初中数学对称美的认知及应用探究

摘要：本文中选取数学中的对称美，探讨初中数学对称美的内涵与体现，着力分析图形、公式与解题方法中的对称美，并以典型例证呈现进一步做分析，体现了数学美在培养学生数学审美素养、锻炼创造性思维、促进学生全面发展等方面的教育价值.

关键词：初中数学；对称美；审美

1 问题的提出

为了落实“立德树人”的教育宗旨，2020年国务院在《深化新时代教育评价改革总体方案》中提出要“培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，有机整合相关学科的美育内容，进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系”.《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求“学生在数学美方面有一定的了解和认识，在数学学习中发现数学美、认识数学美、体会以及欣赏数学美，使学生受到美的感染与启迪，促进学生德智体美的全面发展，进而推进素质教育”[1].数学学科天然地具有文化属性，具有独特的美及美学价值，对完善和充实德育工作非常必要.

因此，本文基于提升学生核心素养的现实要求，借鉴学术界对数学美相关理论的研究成果，以初中数学对称美为切入点，分析其表现形式与应用探究，以期为在数学教学实践中落实数学美提供参考.

2 数学对称美的内涵与体现

数学美分为形态美和神秘美，在有关数学理论、图形的研究中，只要我们有意识地关注研究数学的理论和图形，那么无论在公式、定理，或者是法则中，都可以接触到数学的美［2］.对称美是数学美的重要特征，对称思想更是数学中的重要思想和方法，体现了数学美的内涵，展示了数学的规律性，对数学学科的发展有着积极的促进作用.数学在某些图形、公式等方面表现出来的形式，也具有对称美.

2.1 图形的对称美

图形的对称具备直观的特点.初中数学知识中的一些几何图形具备着对称性质就能够展示出明显的对称美.空间图形所展示出来的中心对称、平面图形所展示的轴对称等都展示出了显而易见的对称性质.在几何图形的对称性质方面，圆虽然只是一个概念性的图形，但它却拥有着丰富的性质，圆既是中心对称图形又是轴对称图形.

2.2 公式的对称美

公式的对称性指的是一些公式中的运算符号的可交换性，将公式中的一些符号相互交换，公式依然还是成立的.这些可以互相交换的符号之间就具有对称美.这种对称性虽没有几何图形的直观性，但表现形式却是灵活生动的，也展示出公式所表达的相关内涵.如完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，把式子中的a，b互相交换，等式仍然成立.公式中的这种对称性，不仅显示出公式的灵活和美观，还深刻描述了公式代表的事物的本质属性.

2.3 解题思想方法的对称美

对称美是人类审美的体现，对称的解题思想不仅已经成为一种深刻的领悟，而且还是一种探索性的发现解决问题方法的利器[3].在初中数学解题中考虑对称思想方法的作用，巧妙运用思想方法中的对称美，不仅能够启发学生学会合适的解题方法，而且还能培养学生的创新思维能力，起到事半功倍的作用.

3 初中数学对称美的典型例证

对称美是初中数学美的重要组成内容，而圆的相关知识点是初中数学图形知识的一个重要组成部分，在中考中也占据了很大的比重，因此借助圆的典型例题来分析数学中的对称美.

3.1 圆的对称性

《九章算术》中记载了“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知其大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”将其翻译成现代白话文：“如果线段AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请补全示意图，并求出AB的长.

该题目所求的是圆的直径.早在古希腊毕达哥拉斯学派就发现了和谐之美，称一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形[4].圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是直径所在的直线，而且所有过对称中心的直线都是对称轴，因而它有无数条对称轴.因此，先作出相关图形，再从圆的对称性质寻求答题的突破口.

如图1，依据题意，分别连接OC，OD.

在⊙O中，CD⊥AB，且AB为⊙O的直径.

在⊙O中，OC和OD均为半径，设半径为r.

在Rt△CEO中，根据EO2+CE2=OC2，即（r-1）2+52=r2，得r=13，所以直径AB=2r=26.

