“互联网+”背景下“高等数学”教学模式探索与实践

摘要：在“互联网+”的时代背景下，信息技术与教育的深度融合已成为“高等数学”研究的热点问题。本文结合高职“高等数学”教学特色，以学生为中心，利用现代信息技术，构建“双主线、三阶段、六环节”的混合式教学模式。然后，以定积分的概念为例进行探讨，从中国工程“深中通道”出发，引出定积分的定义，利用Geogebra软件进行可视化教学，并将定积分的概念拓展到专业领域，着力启发学生解决实际问题的能力，提升学生的数学核心素养，充分发挥“高等数学”的育人效果。

关键词：互联网+；高等数学；混合式教学模式；定积分的概念

一、概述

2019年2月，中共中央、国务院印发的《中国教育现代化2035》中指出，利用现代技术加快推动人才培养模式改革，满足学生个性化和多样化的发展需求，提升师生的信息素养能力［1］。近年来我国各大高校积极响应，大力推动“互联网+”“智能+”等新型教育模式的发展，实现了信息技术与课程教学的深度融合，有效改革了教学模式与方法，进一步推动了教育信息化的高质量发展［23］。

“高等数学”作为高职院校学生必修的公共基础课程，有助于培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题的能力，为后续专业课的学习奠定了坚实的基础［4］。然而，“高等数学”高度的抽象性和严密的逻辑性使不少学生产生了畏难情绪，且高职院校学生生源结构比较复杂，大部分学生基础比较薄弱，学生对“高等数学”的抵触心理进一步加剧。针对这一现状，教师可以通过模拟情境、设置动画等可视化教学手段将抽象的内容直观化、生动化，让学生在解决复杂数学问题的同时，深刻体会到数学原理背后所蕴含的人生哲理和道德价值。

为此，本文结合高职院校学生特点和“高等数学”学科特色进行探索，构建“双主线、三阶段、六环节”的混合式教学模式，并以定积分的概念为例进行展开，充分挖掘思政元素，发挥“高等数学”的育人功能。

二、“双主线、三阶段、六环节”混合式教学模式

在“互联网+”的时代背景下，为深入践行个性化教学理念，并紧密结合高职院校学生的特性及其培养需求，本课程以学生为中心，依托超星学习平台，构建“双主线、三阶段、六环节”混合式教学模式。“双主线”即“思政元素”和“数学思想”，“三阶段”即“思在课前”“悟在课中”以及“行在课中”，“六环节”指课中的“导、探、晰、用、深、练”，具体结构如图1所示。

课前，教师利用信息技术搜集教学资源，建立思政资源库和习题库，为学生提供个性化学习服务。针对学生能力的不同，教师通过学习通平台，精准推送定制化的教学微视频及学习任务，有效引导学生预习新知识；学生则查阅资料并结合在线资源完成学习任务，在学习通讨论区提出自己的疑惑；教师通过学生课前学习效果的反馈情况进行教学设计，提高课堂效率。

课中，设计问题情境，融入数学史、时事热点、古典文化和生活实例等思政元素，通过启发式教学导入新课，培养学生的民族自豪感和爱国主义情怀，进一步加强新时代青年大学生的使命感和责任感。此外，运用信息技术，将抽象内容直观化，提升学生的数学核心素养。在教学过程中，实行“双导师制”，即数学教师与专业教师的紧密协作，实现“高等数学”与专业知识的深度融合，让数学更好地为专业服务，培养学生运用数学思维解决实际问题的能力。

课后，设置“三阶式”分层作业，满足不同学生的学习需求。具体如下：（1）夯实基础：注重基础知识的巩固与加强，通过线上基础测试题的形式，引导学生自我检测，及时查漏补缺，确保每位学生都能打下坚实的知识基础。（2）拓展提升：布置应用拓展题，旨在提升学生的实际问题解决能力，激发他们的创新思维，让他们在挑战中不断成长。（3）链接专转本：为满足学生学历提升的需求，布置与各知识点紧密相关的专转本真题，帮助学生提前适应考试节奏，掌握考试技巧。最后，鼓励学生参与“高等数学”竞赛或数学建模活动，通过实践锻炼，培养学生的独立思考能力、团队协作精神和综合分析问题的能力，为他们未来的职业发展奠定基础。

三、实施案例——定积分的概念

（一）学情分析

教学对象为高职大一学生，其生源构成具有多样性，涵盖了普通高中生、中职生等，因此，学生的数学基础有所差异。虽然部分学生抽象思维能力不强，但信息素养较为突出，动手实践能力较强。同时，他们对专业领域的问题有一定的兴趣与探索欲望。

