挖掘问题内涵，巧妙思维应用

1. 引言

含参不等式恒成立问题融入含参场景下的函数、方程或不等式等基本要素及其之间的综合与应用，一直是高考命题中的重点与热点．此类问题形式多样，创新新颖，内涵丰富多彩，知识综合性强，是全面考查考生“四基”与“四能”的一个很好场景，具有较好的选拔性与区分度，倍受各方关注．

2. 真题呈现

（2024年高考数学新高考Ⅱ卷·8） 设函数f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（" ）.

A．18""" B．14""" C．12""" D．1

此题以含双变元的函数解析式为问题场景，结合不等式恒成立来创设条件，进而确定双变元的平方和a2+b2的最值问题．题目涉及双变元的函数解析式，直接切入有点困难．该问题中，对应两个函数有两个零点，乘积恒大于等于0，一定会有零点相同，接下来就是二次函数的最值应用问题，全面考查转化与化归思维，以及逻辑推理能力．

基于问题应用场景，比较常见的思维方式就是对函数进行直接求导，然后陷入到一个分析双变元的“怪圈”中去；或者将问题中的双变元的平方和a2+b2，回归代数式的几何意义，看作对应距离的平方，然后陷入到变换主元的陷阱中去．而回归函数解析式以及不等式恒成立的题设条件，或通过分类讨论思维来“分拆”相应的解析式来讨论与应用，或通过函数与导数思维来“求导”确定函数与导数的综合应用，或通过函数图象的平移变换思维来“变换”确定简捷函数问题下的不等式恒成立问题等，这些基本思维方式都给问题的分析与求解创造一点突破的条件，使得问题得以巧妙转化，实现问题的解决．

3．真题破解

3．1" 分类讨论思维

解法1" 由于不等式f（x）≥0恒成立，则对函数f（x）=（x+a）ln（x+b）而言，

当x+a≥0时，可知x≥－a，此时必须满足ln（x+b）≥0，即x≥1－b；

而当x+a≤0时，可知x≤－a，此时必须满足ln（x+b）≤0，即x≤1－b.

综上分析，要使不等式f（x）≥0恒成立，即两者始终同号，则必须满足－a=1－b，即b－a=1．所以a2+b2=12［（a－b）2+（a+b）2］≥12（a－b）2=12，当且仅当（a+b）2=0，即a=－12，b=12时等号成立．所以a2+b2的最小值为12，故选C．

解法2" 同方法1解得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，当且仅当（a+12）2=0，即a=－12，b=12时等号成立．所以a2+b2的最小值为，故选C．

点评" 根据函数解析式的乘积结构特征，合理分类讨论，探究不同条件下自变量的取值情况，进而结合不等式恒成立加以统一思维处理，构建双变元之间的关系式，为问题的进一步求解与应用创造条件．而在双变元所满足的关系式条件下，或通过代数式的变形，或利用消元法的处理，结合不等式的基本性质加以分析与求解．

3．2" 函数与导数思维

解法3" 函数f（x）=（x+a）ln（x+b）的定义域是{x|xgt;－b}．

考虑到f（－a）=0，以及不等式f（x）≥0恒成立，所以x=－a是函数f（x）的最小值点，则有－agt;－b，即a＜b．而由f（x）=（x+a）ln（x+b），求导得f′（x）=ln（x+b）+x+ax+b，则有f′（－a）=ln（－a+b）=0，可得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2（a+12）2+12≥12，当且仅当（a+12）2=0，即a=－12，b=12时等号成立．

所以a2+b2的最小值为12，故选C．

点评" 根据函数的定义域以及对应的函数零点，结合不等式恒成立的条件加以分析，确定函数的最小值点，这为进一步利用导数解决问题创造条件．而利用函数在最值点处导函数值为0，给问题的进一步求解与应用创造条件，这也是导数法的一大重要作用，要加以熟练理解与掌握，必要时还要判断最值点处是否存在．

3．3" 平移变换思维

解法4" 由f（x）≥0恒成立，结合平移变换可知f（x－b）=（x+a－b）lnx≥0恒成立，整理得xlnx≥（b－a）lnx恒成立．

设函数g（x）=xlnx，h（x）=（b－a）lnx，而g（1）=h（1）=0，即满足有公切点（1，0）的两个函数所对应的不等式g（x）≥h（x）恒成立问题，此时应该满足在公切点（1，0）处的切线相同．则g′（1）=h′（1），g（1）=h（1），即g′（1）=h′（1）．

而g′（x）=lnx+1，h′（x）=b-ax，则有ln1+1=b-ax，即b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，当且仅当（a+12）2=0，即a=－12，b=12时等号成立．所以a2+b2的最小值为12，故选C．

点评" 依托不等式恒成立的条件加以合理的平移变换，优化函数解析式，使得双变元问题转化为以一个整体（b－a）为变元的单变元问题，实现问题的优化处理．而考虑单变元不等式的恒成立问题，只要考查不等式两端所对应的函数解析式，利用这两曲线有公切点时，其对应的公切线是同一条，这样才能保证不等式恒成立，合理构建方程（组），给问题的突破创造条件．

4．变式拓展

根据解析可知确定代数式b－a的值是解决问题中最为关键的一环，从而有如下一个变式问题．

变式1" 设函数f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则b－a=．答案：1

该变式问题更加简单，可采用原高考真题中的对应解析方法来处理，还可通过特殊值法进行“小题小做”，巧妙确定代数式的值．

5．教学启示

涉及多变元（双变元、三变元及以上）不等式恒成立问题，往往问题比较繁杂，以函数与方程、函数与导数等形式出现，而借助恒成立不等式的等价变形与转化，给问题的切入与应用提供条件．在具体解题过程中，合理进行消元或整体处理，或合理进行构建函数处理，或合理进行参数取值的分类讨论处理等，都是破解此类问题的常见技巧方法与解题思路．而结合具体问题的应用场景，合理挖掘问题内涵与实质，采取行之有效的其他思维方法来应用，有时也是非常不错的选择．

而涉及多变元（双变元、三变元及以上）的综合问题，成为近年高考数学试卷中的热门与难点问题之一，形式多样，变化多端，同时交汇融合的数学基本知识点比较多，对数学思维与思想方法的要求比较高，具有较好的选拔性与区分度．同时，借助此类综合问题的考查与应用，可以很好考查学生思维的发散性、创新性与开拓性，养成良好的数学解题习惯，培养学生的数学核心素养．