高中数学章起始课的教学实践与思考

伴随着新课程改革的推进，一线教师越来越重视章起始课的教学．章起始课作为单元教学的序曲，统摄全章，有利于从整体视角高屋建瓴地认识全章的学习内容和方法，从而形成良好的认知结构．章起始课虽然内容往往不难，但却是全章的基石，如果处理不好，会对后续学习产生影响．本文以人教A版普通高中教科书必修第二册第九章《统计》为例，谈谈对于章起始课的教学思考．

一、教学分析

1．全章内容概述

《统计》全章的总体设计是要通过一些典型案例，让学生系统地经历数据收集、整理、分析的全过程，积累数据分析经验，提升数据分析素养．根据数据分析的基本流程“实际问题→收集数据→整理数据→统计推断→获得结论”，教材组织编排成4节内容．其中，第1节“随机抽样”重点研究收集数据的问题，共分为4课时：第1课时，简单随机抽样；第2课时，用样本平均数估计总体平均数；第3课时，分层随机抽样；第4课时，获取数据的途径．

2．课时教学要义

作为章起始课，本节内容包括三个方面．一是章引言，主要阐述统计的现实背景和研究价值，指出统计的学科特点，明晰应用统计解决问题的基本流程；二是结合实例提出收集数据的两种方法：普查和抽查；三是简单随机抽样，这是重点内容，主要是结合实例阐述简单随机抽样的含义及过程，并研究其两种实现方法：抽签法和随机数法．

3．教学诊断分析

本节内容可概括为明暗两线，明线是：一个概念（简单随机抽样），两种方法（抽签法、随机数法），暗线贯穿单元始终，即以样本估计总体的统计思想．如果仅仅教一些统计概念和程序化的操作方法，学生能够理解并接受，但却不利于发展统计思维．因此，基于实例探究，体会统计思维和确定性思维的差异，发展数据分析素养，方是教学要义所在．

4．教学目标定位

基于上文分析，将本节课目标定位如下：

（1）结合章引言和具体实例，能举例说明统计的现实背景、研究价值以及解决问题的基本流程和思路，构建出统计单元框架．

（2）通过实例探究，理解抽样的必要性和合理性，了解简单随机抽样的含义及过程，掌握两种实现方法：抽签法和随机数法．

（3）通过简单随机抽样，感悟样本的随机性，强化以样本估计总体的思想，体会统计思维和确定性思维的差异，提升数据分析素养．

（4）能借助电子表格软件、R软件等信息技术产生随机数．

二、教学过程设计

1．创设情境，引章起始

情境：我们生活在大数据时代，时刻都在与各类数据打交道．（PPT展示）第七次全国人口普查部分数据、2021-2022无锡市生产总值变化情况、手机app运用大数据进行导航和购物、医院基于大数据预测诊断病情等．阅读和理解这些数据，需要具备统计学的知识．

师生活动：以第七次全国人口普查为例，复习普查、总体和个体等概念，分析历次普查地区的人口年龄构成，发现老龄化问题，认识到生育政策调整的合理性，提炼出利用统计解决问题的基本流程：收集数据→整理数据→统计推断．

引导语：统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学．本节课重点研究统计的起始环节，即通过调查收集数据．回到人口普查问题，同学们知道人口普查几年进行一次吗？