根据圆的垂径定理求出CE的长，AB既是⊙O的直径，同时也是对称轴，垂直平分了弦CD.因此，在Rt△CEO中，EO2+EC2=OC2，由对称性同理可得EO2+ED2=OD2，运用勾股定理将圆的半径求出，可得直径AB的长.此题是一道古代数学问题，考查了垂径定理和勾股定理的应用，其中展示了图形的对称美.

3.2 掌握对称解题思想方法

《九章算术》中“圆材埋壁”的问题直接触及了学生新知识的生长点，考虑到垂径定理的证明需要借助圆是轴对称图形，在接下来的环节可以让学生动手去体验圆的对称性.利用垂径定理和勾股定理求解，能够找到题目的潜在规律，从而抓住问题的本质内容，化难为易，就可以得到比较巧妙的解题思想方法.

由此可见，如果能够合理运用对称的思想，那么就能巧妙地解决数学中比较难的问题.对称思想可以帮助学生在解题时发散多种思维来思考问题的可能性，利用问题中图形的对称性质，多方面寻求解决数学问题的办法.而采用对称性的数学思想方法发散思维，能够拓展学生思维的高度，培养学生优异的数学思维品质.

4 结论与启示

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的实施，在数学学科教学方面越来越重视数学文化的呈现，数学文化必然伴随着数学美的教学要求.学生分析和运用数学图形、公式的对称性，增强对这些问题中数学对称思想的灵活运用，有利于形成数学审美素养，建立正确的解题思路，培养思维的创造性与灵活性.

4.1 培养学生数学审美素养

数学的对称美体现了数学的形式美，数学对称美能够让学生直观地体会到数学的美，发散和开阔学生对美的想象.教师在教学中展现相关的数学对称美，能够让学生在学习的过程中享受到美感，激发学生对学习产生新的兴趣，改善学生的数学思维品质，提升学生的审美素养.

4.2 加强几何图形对称性质的掌握

初中数学几何中的对称图形是典型的视觉对称美图形，图形的对称美是比较直观的，可以给人一种美的感觉.图形的对称美能够培养学生几何图形审美能力，学生由具体的对称图形向抽象逻辑思维过渡，熟练掌握对称图形的性质.教师引导学生在平时解题的过程中，学会合理运用几何图形的对称性质，把握相应的数学知识，体会到数学对称美.这样既增强了学生美的意识，又能够让学生在审美的过程掌握几何图形的对称性知识.

4.3 引导学生灵活运用数学公式

公式是数学知识体系中的重要组成内容，其中蕴含着丰富多彩的对称美，同时它还是数学问题推理论证的重要依据.只有理解了数学公式，才能够合理运用它们去解决数学问题.合理分析数学公式中的对称美，有助于学生在理解公式的基础上，寻求灵活的记忆方式.随着对公式的理解，学生能够发现数学知识之间存在着千丝万缕的联系.这种关系能够让学生牢固地记忆相关数学知识.而这关联的知识内容需要学生自身的潜心探求，仔细挖掘，建立联系，促使学生对数学产生学习的兴趣.

4.4 借助对称美培育学生创造性思维

对称美能帮助学生冲破思维定势，利用对称美解决数学问题，能够培养学生创造性思维.在解题时巧妙地利用内在问题的对称性，合理运用对称思想感悟数学知识潜在的联系，从新的角度思考数学问题，融会贯通地运用数学知识，从而培养学生创造性思维.美的形象也能够培养学生审美感知能力，对数学知识形成一定的记忆点，利用数学对称美的学习，有利于学生加深对数学基础知识的理解，从而发展学生的数学创造思维，实现学生各个方面的均衡发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986：94-95.

[3]徐本顺，殷启正.数学中的美学方法[M].南京：江苏教育出版社，1990：70.

[4]吴茂焕.初中数学渗透数学美的路径和方法[J].初中数学教与学，2021（16）：3-6.