一道未定式极限习题的解法研究

摘要：极限是高等数学学习中的一个重点，是学生后续学习的重要基础与理论工具，但基于极限问题的形式多样性，因此它也是学生学习中的一个难点，尤其是未定式极限的求解方法更是灵活多样。00型未定式极限常用的方法主要有洛必达法则、等价无穷小的代换等，∞∞型未定式极限常用的方法除了洛必达法则外，还要考虑使用重要极限、无穷大与无穷小的转化、重要结论等。本文针对一道∞∞型的未定式极限习题，利用洛必达法则及其与多种形式的三角恒等变换的结合给出了六种解法，并对每一种解法进行了详细的分析。最后，总结在该题中得到的结论，旨在提高学生的计算能力和发散思维。

关键词：未定式极限；洛必达法则；三角恒等变换；发散思维

AnalysisofAnIndeterminateformLimitExercise

YouJunyan

SchoolofMathematicsandStatistics，HezeUniversityShandongHeze274000

Abstract：Limitsareanimportantfocusinthestudyofadvancedmathematics，anditisanimportantfoundationandtheoreticaltoolforstudents'subsequentlearning.However，duetothediverseformsoflimitproblems，itisalsoadifficultpointforstudents，especiallythemethodsofsolvingindeterminateformsoflimitsareflexibleanddiverse.Thecommonlyusedmethodsforsolving00tepyindeterminatelimitsareL'Hopital'sruleandthesubstitutionofequivalentinfinitesimals，etc.InadditiontoL'Hopital'srule，methodsforsolving∞∞tepyindeterminatelimitsalsoincludetheuseofimportantlimits，thetransformationbetweeninfinityandinfinitesimals，andimportantconclusions，etc.Inthispaper，foranexerciseof∞∞tepyindeterminateformlimit，sixsolutionsaregivenbyusingL'Hospital'sruleanditscombinationwithvariousformsoftrigonometricidentitytransformation，andeachsolutionisanalyzedindetail.Finally，theconclusionisdrawntoimprovethestudents'calculationabilityanddivergentthinking.

Keywords：Indeterminateformlimit；L'Hospital'srule；TrigonometricidentityTransformation；Divergentthinking

1概述

在极限的教学过程中，一方面，教师要强调理论知识与方法的重要性，有效引导学生掌握极限的多种求解方法，提升学生的计算能力；另一方面，教师还要重点培养学生的创新思维能力，尤其是创新思维的核心组成部分——发散思维。发散思维的训练不仅可以夯实学生的基础知识，拓宽学生的知识层面，还可以提升学生解决问题的能力及综合应用知识的能力，最终实现学校学以致用的培养目标［12］。

未定式极限是极限问题中常见而且重要的一类问题，其求解方法灵活多样，对于学生综合应用知识的能力要求极高。本文主要针对一道∞∞型未定式极限的习题展开研究，详细分析探讨了其六种解法。在一题多解的思想之下展现了未定式极限的综合性及复杂性，帮助学生更好地理解洛必达法则的使用条件，培养学生敢于思考、勇于解决问题的学习习惯，提升学生的创新思维。同时，在不同解法中结合使用多个三角恒等变换式将问题转化，可以培养学生细致严谨的学习态度，提升学生解决问题的发散思维。

2问题分析

本文分析的问题出自同济大学数学科学学院编写的教材《高等数学》（第八版·上册）中第134页习题32中第1题的第8小题，题目为用洛必达法则求极限limx→π2tanxtan3x［3］。

在此值得一提的是，学习洛必达法则之前，同学们已经学习过运用等价无穷小的代换的方法来求解未定式极限，尤其是对x→0时，tanx～x记忆深刻，但是在此题求解过程中若盲目使用此等价无穷小的代换则会导致错误结果，具体如下：

错解：limx→π2tanxtan3x=limx→π2x3x=13。

错因分析：等价无穷小的代换在00型极限问题中才能使用［4］，而在本题中当x→π2时，tanx→+∞，tan3x→+∞，故本题不是00型极限，且x与3x此时也不是无穷小量。因此x→π2时，把tanx等价代换为x、tan3x等价代换为3x是错误的。

显然，这是一道与三角函数有关的∞∞型的未定式极限问题，可以考虑使用洛必达法则［5］，但不能直接使用等价无穷小的代换。接下来，本文将根据题目特点，在洛必达法则使用的基础上，结合多种形式的三角恒等变换分别给出六种解法，并对每种解法进行详细的分析，旨在提升学生的发散思维。