师生活动：学生回答10年一次，分析原因是人口普查花费的财力、物力太大，不宜经常进行，顺势得出人口抽查的必要性，并引出抽查、样本、样本量、样本数据等概念．

问题1 在下列调查中，总体、个体各是什么？哪些适合全面调查？哪些适合抽样调查？

（1）为迎接校运动会，无锡一中高一某班打算购买班服，登记学生的身高．

（2）某灯管厂检测一批新型LED灯管的平均使用寿命．

追问：全面调查和抽样调查各有什么优缺点？

师生活动：学生独立思考后回答问题，教师完善．

设计意图：以贴近生活的热点创设问题情境，激发学生学习兴趣，初步构建出统计单元研究框架，复习普查、抽查等相关概念，理解抽样的合理性和必要性．

2．研讨案例，共话抽样

问题2 抽样调查的目的是什么？是不是仅仅为了了解样本？

师生活动：学生经思考得出结论：抽样调查的目的不仅仅是为了了解样本，而是为了通过样本估计推断总体．

设计意图：明晰抽样目的，显化以样本估计总体的统计思想．

探究活动1：如何科学抽样

案例 在1936年美国总统选举中，著名杂志《文学文摘》进行了一次民意调查，他们从电话簿、机动车注册表及俱乐部会员表上共选取了1000多万人，再发给他们调查表，并得到了238万人的回复，统计结果如表所示．

据此，《文学文摘》作出推断：本次选举兰登获胜．与此同时，年轻的盖洛普抽取了5万个样本进行了民意调查，并预测罗斯福会赢得连任．选举结果是罗斯福以62%的选票轻松获胜．盖洛普一炮而红，《文学文摘》倒闭关门．

问题3 为何《文学文摘》的大样本调查会出现严重偏差？反而盖洛普的小规模调查却能大获成功？

师生活动：学生分组就民意调查案例展开充分讨论，得到一些结论和启示，如《文学文摘》样本虽大却主要代表少部分富人的意愿，不能代表大部分人的意愿，盖洛普的样本规模虽不大却包含了社会各阶层人民．

追问：怎样的抽样算是“好”的抽样？

师生活动：学生讨论并归纳提炼出科学抽样的原则，教师补充完善．抽取的样本要具有代表性、全面性，即要与总体具有基本相同的信息；样本量不必太大，只要合适，也能作出较好的估计；抽样要具有随机性，要争取让每个个体被抽到的可能性相同．

设计意图：通过民意调查案例，引发对抽样方法科学性的思考，突出“好”样本的重要性，通过讨论形成科学抽样的系列原则，为构建简单随机抽样、评价抽样方法奠定基石．

3．参与实验，构建概念

探究活动2：简单随机抽样的概念

问题4 假设口袋中有黄色和白色共100个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中黄球所占的比例吗？

师生活动：学生分组讨论，设计抽查方案，由学生代表操作摸球并估计出黄球比例．在摸球过程中适时设问，如为什么要搅匀．

追问1：逐个放回摸球与逐个不放回摸球是否都可以估计总体？各有何特点？哪种效率更高？

追问2：从总体中逐个不放回随机抽取n个个体与一次性随机抽取n个个体，两者是否等价？

师生活动：师生共同讨论三种摸球方案：逐个放回抽样，逐个不放回抽样，一次性抽样．这三种方案都可行，且各有其特点．逐个不放回摸球可能会导致多次摸到同一个小球，甚至出现每次摸到同一个小球的极端情况；逐个放回摸球可以避免重复，并且效率更高；逐个不放回抽样和一次性抽取是等价的．师生共同归纳形成简单随机抽样的概念，提炼出不放回简单随机抽样的主要特征：个数有限，逐个抽取，不放回，等可能．

追问3：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？

师生活动：师生研讨后得出结论：一般来说，样本量越大对总体的估计越准确；但是，样本量越大也会导致人力、物力、时间等成本增加．抽样调查的目的概括地说就是为了了解总体，节约成本，因此要权衡好精度和成本．

设计意图：通过小球抽样探究活动促进学生思考、讨论，体悟抽样的随机性，感受统计思维与确定性思维的差异，构建简单随机抽样的概念，并通过对样本量的研讨发展辨证思维和系统性思维．

