重视思维可视过程，提升数学核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版》指出，初中数学核心素养包括抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识和创新意识，在初中几何教学中，以上核心素养几乎都会涉及，但因为教师的教学方式、学生的个人素质等因素，导致部分学生对于几何学习存在无法积累数学活动经验、不能深入感悟数学思想方法的问题.现以“拼图法验证勾股定理”课堂教学为例，呈现思维可视化这种教学方式对于学生提高数学核心素养的过程.

1 教学过程

1.1 前置知识激活

首先以问题串的形式回顾勾股定理的内容和结论得出过程：

问题1 同学们上节课已经学习了“勾股定理”，它的内容是什么？

学生（积极回答）：直角三角形的两条直角边长a，b与斜边长c之间的数量关系为a2+b2=c2.

问题2 我们是如何得出这个结论的？

学生（积极回答）：通过观察格点图中不同边长的直角三角形的面积之间的数量关系，猜测直角三角形三边长之间的数量关系.

问题3 按照数学研究的一般流程，接下来我们应该做什么呢？

学生（试着回答）：要举例验证这个结论是否正确.

问题4 大家还记得七下“整式乘法与因式分解”一节中是如何得出乘法公式的吗？

学生（回忆后回答）：“完全平方公式”是通过拼图法进行不同方式的面积计算，进而得到的数量关系.

教学说明：这个过程不仅让学生复习了勾股定理的内容，还引导学生建立数学研究的一般流程，即“观察—猜想—验证—应用”，也引出了本节课的课题.

1.2 拼图过程

课前已经请学生把实验手册后面附录2中的图形拆下来，置于桌面备用.

拼图步骤：（1）打开实验手册，取出附录2中的图形，并了解这些图形之间的关系.

（2）用一号正方形纸片和四个直角三角形，拼成一个新的正方形.

（3）用二号、三号正方形纸片和四个直角三角形，拼成一个新的正方形.

注：图形之间不重叠，无缝隙.

教学说明：附录2中一共有三个大小不一的正方形和八个全等的直角三角形，先引导学生观察各个图形之间的关系，再把直角三角形的三条边分别对应三个正方形的边长，从短到长分别记为a，b，c.在学生对图形有了初步认识之后，教师再指导学生将这些图形分成两堆拼正方形.

1.3 观察与验证

学生所拼图形如图1与图2所示.

问题5 这两个图形是什么关系？

学生（观察后积极回答）：两个图形都是正方形，边长都是a+b，两个大正方形都是由小正方形和直角三角形拼成的.

问题6 类比七下“整式乘法与因式分解”中的学习方式，你有什么发现？

学生开始讨论并计算.

学生2（有不同看法）：不仅可以看图1，也可以结合图2，把图2看成一个整体，面积是（a+b）2，与图1

教学说明：学生能够观察出两个图形的形状和大小之间的关系，进一步通过计算得出勾股定理.在此过程中，学生经历了动手操作—观察思考—计算—语言归纳的过程，完成了自主构建勾股定理证明的过程.

1.4 讨论与拓展

问题7 为什么这种方法可以验证勾股定理？

学生（思考回答）：通过图形的移、拼、补，把同一个图形的面积用不同的形式表示，再根据这些面积表达形式建立恒等关系，通过化简运算就可以验证勾股定理.

问题8 这种方法与上节课的证明方法相比有什么优点和局限性？

学生（各抒己见）：直观易懂；启发思考；操作烦琐；依赖工具……

问题9 可不可以减少图形，构造新的拼图呢？这次允许有空隙.

学生开始思考，并未有一致回答.

教师趁机展示赵爽弦图证法（图3）和总统证法（图4），并鼓励学生进行验证.总统证法的拼图学生没有直接拼出来，而是在教师的引导下构造出直角梯形并进行验证.

1.5 应用与拓展

展示边长分别为6，8的两个正方形组成的“L”形图案，标注格点.

问题10 要想将边长为6和8的两个小正方形割补、平移成一个大正方形，这个大正方形的边长是多少？

学生思考如何割补、平移，并尝试画出图形.大部分学生未找到割补方法.

教师进行提示，提出问题11.

问题11 你能从图5中找到边长为10的线段吗？

学生观察图5，找到边长为10的线段.

教师继续引导，提出问题12与13.

问题12 以这条线段为边的正方形怎么画？

问题13 结合所画草图，你如何剪拼？

学生根据提示，画出图6.

活动：两个边长不同的正方形连在一起的“L”形纸片，如图7，现在请你先剪切，然后再将所得到的图形拼成一个正方形.

教学说明：以有具体边长的格点图为特例，从特殊到一般，通过面积割补，直观地进行拼图验证.

1.6 小结与鼓励

播放视频，简要总结数学史上勾股定理的来源、发展和生活中的应用，渗透数学文化.

2 教学反思

本节课由核心问题驱动，通过操作、观察、验证过程，将抽象思维直观呈现，提升学生核心素养.

2.1 核心问题驱动

本节课的核心问题是“如何通过拼图法验证勾股定理”.教师根据教学目标和学生已有知识、经验，围绕核心问题，组织教学过程.

2.2 素养感知与提升

（1）几何直观的素养感知

本节课最明显的几何直观是用直角三角形和正方形拼图，感知同一个图形从整体和局部两个方向表现的结构特征.借助直观图形认识事物，利用图形描述、分析数学问题，建立数与形的联系，感知数形结合思想.

（2）数学抽象的素养感知

本节课中的数学抽象是：通过对勾股定理的验证研究，进一步明确数学研究的一般流程即“操作—猜想—验证—应用”，形成几何教学的常规方法.

（3）推理能力的素养感知

本节课中的推理感知是：学生拼完图形后需计算和验证，存在类比推理、演绎推理和从特殊到一般的推理过程.

思维可视化呈现有多种方式，这些方式有效使得数学思维由抽象到具象，实现了提升学生核心素养的目标.