一偏微分方程的形式解及其gevrey阶数

摘要：一偏微分方程的形式幂级数解只有在特定的条件下，才是多重可和的，即通过证明才能确认一偏微分方程的形式幂级数解是否可和。在对方程形式幂级数解可和性的证明中，解的gevrey阶数的证明是非常重要的一部分。本文就是对一偏微分方程的形式幂级数解的性质进行研究，我们先了解后续证明所需要的相关概念之后，给出本文要研究的偏微分方程，并对其形式幂级数解的存在性与唯一性进行证明。在此基础上，利用Nagumo范数及其性质，结合gevrey阶数的相关概念，最终可以证明，方程的形式幂级数解在单项式xp1xq2为1/kgevrey阶数。

关键词：偏微分方程；形式幂级数；渐近展开；存在性与唯一性

1预备知识

在对本文要研究的方程形式解进行讨论之前，先了解相关概念。

引理1：设E［［x1，x2］］（s1，s2）表示（s1，s2）gevrey级数的代数，即若存在常数C，A>0，使得对于任意的m，n∈N有‖am，n‖≤CAm+nm！s1n！s2，则称∑am，nxm1xn2为（s1，s2）gevrey级数。结合上述条件得到：

E［［x1，x2］］（p，q）s=E［［x1，x2］］（s/p，0）∩E［［x1，x2］］（0，s/q）E［［x1，x2］］（λs/p，（1-λ）s/q）（1）

其中0≤λ≤1。

定理2：对于非负整数p以及在Dr中全纯的f，设：

‖f‖p=supx＜rf（x）d（x）p

‖f‖p即为p阶Nagumo范数，且‖f‖p有界。若f在Dr的闭包上连续，则有‖f‖p≤（r-）psupx＜rf（x），且有：

f（x）≤‖f‖pd（x）-px＜r

f（x）≤‖f‖pd（x）-px≤r-δ，0＜δ＜r-

p越大，具有有限范数‖f‖p的函数f的集合就越大。

接下来介绍Nagumo范数的性质。

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p‖αf‖p≤α‖f‖p‖fg‖p≤‖f‖p‖g‖p‖f′‖p+1≤e（p+1）‖f‖p

2偏微分方程及其形式解

本文将要证明一奇异偏微分方程4dbfac1239a9a8781069b621a36868c19ba28653a7db83973b075c54bfd0a8a8的形式解的存在性与唯一性。

考虑下面奇异偏微分方程：

（xp1xq2）kspkx1yx1+1-sqkx2yx2=F（x1，x2，z）（2）

其中x1、x2为复变量，F（x1，x2，z）为多复变量的有界解析函数，p，q∈N+，k∈N+，0＜s＜1。

下面说明上述方程所满足的条件：

（1）z=xp1xq2；

（2）F（0）=0；

（3）F的形式：F=g（x1，x2）f（z）+h（z）+ay（x1，x2）。

上述式子g（x1，x2）、f（z）、h（z）以及a满足假设以下假设条件：

（1）g（x1，x2）在原点处邻域内解析有界，其形式如下：

g（x1，x2）=∑p-1i=0∑q-1j=0gijxi1xj2+∑p-1i=0∑∞j=qgijxi1xj2+∑∞i=p∑q-1j=0gijxi1xj2

g不恒为常数，且g（0，0）=0。

（2）f（z）在原点处邻域内解析有界，其幂级数展开式为f（z）=∑∞l=0fl（xp1xq2）lf不恒为常数，且f（0）≠0。

（3）h（z）在原点处邻域内解析有界，其幂级数展开式为

h（z）=∑∞t=0∑k-1r=1htk+r（xp1xq2）tk+r其中h不恒为常数。

（4）常数a＜0。

下面分别对方程（2）的形式解的存在性和唯一性进行讨论。

3形式解的存在性及唯一性

定理3：方程（2）存在唯一的形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2满足条件y00=0ytpk，tqk=0，其中，t∈N+。