3解法研究

解法一：单纯使用洛必达法则，不需要nL1yhhx2Gt8SqJ2MB6YomA==三角恒等变换，然后运用逆向思维在过程中找特点，在求解中找结论。但此方法对学生思维能力的要求较高，计算能力和思考能力较强的同学可以选择使用，并能轻松找到答案。求解过程如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必达法则

=limx→π2sec2x3sec23x∞∞型，使用洛必达法则

=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x

在第二个等号处如果继续使用洛必达法则，则会出现如下烦琐的结果：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必达法则

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

结果依然是∞∞型极限，但是不能再继续使用洛必达法则往下求解，否则会出现更烦琐的表达式而求不出结果，这里只能说明洛必达法则不是万能的，在此它失效了，并不能说明此题是无解的［6］。

因此，在解法一中对于第二个等号处的结果，要求学生具有敏锐的观察力和灵活的思维方式，比较第二个等号和原式可知，表达式出现了循环，那么要使等号恒成立，则只有除原式外剩余部分是等于1的，即有limx→π2sec2x9sec23x=1，再比较这个小结论和第一个等号可得limx→π2sec2x3sec23x=3，从而可得：limx→π2tanxtan3x=limx→π2sec2x3sec23x=3。

解法二：洛必达法则与三角恒等变换secx=1cosx的结合使用［7］，虽然步骤看起来有点多，但是此方法简单易想，是大多数学生首选的方法。求解如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必达法则

=limx→π2sec2x3sec23xsecx=1cosx

=limx→π2cos23x3cos2x00型，使用洛必达法则

=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx当x→π2时，sin3x→-1，sinx→1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必达法则

=-limx→π2-3sin3x-sinx当x→π2时，sin3x→-1，sinx→1

=3

解法三：在解法二的基础上，判断出解法二的第三个等号处的表达式是00型的，此时不对sin3x与sinx取值，而是直接使用洛必达法则。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx00型，使用洛必达法则

=limx→π23（cos23x-sin23x）cos2x-sin3x（当x→π2时，cos3x→0，cosx→0，且sin3x→-1，sinx→1）

=3（0-1）0-1

=3

解法四：在解法二的基础上，对解法二中第三个等号处的sin3x与sinx先不取值，而是对表达式直接使用二倍角公式进行三角恒等变换，然后再使用洛必达法则。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx（2cos3xsin3x=sin6x，2cosxsinx=sin2x）

=limx→π2sin6xsin2x00型，使用洛必达法则

=limx→π26cos6x2cos2x（当x→π2时，cos6x→-1，cos2x→-1）

=3

解法五：注意到题目中的表达式是和正切函数有关的，则先利用三角关系式tanx=sinxcosx将函数进行三角恒等变换，再结合使用洛必达法则。求解如下：

limx→π2tanxtan3xtanx=sinxcosx

=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x当x→π2时，sinx→1，sin3x→-1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必达法则

=-limx→π2-3sin3x-sinx（化简）

=-limx→π23sin3xsinx当x→π2时，sinx→1，sin3x→-1

=-3·（-1）1

=3

解法六：在解法五的基础上，对于解法五中第一个等号处的sin3x与sinx先不取值，而是直接使用三角函数中的积化和差公式sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x，对第一个等号处的表达式做三角恒等变换，然后结合使用洛必达法则进行求解。求解如下：

原式=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x（sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x）

=limx→π2sin4x-sin2xsin4x+sin2x00型，使用洛必达法则

=limx→π24cos4x-2cos2x4cos4x+2cos2x（当x→π2时，cos4x→1，cos2x→-1）

=4+24-2

=3

4教学总结

一题多解的训练可以实现培养学生发散思维的目标，通过对本文中这道具有代表性的习题六种解法的具体分析研究，下面结合例题把几点想法总结如下：

（1）对于与三角函数有关的未定式极限问题，结合使用洛必达法则与三角恒等变换可以大大提高解题效率。

例1：求极限limx→0tanx-xx2sinx。

解：这是一道与三角函数有关的00型未定式极限，它可以有多种解法，但是在求解过程中若结合使用洛必达法则、等价无穷小的代换及三角恒等变换可以大大提高计算效率，相比其他方法这是较为简便的一种方法。求解如下：

limx→0tanx-xx2sinx00型，当x→0时，sinx～x

=limx→0tanx-xx300型，使用洛必达法则

=limx→0sec2x-13x2（sec2x-1=tan2x）

=limx→0tan2x3x2（当x→0时，tanx～x）

=13

（2）洛必达法则失效的情形。洛必达法则不是万能的，遇到一些其解决不了的问题，并不能说明极限不存在，只能说明此方法失效了，需要寻找新的合适的方法重新求解［8］。洛必达法则失效的情形主要有以下几种：

