波利亚解题理论在高中数学教学中的应用

摘 要：作为高中数学的核心知识，基本不等式描绘了物体在数量上的差异，它不仅是学习数学的关键基石，也是探索数量关系的主要工具和方法.数学家波利亚代表作《怎样解题》里的“怎样解题表”，展示了他的解题理念，其教学经验的精髓鼓励着年轻人不断去思考，从而培养他们的数学精神，这与我国新课程标准的教学理念是一致的.因此，将波利亚解题理论与高中基本不等式的教学相融合具有很重要的实践意义．

关键词：波利亚解题理论；基本不等式；教学研究

波利亚解题理论是一种目前广为流传的解题理论，并且这一理论在流传过程中，逐渐被运用到了数学的解题教学中.因此，在高中数学解题教学中，波利亚解题理论可以帮助学生学习解题技巧，提高解题效率.^［1］本文把波利亚解题理论融入基本不等式的教学中，不只是为高中的基本不等式教学提供了强大的理论依据，也有利于推动高中基本不等式教学向更深层发展．

1 “基本不等式的应用”教学设计

1.1 教学目标

本节课的教学目标如下.

（1）利用练习题，使学生精通基本不等式以及它们的变化，理解基本不等式的三个约束条件，也就是“一正，二定，三相等”.

（2）经过深入研究习题，使学生可以理解基本不等式的基本运用，并能利用这些不等式来处理基本的最大（小）值问题.教师总结出几种常见的简化求最值的方式，从而在这个过程中增强学生的逻辑推理技巧.

（3）通过解答练习题，让学生深入领悟利用基本不等式寻找最大（小）值的核心概念，进一步训练他们的观察、推断和分析运用基本不等式的全面思考技巧，感受到归纳、变换以及类比等数学概念，并且逐渐认识到波利亚解题理论对于学生的引领作用，从而增强他们的问题处理技巧．

1.2 教学重难点

本节课的教学重难点如下.

教学重点：运用基本不等式来处理基础的求最大（小）值的问题.

教学难点：采用多种策略构建基本不等式，寻找函数的最值．

1.3 教学过程

（1）知识回顾.

师：经过之前的教学，我们已经了解了几个不等式，请大家回顾一下，包括哪些不等式？

预设：学生回答，教师板书.

重要不等式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

基本不等式：a+b2 ≥ab（agt;0，bgt;0）.

以上两个式子只有当且仅当a=b时，等号成立.

【设计意图】在对基本不等式的运用进行阐释之前，对知识的复习是不可或缺的步骤，通过回顾不等式的核心概念，为接下来练习题的阐述奠定基础.

（2）理解题目阶段的教学.

问题 当xgt;0时，求12x+4x的最小值？

师：请问该如何解读这个问题？这个问题的预设条件是什么？你要怎样解？

【设计意图】教师指导学生仔细研究教材，识别教材内的已有数据以及提供的条件，清晰地定义需要处理的问题，并探索应对这些问题的策略.

（3）拟订方案阶段的教学.

师：请问题目所需的公式具备哪些独特性？对于我们来说，怎样去寻找答案？

预设回答：在这个公式中，两个数的乘积是一个恒定值，我们应该采用不等式来解决.

师：你能挑选出一种不等式来计算这个公式的最大值吗？

预设回答：如果问题中的x是一个正数，那么我们需要采用基本不等式，这个基本不等式对所有的正数都适用.

【设计意图】教师指导学生探索已有数据与未知数据之间的联系，把难题变成他们都了解的主题，以此来促进学生的思考，增强解决问题的能力.

（4）执行方案阶段的教学.

师：基于之前的分析，大家主动利用基本不等式去处理此问题，同时寻求其最小值，我们已经在黑板上实现了全部的问题处理流程.

由于x＞0，那么12xgt;0，4xgt;0，12x+4x≥212x·4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时，等号成立，也就是说，在x＞0的情况下，12x+4x的最小值是83.

【设计意图】在实施策略的阶段，首要任务是鼓励学生单独进行策略的实施，以此形成全面的思维流程，进而使他们对问题有更深入和清楚的认识，并能够更准确地运用基本不等式.^［2］然后，教师要引导学生共同编制解决策略，确保其符合标准，以此提高他们运用基本不等式的能力，帮助他们弥补知识上的不足.

（5）回顾反思阶段的教学.

教师指导学生重新审视解题的全过程，强调解题核心在于：①公式中两项的相加是固定的，可以采用基本不等式；②对题目中的已知条件进行分析，如果x是一个正数，那么我们就可以利用基本不等式来验证解答过程的完备性.

2 “基本不等式的实际应用”教学设计

2.1 教学目标

本节课的教学目标如下.

（1）利用基本不等式来处理日常生活的各种问题，并从中感受到基本不等式的实际意义.

（2）有能力从特定的问题中抽取出数值联系，然后构建一个不等式，以便处理真实的应用情况.