（二）教学目标

知识目标：理解定积分的概念和几何意义，会利用定积分的定义求和式的极限；同时，会利用数学软件Geogebra计算定积分。

能力目标：通过解决曲边梯形面积问题，培养学生利用数学思维和方法解决实际问题的能力；通过对定积分概念的探究过程，培养学生数形结合的思维能力。

素质目标：介绍“深中通道”的卓越成就，激发学生的民族自信心与自豪感，培养其作为新时代青年的责任感与使命感；在定积分概念的学习中，引导学生理解对立与统一、量变引起质变的哲学原理，培养其辩证思维与全面分析问题的能力。

（三）教学过程

1.思在课前

教师依托学习通平台，发布学习任务：（1）学生观看积分学发展史微视频，体会到定积分概念的形成是一个螺旋式上升的过程。（2）搜集资料——德国数学家约翰尼斯·开普勒的简介及其求圆面积的方法，感受开普勒不屈不挠、勇于创新的人生态度。

2.悟在课中

（1）创设情境，导入新课。观看“深中通道”的视频，简要介绍深中通道背后隐藏的超级智慧，让学生在领略中国基建魅力的过程中，学习科研工作者勇于探索、坚持不懈的奋斗精神［5］。

基于此背景，提出问题：如何求悬索与桥面、桥塔围成的面积？要解决这个实际问题，以桥面为x轴，悬索为曲线，建立直角坐标系，如图所示。

（2）数形结合，探究新知。学生基于课前搜集的资料，讲述开普勒求圆的面积的无限分割办法，其核心思想是化曲为直，无限求和。

悬索与桥面、桥塔围成的面积（即曲边梯形的面积）的计算，直接用矩形的面积来代替显然不行，因为f（x）上各点的高是变化的。类比开普勒求圆面积的方法，可得到曲边梯形面积计算的步骤（由表1所示）。

将曲边梯形面积计算的脚本文件发放给学生，学生可以打开Geogebra文件，在指令栏任意改变函数解析式，然后通过拖动滑动条n，观察曲边梯形面积过程中的动态变化。在动手实践过程中，深化学生对“化曲为直”和“无限逼近”的数学思想的理解。

英国数学家、哲学家罗素说过：“数学和哲学在探索真理的过程中是密不可分的，数学的发展为哲学提供了新的视角和思维方式。”可见数学与哲学的发展是密不可分、相互依存的，数学的发展中也蕴含着唯物辩证的哲学思想。

在曲边梯形面积的计算过程中，第一步，“分割”体现了“化整为零”的数学思想，更蕴含了深刻的哲学启示：面对棘手难题时，可以将其拆解为若干个小问题逐个击破；第二步，“近似”体现了“化曲为直”的数学思想，曲与直看似是对立的两方面，实则蕴含着对立统一的哲学道理，是推动事物向前发展的内动力；第三步，“求和”体现了“积零为整”的数学思想，启发学生联想到蕴含这一思想的古诗词，提醒学生要重视每一份微小的积累，树立正确的价值观，努力追求更高的目标；第四步，取极限体现了“无限逼近”的数学思想，是哲学思想“量变产生质变”的精妙解读，它使学生深刻领悟到知识的积累是一个循序渐进、不断深化的过程，唯有脚踏实地、坚持不懈、勇于进取，方能稳步前行，获得成功。

（3）抽象概括，明晰概念。对于曲边梯形面积的计算，采用“分割、近似、求和、取极限”的步骤。此外，一些实际问题的探究，如：天舟七号发射升空克服地球引力所做的功、变速直线运动的路程、非均匀物体的质量、带电体产生的场强等都可以用上述方法解决。抛开实际问题的意义，抓住它们的本质特征，抽象出定积分的概念，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，同时，采用小组讨论的方式，请学生思考下列问题：

①定积分是否为一个数？②“λ→0”能否换成“n→∞”？通过这两个问题引导学生结合Geogebra进行辅助分析，并对学生的回答进行点评补充，培养学生团结合作和利用信息技术解决问题的能力。

教师请学生分享“定积分的发展史”，印证了任何事物的发展都是由浅入深、充满质疑与创新的过程。让学生认识到任何伟大的成就都不是一蹴而就的，而是需要经历漫长的探索、质疑与创新的过程。正是这种持之以恒追求卓越、勇于挑战未知的精神，推动了人类文明的不断进步与发展。