证明：下面证明形式解y^的存在性与唯一性。首先取y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2=∑∞t=0y～txp1xq2t，其中

y～t=∑∞m′，n′=0ypt+m′，qt+n′xm′1xn′2

m′＜porn′＜q，pt+m′=m，qt+n′=n

可以得到x1y^x1=∑mymnxm1xn2、x2y^x2=∑nymnxm1xn2。

将y^代入方程（21）中，可以得到方程：

（xp1xq2）kspk∑∞m，n=0mymnxm1xn2+1-sqk∑∞m，n=0nymnxm1xn2=∑p-1i=0∑q-1j=0gijxi1xj2+∑p-1i=0∑∞j=qgijxi1xj2+∑∞i=p∑q-1j=0gijxi1xj2∑∞l=0fl（xp1xq2）l+

∑∞t=0∑k-1r=1htk+r（xp1xq2）tk+r+a∑∞m，n=0ymnxm1xn2

比较x01x02的系数，可以得到0=ay00。由于a≠0，可以得到y00=0。比较xpk1xqk2的系数，可以得到0=aypk，qk。同上，得到ypk，qk=0。

比较（xpk1xqk2）2的系数，可以得到ypk，qk=ay2pk，2qk。由于ypk，qk=0，得到y2pk，2qk=0。

比较（xpk1xqk2）3的系数，可以得到y2pk，2qk=ay3pk，3qk。由于y2pk，2qk=0，可以得到y3pk，3qk=0。

以此类推，可以证明取任意的正整数b，比较（xpk1xqk2）b的系数，可以得到ybpk，bqk=0。

下面比较（xpk1xqk2）b+1的系数，可以得到ybpk，bqk=ay（b+1）pk，（b+1）qk。由于ybpk，bqk=0，得到y（b+1）pk，（b+1）qk=0。

综上，可以得到，满足mpk=nqk=1，2，…条件的ymn=0。

比较xm1xn2（不包括mpk=nqk=1，2，…的情况）的系数时，考虑以下情况：

当0≤m＜pk，n≥0（不包括m=n=0的情况）时，得到0=gmnf0+aymn（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）与0=hr+aymn（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

整理后得到ymn=-gmnf0a（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）与ymn=-hra（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

同理，当0≤n＜qk，m≥0（不包括m=n=0的情况）时，可以得到ymn=-gmnf0a（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）与ymn=-hra（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

当pk≤m＜2pk，n≥qk（不包括m=pk且n=qk的情况）时，可以得到spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-pk，n-qkf1+aymn（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）与spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=hk+r+aymn（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）。

整理后可以得到ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-pk，n-qkf1a（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）与ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-hk+ra（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）。

同理，当qk≤n＜2qk，m≥pk（不包括m=pk且n=qk的情况）时，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-pk，n-qkf1a（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）

与

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-hk+ra（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）

当2pk≤m＜3pk，n≥2qk（不包括m=2pk且n=2qk的情况）时，可以得到

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-2pk，n-2qkf2+aymn（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

与

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=h2k+r+aymn（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

整理后可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-2pk，n-2qkf2a（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

与

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-h2k+ra（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

同理，当2qk≤n＜3qk，m≥2pk（不包括m=2pk且n=2qk的情况）时，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-2pk，n-2qkf2a（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

与

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-h2k+ra（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

通过以上证明过程可以得到，任取正整数t，tpk≤m＜（t+1）pk，n≥tqk（不包括m=tpk且n=tqk的情况），可以得到

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-tpk，n-tqkft+aymn（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

与

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=htk+r+aymn（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）

整理后可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-tpk，n-tqkfta（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

与

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-htk+ra（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）

同理，当tqk≤n＜（t+1）qk，m≥tpk（不包括m=tpk且n=tqk的情况）时，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-tpk，n-tqkfta（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

与

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-htk+ra（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）。

通过上述证明过程，可以证明方程（2）的形式解存在。下面考虑形式解的唯一性。

由给定条件已知，g（x1，x2）、f（z）以及h（z）的每一项系数gij、fl以及htk+r都是唯一的。

通过上述证明过程得知，对于y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2的系数ymn，可由系数gij、fl、htk+r以及固定的常数p、q、k、s、c计算得出。