4．实践探究，提炼方法

问题5 无锡一中高一某班有51名同学，如果现在要通过简单随机抽样的方法选取4名同学去参加午餐管理座谈会，应该怎样抽取样本？

追问：为什么要给学生编号？编号用学籍号可以吗？

师生活动：学生思考后发言，教师补充完善，归纳出抽签法的一般步骤：编号―制签―搅匀―抽取．编号是为了区分学生，并建立编号和学生的一一对应．

设计意图：让学生掌握抽签法的操作步骤，引导学生不用编号，优化抽样操作．

问题6 当总体较大时，制签环节很耗时，能否用其他方法取代？例如，如何通过简单随机抽样的方法调查高一年级896名学生的平均身高．

师生活动：师生对话，在抽签法的基础之上进行优化改进，形成随机试验的两种设想，即借助制签试验或信息技术．

追问1：如何用随机数法抽取样本？

师生活动：学生利用纸签开展随机试验，形成并完善随机试验产生随机数的步骤：制作10个小球，分别写上数字0～9，放入不透明袋中，搅拌均匀，从袋中有放回抽取3次，每次抽取前搅拌均匀，并把抽到的数字分别作为百、十、个位数字，这样就生成了一个三位数．在此过程中，教师适时设问可能存在的问题，如百位是9如何处理，有重复数字如何处理等．在此之后，教师示范，学生实践操作，借助电子表格软件、R软件生成随机数．

追问2：抽签法和随机数法各有什么优缺点？如何选取合适的方法？

师生活动：学生讨论小结抽签法的优缺点：简单易行，但当总体个数较多时编号、制签不便，很难搅匀，样本代表性可能不好．得出结论：当总体较小时，选择抽签法；当总体较大时，选择随机数法．

设计意图：通过增大样本量引出随机数法的设想，随机试验以学生体验、操作为主，教师适时发问引导学生完善随机数法，并通过对比两种抽样操作方式的优缺点，增进对抽样方法的理解．

5．小结升华，课堂留思

问题7 概述一下本节课的研究流程，你学到了哪些知识和方法？

师生活动：引导学生回顾小结，教师补充完善．

设计意图：通过回顾研究过程，明晰统计单元框架，提炼主干概念和方法，凸显抽样的大问题即为何抽样、如何抽样，引导学生重视统计章节的学习，做到心中有数，会用数据说话．

问题8 在抽样调查中，请你说说通过“随机”选择样本的优缺点．

追问：假设现在要调查我校学生的身高，除了简单随机抽样，有没有其他方法？你觉得哪种方法更为合适？

师生活动：讨论得出结论．简单随机抽样可以避免人为因素的干扰，使得样本更加客观；缺点是不能充分利用已有的有关总体的信息，如要调查学生身高可以分年级、性别按比例抽取样本．

设计意图：通过对抽样方法的反思，发展批判性思维，顺势展望分层抽样等其他抽样方法，回归到统计单元框架的构建和延展．

三、教学思考

1．重视引言设计，构建单元框架

教材的章引言包括章首语，章头图等，这些都是章起始课设计的极佳素材．章引言可以帮助学生了解全章的知识背景、核心问题、逻辑体系和思想方法；提供章节研究的基本流程；激发学习兴趣和热情；激活认知结构中的相关知识．教学设计时要认真研读并领会章引言的内在精神，站在单元全局的视角，整合资源，呈现图片、视频、时事等引导性材料，指引学生把握全章脉络，勾勒出单元学习和研究的整体框架．

2．创设真实情境，激发思维活力

章起始课的教学要基于对学情的诊断分析，通过创设真实的问题情境，激发学生的思维活力，驱动学生独立思考、交流反思和实践探索．本节课通过创设诸多实例，并铺设问题串，引导学生思考探究，将思维引向纵深处．核心实例包括人口普查、民意调查、摸球实验和抽取学生代表等，这些实例不仅彰显了统计的应用价值，而且饶有趣味，加深了学生对统计概念和方法的理解，从教学效果来看，较好地克服了因知识抽象所导致的理解障碍和认知偏差．

3．追求自然生成，回归数学本质

追求自然生成，就是要切实尊重学生的认知规律，让数学知识的生成和发展合乎逻辑；回归数学本质，就是要着力促进学生的思维发展，让知识背后内隐的数学思想刻骨铭心．例如，对于简单随机抽样及其实现方法，不是先直接告知概念和操作步骤，再继之以记忆和模仿，而是以实例为载体，让学生设计抽样方法，并对方法进行修正、优化、评判，从而理解其必要性和合理性，同时体悟到样本的随机性以及以样本估计总体的思想．