《数学通报》2704号问题的另证与拓展

2023年第1期《数学通报》刊登了向中军老师提供的问题2704号如下：

1.问题呈现

如图1分别过ΔABC的顶点B，C作ΔABC的外接圆的切线，交点为D，连结AD交BC于E，过E作AB的平行线交AC于G，过E作AC的平行线交AB于F，求证：过F，G的直线是ΔFBE的外接圆和ΔGEC的外接圆的公切线.

向中军老师在解答时引入辅助线，多次利用四点共圆等几何知识解答此题，现给出另外一种平面几何证法以及对此题进行的拓展.

2.问题证明

证明： 如图2，过点A作ΔABC的外接圆切线，与DC，DB的延长线分别交于P，Q两点，设ΔABC，ΔBFE，ΔECG的圆心分别为O，O1，O2，设⊙O1和⊙O2交于另一点为M.由DB为⊙O的切线，则∠QBA=∠ACB，又EF∥AC，得∠FEB=∠ACB，从而∠QBA=∠FEB，即DB为⊙O1的切线，DB为⊙O和⊙O1的公切线.

同理可证DC为⊙O和⊙O2的公切线.

易知点D为⊙O，⊙O1，⊙O2的根心，又E为⊙O1和⊙O2的交点，则直线DE为⊙O1和⊙O2的根轴，又M为⊙O1和⊙O2的交点，则M在根轴DE上，即A、M、D、E共线.

于是AF·AB=AM·AE=AG·AC， 则F、G、B、C共圆，则∠ABC=∠AGF，又PQ为⊙O的切线，则∠PAC=∠ABC，于是∠PAC=∠AGF，从而PQ∥FG.

因为O1F∥OA∥O2G，OA⊥PQ，所以FG⊥O1F，FG⊥O2F 从而过F，G的直线是ΔFBE的外接圆和ΔGEC的外接圆的公切线.

3.拓展

拓展1 如图3，分别过ΔABC的顶点B，C作ΔABC的外接圆O的切线，交点为D，连结AD交BC于E，过B，E两点作⊙O1 ，使其与⊙O相切于点B，且交边AB于点F，过E ，C作⊙O2，使其与⊙O相切于点C，且交边AC于点G.求证：

⑴四边形AFEG为平行四边形；

⑵过F，G的直线是ΔFBE的外接圆和ΔGEC的外接圆的公切线.

证明：⑴过点A作ΔABC的外接圆切线，与DC，DB的延长线分别交于P，Q两点，由题目知BD是⊙O和⊙O1的公切线， 则有∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以EF∥AC，同理可以证明EG∥AB，所以四边形AFEG为平行四边形.

⑵证明方法同2704问题的证明.

拓展2 如图4 ，分别过ΔABC的顶点B，C作ΔABC的外接圆O的切线，E为边BC上任意一点，过B，E两点作⊙O1 ，使其与⊙O相切于点B，且交边AB于点F，过E ，C作⊙O2，使其与⊙O相切于点C，且交边AC于点G.求证： ⑴四边形AFEG为平行四边形；

⑵与⊙O1相切于点F的直线和与⊙O2相切于点G的直线互相平行.

证明：⑴证明方法同拓展1的证明.

⑵因为O1F∥OA∥O2G，且OA⊥PQ，所以，与⊙O1相切于点F的直线与直线PQ平行，与⊙O2相切于点G的直线也与直线PQ平行，故与⊙O1相切于点F的直线和与⊙O2相切于点G的直线互相平行.

拓展3 如图5，⊙O1，⊙O2交于点M，E，且内切于ΔABC的外接圆⊙O，切点分别为B，C两点，且A、M、E三点共线，边AB，AC与⊙O1，⊙O2分别交于点F，G两点.求证：

⑴四边形AFEG为平行四边形的充要条件是B、E、C三点共线；

⑵过F，G的直线是ΔFBE的外接圆和ΔGEC的外接圆的公切线.

证明：⑴若四边形AFEG为平行四边形，则EF∥AC，所以∠BAC=∠BFE，又DB为⊙O1的切线，所以∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以∠ABC=∠ABE，所以B、E、C三点共线.若B、E、C三点共线，过F，G的直线是ΔFBE的外接圆和ΔGEC的外接圆的公切线的证明方法同拓展1（1）.

⑵证明方法同2704问题的证明.

拓展4 如图6，⊙O1，⊙O2交于点M，E，且内切于ΔABC的外接圆⊙O，切点分别为B，C两点，且边AB，AC与⊙O1，⊙O2分别交于点F，G两点.

⑴与⊙O1相切于点F的直线和与⊙O2相切于点G的直线互相平行；

⑵FG是⊙O1与⊙O2的公切线的充要条件是A在直线ME上.

证明：⑴证明方法同拓展2⑵.

⑵若FG是⊙O1与⊙O2的公切线，则由⑴知FG∥PQ，从而

∠FGA=∠PAG=∠ABC，所以F、B、C、G四点共圆.因此，AF·AB=AG·AC，故点A到⊙O1和⊙O2的幂相等，所以点A在根轴ME上.

若点A在根轴ME上，则FG是⊙O1与⊙O2的公切线的证明方法同2704问题的证明.

由拓展4知，数学通报2704号问题为其特殊情况（注：拓展4为2006年意大利国家队的选拔考试题）

波利亚语：“没有一道题目是可以解决得十分完美的，总剩下一些工作要做，经过充分的探讨总结，总有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，都能提高自己对这个解答的理解水平”.

参考文献

［1］沈文选， 张垚， 冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题［M］.长沙：湖南师范大学出版社，2014：133-138.