（3）以日常生活为基础，通过独立研究或实践互动的方式，把真实的问题变成数学问题，构建有用的数学模型，亲身经历数学建模的步骤，体验到数学与实际生活的紧密关联．

2.2 教学重难点

本节课的教学重难点如下.

教学重点：运用基本不等式来处理日常生活中的最优解问题.

教学难点：从真实的问题中提炼出数学问题的模型．

2.3 教学过程

（1）复习回顾.

师：经过先前的基本不等式的学习，我们已经具备了解决一些基本的最大（小）值问题的能力.今天，我们将通过实际案例，深入探讨基本不等式的实际应用.

【设计意图】对于习题课程的预备阶段，复习是极其关键的，这不仅能加强先前的理论掌握，也能奠定接下来的学习基础.教师需要向学生阐述，基本不等式是实际应用中处理问题的强大手段，使他们深刻理解不等式的重要性.

（2）理解题目阶段的教学.

问题 2021年6月17日上午9点22分，长征二号F遥十二运载火箭在酒泉卫星发射中心顺利地发射出神舟十二号飞船.神舟十二号的生产过程中，采用了很多优质材料，其中，甲工厂负责制造特定的零件，且保持着每小时x千克的稳定生产速率.在这个过程中，A材料每小时的消耗量达到（kx2+9）千克.我们已经知道，在每小时生产1千克的零件的过程中，会消耗10千克的A材料.如果我们计划生产m千克的零件，那么我们将消耗y千克的A材料.我们把y的数值视作x的函数.为了减少1000千克零件所需的A材料，工厂应该选择何种生产速度呢？请指明A材料的最小使用量为多少？

师：该如何解读这个题？你有可能在这里找到哪些要素？问题中的已知数量是什么？

（3）拟订方案阶段的教学.

师：请大家深思熟虑，如果我们想知道消耗物资和生产效率的联系，我们应该做些什么？

预设回答：需要计算出时间，并列出所需的时间表达式.

师：你们是否可以发现问题里的等式联系？

预设回答：y=mx（x2+9）=mx+9x.

师：如何才能在制造1000千克这个零件时，尽可能减少所需的A材料？你如何理解这句话的含义？如何将其变为数学问题？

预设回答：当m=1000时，计算y=mx（x2+9）=mx+9x的最小值.

【设计意图】处理真实问题就是将问题“具体化” “数字化”的过程.在拟订方案的阶段，需要学生寻找已有的资料，以及已知数值和未知数值的联系.针对陌生之处，学生应当再次研究课本，以此吸收知识，把陌生之处变得熟悉，有效地把现实问题变为数学问题，进一步促进数学思考，增强解决问题的技巧.在这个阶段，学生能够借助波利亚提倡的图形方式，清晰地理解各个变量的关系，从而为后续的问题处理做好预备.

（4）执行方案阶段的教学.

师：请大家思考一下，怎样才能得到最低的数字？

预设回答：假设在公式里，x与9x的乘积是固定的，我们需要使用基本不等式来计算出最小值.

师生活动：教师给出标准解答过程.

根据问题的含义，k+9=10，也就是k=1，那么制造m千克的零件所需的时间是mx.因此，y=mx·（kx2+9）=mx+9x（1≤ x≤10）.换句话说，假设一家工厂想生产1000千克的零件，所需的A材料数目应为y=1000x+9x≥1000×29=6000.当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立.所以这家工厂需要设定每小时3千克的生产速率，此时A材料的使用量最低，A材料的最小使用量为6000千克.

构想目标：通过把真实的问题细分和数值化，学生可以构造出相对简单的数学模型，也可以直观地运用基本不等式来处理问题.

（5）回顾反思阶段的教学.

教师和学生一起思考和交流，归纳出利用基本不等式来解决实际问题的步骤.

首先，在处理问题的过程中，我们需要先明确问题的性质，然后把真实的问题转变为数学上的问题，最后运用数学的理论来解答这些问题.其次，明确问题的含义，在设定参数时，通常将需要的参数定义为函数.再次，构建对应的函数公式，将真实的问题转化为最大（小）值的问题.最后，关注自变量的设置区间，并在预设的区间中计算出函数的最大（小）值.

【设计意图】“领悟”是数学的关键.“领悟”的方法是反思.对于波利亚解题理论，核心环节在于反思与回顾，教师需要引领学生深入探讨问题的思考过程，其中涵盖了对问题内涵的理解以及对其进行的剖析．

3 结语

作为高中必修课程，基本不等式的理解对于深入探讨其他的不等式以及接下来的学习过程有着重要的作用.本文以波利亚解题理论为基础，进行基本不等式课程的教学设计，使得学生在教师的指导下，对基本不等式的知识有全新的理解，培养学生优秀的解题技巧，并促进学生数学思维的发展.在真实的教学过程中，教师需要根据实际状况的差异，灵活地进行调整，适时地进行教学优化．

参考文献

［1］朱宏雷.波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用探究［J］.数学学习与研究，2024（8）：29-31．

［2］李辉.例谈波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用［J］.语数外学习（高中版上旬），2021（5）：55．