（4）理实结合，学以致用。

①利用定义计算定积分∫10x2dx。

设计意图：锻炼学生利用“分割—近似—求和—取极限”解决问题的能力，让学生体会等分法和特殊点取法的技巧。

②limn→∞1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3

解：1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3=∑ni=1i2n3+i3=1n∑ni=1i2n2+i3n

=1n∑ni=1in21+in3

原式=limn→∞1n∑ni=1in21+in3=∫10x21+x3dx

=13∫1011+x3d1+x3

=ln23。

设计意图：定积分定义最主要的应用就是求和式的极限，这也是数学竞赛和专转本考试的必考点。常用的定积分的等价定义为∫10f（x）dx=limn→∞∑ni=1fin·1n。

③悬索与桥面、桥塔围成的面积，实质上就是求定积分。引导学生利用Geogebra中的integral（f，a，b）指令，可直接求得面积为25884.84m2。

教师将定积分的概念应用到与学生专业相关的领域，培养学生用数学思想解决实际问题的能力，达到数学为专业服务、协同育人的目标。案例1为汽车专业的应用，案例2为医药专业的应用。

案例1：若已知一辆汽车速度函数关系为v（t）=5t+2（m/s），求汽车在0，10秒内行驶的路程s。

解：汽车在0，10秒内行驶的路程：s=∫100（5t+2）dt=52t2+2t100=270m。

案例2：若已知某药物的吸收率函数为：r（t）=0.01t（t-8）20≤t≤8，求该药物吸收的总量Q［6］。

解：药物吸收的总量Q=∫800.01t（t-8）2dt=0.01∫80（t3-16t2+64t）dt=10.24。

（5）合作共研，深化概念。通过前面的探究，可以看出当f（x）>0（即图像位于x轴上方）时，定积分表示图形的面积。接着引出问题，当f（x）＜0、f（x）有正有负时，定积分表示的是什么呢？教师利用Geogebra绘制曲线f（x）=x-sin2x，当拖动滑动条a、b时，积分区间发生变化，积分值也随之改变。通过这种动态演示，深化学生对定积分几何意义的理解。

教师引导学生利用定积9/1YxyT9l583g5aLOovL1Zkqp0ZppBpTuCCvnUr9hOQ=分的几何意义计算定积分的值，并通过Geogebra进行实际操作，验证结果的正确性。接着，学生以同桌为单位进行讨论，探究被积函数为奇（偶）函数时定积分的性质。这一教学过程不仅深化了学生对定积分几何意义的理解，同时也提升了学生自主探究和团结协作的能力。

（6）课堂练习，巩固新知。教师在学习通平台发布练习题，采取抢答的方式请学生到黑板上板演。与此同时，其他学生需要认真完成作业，并将其上传至学习通平台。教师根据每位学生的答题情况，提供及时的反馈，以促进学生更好地掌握新知识。

3.行在课后

课后作业对于学生巩固知识、发展能力、培养良好学习习惯和责任感具有重要作用。然而，在数字化的时代，学生们能够轻松借助在线工具获取答案，这一现象严重干扰了他们的学习进程，削弱了学习的实效性。为有效应对这一挑战，教师们在布置作业时需采取创新的策略，对习题进行精心改编，同时利用技术手段加以防范，确保学生能够独立完成作业，达到巩固新知识的目的。

结语

本文探讨了“互联网+”时代背景下高职“高等数学”教学模式的改革，通过挖掘“数学”与“思政”的内在关联，借助现代信息技术，形成了“双主线、三阶段、六环节”的混合式教学模式，实现知识传授和价值引领的有机结合，为培养有责任担当和创新精神的复合型、高技能型人才奠定坚实基础。

参考文献：

［1］中共中央，国务院.中国教育现代化2035［EB/OL］.（20190223）［20190227］.https：//www.gov.cn/xinwen/201902/23/content_5367987.htm.

［2］刘斌.以新担当新作为推进“中国教育现代化2035”［J］.教育与职业，2019（09）：59.

［3］陆霄虹.互联网思维下高等艺术院校教学模式变革［J］.江苏高教，2016（05）：7274.

［4］赵士元.“互联网+课程思政”融入高等数学教学研究［J］.中国新通信，2023，25（15）：191193.

［5］范传斌，李冕，田浩.深中通道伶仃洋大桥猫道计算方法研究［J］.公路交通科技，2023，40（02）：121126.

［6］张选群.医用高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2015.

作者简介：朱天芬（1997—），女，汉族，山西运城人，硕士研究生，助教，研究方向：运筹学与控制论、高等数学教育；张巧珍（1997—），女，汉族，江苏宿迁人，硕士研究生，助教，研究方向：数学与应用数学、高等数学教育。