，从而促进学生核心素养的培育.

参考文献

［1］林娜.善用转化思想化解圆锥曲线中的运算难点［J］.中学数学研究（华南师大），2023，（8）：42-45.

［2］郭海萍，林新建.挖掘图形特征 确定解题路径——以2022年新高考Ⅰ卷第16题为例［J］.中学数学研究（江西师大）， 2023，（5）：60-63.