失效情形一：当使用洛必达法则后极限表达式中分子或分母的导数变得很繁杂时，洛必达法则失效。

例如，解法一中的分析：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必达法则

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

失效情形二：当极限表达式不再是00型或∞∞型未定式极限时，洛必达法则失效。

例2：求极限limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1。

错解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1。

此时，limx→06x6x-2已不再是00型未定式极限，不能继续使用洛必达法则。

正解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=64=32。

失效情形三：当使用洛必达法则后，判断出极限不存在或极限表达式中部分表达式极限不存在，则洛必达法则失效。

例3：求极限limx→∞x+cosxx+sinx。

错解：使用洛必达法则求得limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1-sinx1+cosx，此时sinx与cosx的极限都不存在，洛必达法则失效。

正解：先利用无穷大与无穷小的关系将极限表达式进行恒等变形，然后使用无穷小量的运算性质，计算得到limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1+1xcosx1+1xsinx=1。

失效情形四：当使用洛必达法则后极限表达式出现循环形式时，洛必达法则失效。

例4：求极限limx→+∞x1+x2。

错解：使用洛必达法则求得limx→+∞x1+x2=limx→+∞1+x2x=limx→+∞x1+x2，此时极限表达式出现循环形式，洛必达法则失效。

正解：利用无穷大与无穷小的关系，计算得到limx→+∞x1+x2=limx→+∞11x2+1=1。

（3）对于00型未定式极限，在结合使用等价无穷小的代换时，一定要注意代换是否成立，否则容易走进代换误区，导致错误结果的出现。本文中涉及的代换误区主要有：

误区1：参见上述问题分析中提到的误解，在此不再赘述。

误区2：没有理解等价无穷小的代换的两个量首先都需要是无穷小量，否则代换错误。例如，在解法四中的第二个等号处，若使用等价无穷小的代换得到原式=limx→π2sin6xsin2x=limx→π26x2x=3，虽然结果相同，但却是错误解法。错解的原因是当x→π2时，sin6x与sin2x是无穷小量，但此时6x与2x却不是无穷小量。因此当x→π2时，sin6x不能代换为6x，sin2x不能代换为2x。

例5：求极限limx→πsin3xtan5x。

错解：使用等价无穷小的代换，计算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3x5x=35。

错因分析：当x→π时，虽然sin3x与tan5x是无穷小量，但此时3x与5x却不是无穷小量。因此当x→π时，sin3x不能代换为3x，tan5x不能代换为5x。

正解：这是一道00型未定式极限，直接利用洛必达法则，计算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3cos3x5sec25x=-35。

参考文献：

［1］李天竹，肖业亮，陈昊，等.用一题多解激活学生的发散思维：以一道定积分题的多种解法为例［J］.科技风，2024（04）：121123.

［2］胡新利，王凯明.一题多解对学生创造性思维的培养［J］.高等数学研究，2021，24（06）：4143+34.

［3］同济大学数学科学学院.高等数学：上册［M］.8版.北京：高等教育出版社，2023.

［4］陈金涛.等价无穷小的巧用［J］.数学学习与研究，2020（01）：1516+18.

［5］叶丽颖.洛必达法则在求极限中的应用［J］.科技风，2020（05）：66+82.

［6］王丽丽.洛必达法则在解析求极限类问题中的应用［J］.河南工程学院学报（自然科学版），2022，34（01）：7680.

［7］华东师范大学数学系.数学分析：上册［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［8］孙巧阁.关于洛必达法则的几点思考［J］.科学咨询（科技管理），2021（03）：9697.

基金项目：OBE理念下大学数学教学“课程思政”体系的构建研究（编号：230713003307000）

作者简介：油俊彦（1987—），女，汉族，山东菏泽人，硕士，讲师，从事高等数学教育与研究。