聚焦核心素养 提升复习质量

单元复习课是学生在较短的时间内再次完整地经历单元学习的全过程，深化知识理解，构建认知结构，归纳提炼方法策略，深化思想方法认识，发展核心素养，是一个螺旋上升的过程.不久前，宁波市教育局教研室举行市直属高中数学优质课评审，主题为“核心素养视角下的高中数学单元整体教学复习课研讨”，笔者讲授的内容为人教A版必修第二册立体几何中“空间直线、平面垂直”单元复习，现把这节复习课整理成文，供各位参考，欢迎指正.

1．教材分析

垂直关系是立体几何中两大基本位置关系之一，让学生通过本节课熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化，是本节课的一个重要任务.依据《课程标准（2017）版》对学生逻辑推理素养及直观想象素养的要求，培养学生能够通过对命题条件与结论的分析，利用已学过的知识，探索论证思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程.本课为《8.6空间直线、平面的垂直》单元复习课，积极践行新课程理念，通过一些问题的设置，帮助学生构建知识网络，对线线垂直、线面垂直、面面垂直有一个完整的知识框架，并且通过本节课的学习，能够体会重要的几何模型在实际问题中的重要作用，体会“降维”“升维”思想在立体几何中的应用.

2．教学目标

（1）理顺空间垂直位置关系的知识构架，并能应用相关知识对问题进行分析、转化和解决.

（2）能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素从而解决问题，培养数学建模素养.

3．重点与难点

教学重点：理解空间中垂直关系之间系统化的知识结构，证明一些有关垂直关系的简单命题.

教学难点：树立模型意识，能从实际问题中发现模型，应用定理，熟练地解决问题.

4．课堂简录

4.1 回顾知识，形成网络

利用概念图织点为网，构建知识整体框架.帮助学生把原来学过的知识温习一遍，更重要的是要能够将这些知识之间的关联整理清楚，形成知识网络，并能在实际问题中自如地加以应用.因此，从文字语言、图形语言和符号语言三个维度与学生一起建构思维导图.

问题1 哪位同学分享一下空间中直线、平面垂直关系之间的联系？

（注：整理思维导图的过程中，注意自然语言、符号语言和图形语言并举）

让学生进一步体会这三种语言各自的特点.一般情况下，在理解题意的阶段需要把题目中给出的自然语言或者是符号语言“翻译”成图形语言，然后通过图形语言来分析题目的条件，建立已知与未知的关联，图形语言更有助于发现实际图形中可作为定理模型使用的基本图形.

设计意图：学生通过回忆了解整个小节知识框架和地位，培养学生养成看待问题的整体意识和联系意识的习惯.学生通过回答问题的方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和认识，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.当头脑中已经建立起了解决问题的完整思路时，就要通过符号语言或自然语言来表达整个逻辑推理过程.以上建构知识思维导图，将数学的三种语言融汇成了一体，加深了学生的理解和认识，方便学生应用时进行知识提取.

4.2 应用定理，构建模型

应用定理解立体几何题，首先要树立“定理”即“模型”的意识，学会从复杂图形中分离出定理“模型”.要证明线面垂直、面面垂直、线线垂直，常常需要进行“降维、升维”处理.

例1 如图1，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.

问题2 哪位同学分享一下本题的探究结果？

追问：四面体P-ABC有几个面是直角三角形，并指出其中的直角.

师生共同回顾定理中的转化思想，圈点关键词.

设计意图：应用定理解立体几何题，首先要树立“定理”即“模型”的意识，学会从复杂图形中分离出定理“模型”.要证明线面垂直，常常需要通过“降维或升维”处理，师生共同分析该模型的特点和模型中定理的应用.

4.3 典例分析，巩固提高

例2 如图2，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PD⊥底面ABCD ，且PD=DC，E是PC的中点，EF⊥PB，垂足为F，连接DE， DF.求证：PB⊥平面DEF.

问题3 例1和例2两个几何体分别具有什么特点，同学们能否给它们分别取个名字呢？在例1、例2中有两个几何体我国很早就有研究，而且它们还拥有自己的名字：一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个是四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”.关于“阳马”和“鳖臑”，《九章算术？商功》里是这样描述的：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”

通过几何画板的动画更好地认识堑堵、阳马、鳖臑.

追问：你能从图2中找到几个“鳖臑”？

设计意图：通过“鳖臑” 的引入，了解我国古代对立体图形的研究方向和方法，体会古代数学家对人类的贡献.通过数学几何体空间形象和模型的观察认识，学生更加容易理解题目条件，熟悉题目背景.探究性趣味问题的设置旨在调动学生课堂参与度和学习积极性，通过合作交流寻求“鳖臑”的个数，增强协作共进的团队合作精神.