综上所述，能够得到y00=0，当mpk=nqk=1，2，…时ymn=0、对于不为零的ymn，可以得出ymn由已给出的固定条件唯一表示，即形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2具有唯一性。最终可以证明，方程（2）的形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2存在且唯一。

4方程形式解的gevrey阶数

下面考虑解的gevrey阶数。对于变量x1，得到如下方程：

spkxqk2（m-pk）ym-pk（x2）+1-sqkxqk+12y′m-pk（x2）=gm-pl（x2）fl（z）+htk+r（xq2）+aym（x2）（3）

注意，此方程在Dr上全纯。这里要考虑两种情况，一种是当m≠tk+r时，等式右边取gm-pl（x2）fl（xq2）+aym（x2），另一种是当m=tk+r时，等式右边取htk+r（xq2）+aytk+r（x2）。两种情况证明方法及结论最终相同，故下面仅证明m≠tk+r的情况。

定理4：方程（2）的形式级数解在单项式xp1xq2上为1/kgevrey阶数。

证明：利用Nagumo范数及其性质，通过方程（3），得到不等式

‖y（x2）‖m≤1aspkRqk（m-pk）‖y（x2）‖m-pk+1-sqkRqk+1e（m-pk）‖y（x2）‖m-pk-1+∑m/pl=0‖g（x2）‖m-pl‖f（z）‖l+a‖y（x2）‖m（4）

同样，可以假设上述所有关系是相等的，相应地扩大数字ym。设y^t=∑ymtm，代入方程（4），得到

y（t）=1aspkRqktpk+1y′（t）+1-sqkRqk+1em-pkm-pk-1tpky′（t）+g（t）f（z）（5）

在参考文献［1］中，这样的方程的一般理论就意味着存在常数C、M，使得

‖ym‖≤CMmΓ（1+m/pk）m≥0（6）

利用柯西公式，得到

‖ym，n‖≤CMmNnΓ（1+m/pk）m，n≥0（7）

由参考文献［2］可以得到，当ym，n满足上述不等式时有y^∈Ex1，x21/k，则可以得到

‖ym，n‖≤CMm+nm！1/pk（8）

结合（8），由引理1，可以证明，ym，n为（1/pk，0）gevrey级数。即

y^∈Ex1，x2（1/pk，0）（9）

同理对于x2也有相应方程。应用与上述证明过程相同的方法，可证明

y^∈Ex1，x2（0，1/qk）（10）

由引理1的方程（1），结合（9）及（10），可得

y^∈Ex1，x2（p，q）1/k（11）

即y^在单项式xp1xq2为1/kgevrey阶数。

5总结

本论文研究了奇异偏微分方程

（xp1xq2）kspkx1yx1+1-sqkx2yx2=F（x1，x2，z）

及其形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2，证明了此形式解的存在性与唯一性，并在此基础上讨论了解的gevrey阶数，为后续证明形式解关于单项式xp1xq2的可和性打下了基础。

参考文献：

［1］W.Balser，FormalPowerSeriesandLinearSystemsofMeromorphicOrdinaryDifferentialEquations［J］.SpringerVerlag，NewYork，2000：3758.

［2］LuoZhuangchu，H.Chen，C.Zhang.ExponentialtypeNagumonormsandsummabilityofformalsolutionsofsingularpartialdifferentialequations［J］.AnnalesInstitutFourier，2011，62（2）：571618.

［3］CanalisDurandMJR.Monomialsummabilityanddoublysingulardifferentialequations［J］.JournalofDifferentialEquations，2007，233（2）：485511.

mHJSXWDYJZMFt9BfryC7h13+Z1MmFYwHCPRhvbVU+Hs=

［4］CarrilloSA，MozoFernández，Jorge.AnextensionofBorelLaplacemethodsandmonomialsummability［J］.JournalofMathematicalAnalysis&Applications，2018（1）：461477.

［5］CarrilloSA.Summabilityinamonomialforsomeclassesofsingularlyperturbedpartialdifferentialequations［J］.PublicacionsMatematiques，2021（1）：83127.

作者简介：徐思晨（1998—），女，汉族，山东昌邑人，硕士，研究方向：复数域内微分方程解的可和性。