4.4 课堂练习，应用提升

例3 如图3，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2CD；侧面PAB垂直于底面ABCD，且 PA＝PB，O是AB的中点.证明：平面POC⊥平面ABCD.（1）熟悉题目背景几何体，理解题目条件（观察模具，一边看题一边想象几何体的空间形象）这里也有一个模型，阳马P-AOCD.

（2）分析问题，寻找解决问题的突破口

问题4 哪位同学来分析题目所给条件？

我们分析题目所给条件寻找PO垂直于平面ABCD的依据.

强调：证明两个平面垂直就是在一个平面内找另一个平面的垂线.

设计意图：通过对问题进行分析，学生可以体会应用平面与平面垂直的判定定理和性质定理.在分析问题和解决问题中转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.

问题5 还有其他的解决方法吗？（AB垂直平面POC）

变式1 若侧面PAB不垂直于底面ABCD，问题的结论还成立吗？

通过AB垂直平面POC（不变性）不管平面PAB如何变化，O是AB中点，从而PO⊥AB是不变的，不管怎么变AB⊥平面POC不变.在这里我们要抓住动态问题中的不变性质，这是解决动态问题的常见思路.利用几何画板再次直观感受.

变式2 PC与底面ABCD所成角？PD与底面ABCD所成角？

设计意图：通过对条件分析，学生可以养成深入挖掘题目隐含条件的习惯.板演及其点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.学生在多种方法的发掘和变式思考过程中养成发散思维的良好习惯，体会参与课堂的成就感和愉悦感.借助信息技术将抽象问题形象化，将空间问题平面化、可视化.学生通过完成解题反思，总结学习经验，升华方法、思想.

4.5 小结提升，整体把握

问题6 "（1）这节课我们学到了什么知识？

（2）空间几种垂直关系的联系？我们还要继续研究哪些内容呢？

设计意图：开放式的小结设问，以闲话家常的模式，从“情感态度”的角度，学生可以检验自己的课堂收获和对整堂课全局上的把握.学生通过浏览阅读思维导图，易于构建空间垂直位置关系知识框架，体会知识之间的联系性和系统性，同时也为下节课对后续复习做好准备.

5．教学反思

5.1 单元复习课要明确数学核心素养的目标

教学是一种有目的、有计划的活动.学习目标是课堂教学过程中，学生一切学习活动的出发点和落脚点.由于数学核心素养是在学习过程中形成的，因此它不能脱离内容与过程.本节课从几何角度遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认知习惯展开.学生在解题训练的过程中充分参与课堂活动，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养；从定理应用的角度借助例1，例2树立数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，培养数学建模素养，发展数学抽象素养.

5.2 单元复习课应重视对数学知识的整体构建

在数学的单元复习中，笔者认为教师应重视对数学知识单元的构建，以大单元理念为指引，引导学生将知识和方法嵌入到完整的知识体系中，特别是具备核心作用的内容.继教材空间平行位置关系之后的迁移与完整性拓展，本节课通过思维导图帮助学生构建空间垂直位置关系的知识框架，把握知识之间的联系性和整体性，深入挖掘他们之间相互转化思想.因此，从知识逻辑顺序上来看，那么对于空间中一般的位置关系即空间中异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的大小以及后续利用空间向量求解空间角的问题都做好铺垫.

5.3 单元复习课要注重数学文化价值的挖掘

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学课程内容要培育数学核心素养，继承与弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信；要注重数学文化的渗透，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”中华优秀传统数学文化走进高中数学课堂强调古为今用，提升学生数学学习的文化涵养，促进核心素养的综合发展.本节课创设合适的教学问题情境，引入“阳马”和“鳖臑”，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.了解我国古代对立体图形的研究方向和方法.体会古代数学家对人类的贡献.教科书上的模型基本都是“阳马”和“鳖臑”.让学生充分感受几何体“阳马”和“鳖臑”在现今学习垂直关系时的意义和价值.单元复习课需要注重挖掘数学文化，引领学生的思维前行，帮助学生积累思维的经验，积淀并提升学生的数学核心素养.只有根植数学文化的基因，才能真正让学生的数学思维在数学文化的气息中得到成长.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2017.

［2］卢明. 数学教学要既见“树木”又见“森林”［N］. 中国教育报，2018-03-07（10）.

［3］王 璐，卢 明.指向核心素养的教学设计与实施［A］. 中学教研（数学） 2018-07.