二次函数区间上的最值求参问题探究

摘要：已知含参数的二次函数在一个闭区间上有最值，求其参数问题是一类常见题型，解题的主要思路是分类讨论，由于参数的位置不同，可产生许多变化，本文中对四类经典题型的解题策略进行了分析探讨．

关键词：二次函数；闭区间；最值

我们知道，已知二次函数在闭区间上的最值求相关的参数（或参数范围）问题，有若干种类型，主要涉及到对三个参数变动情况的考查，即二次函数的开口方向、二次函数的对称轴以及对应的区间，但无论是哪种类型，解决问题的核心都是通过分析二次函数的对称轴与所给区间的关系，然后再进行适当的分类讨论并建立有关等式解决参数问题.

一般地，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间［α，β］的最值，可进行如下分析.

先考虑当agt;0时的最小值.因为二次函数图象的开口向上，其对称轴为x=－b2a，此时需分三类讨论：

①若－b2a≤α，则［f（x）］min=f（α）；

②若αlt;－b2alt;β，则［f（x）］min=f－b2a；

③若－b2a≥β，则［f（x）］min=f（β）．

而当agt;0时的最大值只需分两类讨论：

①若－b2a≤α+β2，则［f（x）］max=f（β）；

②若－b2agt;α+β2，则［f（x）］max=f（α）．

对于alt;0时的情况，可类似前面的讨论得到相应的结论，这里留给读者朋友自己探讨．

前面是一般情况下问题的理论分析，而在解决具体问题时，还可以根据顶点、对称轴、区间的具体变化情况细分为若干种特定的情况.下面给出四类比较典型例题的分析研判，为大家提供不同题型所对应的解题策略，仅供参考．

1 区间固定且开口方向确定

例1""已知函数f（x）=x2－4x+a2－2a+1在区间［0，1］上的最小值为1，求a的值．

分析：因为二次函数f（x）=x2－4x+a2－2a+1，图象开口向上，对称轴为直线x=2，所以f（x）在区间［0，1］上单调递减，故此二次函数最小值为f（1）.依题意有a2－2a－2=1，由此解得a=－1或a=3，经检验，都满足题意．

点评：此例是二次函数中一类简单的已知最值求参问题，只需比较对称轴x=－b2a与区间端点α，β的位置关系就能解决问题，特别要注意的是，必须通过回代验证才能确定所求参数值．

例2""已知函数f（x）=－x2+2ax+1－a在区间［0，1］上有最大值2，求a的值.

分析：因为函数f（x）=－x2+2ax+1－a=－（x－a）2+a2－a+1，所以函数图象的开口向下，对称轴方程为x=a.

①当alt;0时，［f（x）］max=f（0）=1－a，所以1－a=2，得a=－1.

②当0≤a≤1时，［f（x）］max=f（a）=a2－a+1，则a2－a+1=2，即a2－a－1=0，解得a=1±52［0，1］（舍）.

③当agt;1时，［f（x）］max=f（1）=a，所以a=2.

综上可知，a=－1或a=2.

点评：此题的特点是参数在二次函数式的一次式和常数项上，所以对应的二次函数图象的对称轴在移动，通过分类讨论判断对称轴所处的位置，就能确定函数所取的最值情况，由此建立关于参数的方程求出参数的值．

2 区间固定但开口方向不确定

例3""已知二次函数f（x）=ax2－2ax+3在［－2，3］上有最大值4，求a的值．

分析：依题意知a≠0，f（x）=a（x－1）2+3－a，其函数图象的对称轴为直线x=1，且1∈［－2，3］.

当agt;0时，抛物线开口向上，所以函数的最大值为f（－2）=8a+3.由8a+3=4，得a=18.

当alt;0时，抛物线开口向下，所以函数的最大值为f（1）=3－a.令3－a=4，得a=－1.

当a=0时，f（x）=3，不合题意．

综上可知，a=18或a=－1．

点评：此题的特点是二次函数的二次项系数含有参数，故先要对二次函数图象开口方向进行分类讨论，即对a分三类讨论来解决，然后结合对称轴的位置确定函数的最大值，最后得出结论．

例4""已知函数f（x）=|x2－2x－t|在区间［0，3］上的最大值为2，求参数t的值.

分析：先采用分类讨论的方法去掉绝对值符号，再由二次函数的性质求t的值，这是一个常规思路，但求解过程肯定非常繁琐.注意到二次函数y=x2－2x－t的一个极值点x=1∈［0，3］，且x=1也是函数f（x）=|x2－2x－t|的一个极值点，所以f（x）在［0，3］上的最大值只可能在x=0，1或3时取得，于是［f（x）］max=maxf（0），f（1），f（3），这样，就可以赋值，再由f（0）=2，f（1）=2，f（3）=2解出t的值，然后逐一检验，即可得出满足条件的参数t=1.

点评：已知函数表达式，欲求其中的参数，赋值法是最基本的解题措施，但本题中是已知函数在某个区间上的最值，需重点分析何时能够取到最值，这是解题的核心.

3 区间固定但开口方向和对称轴都变动

例5""已知函数f（x）=ax2－2x+1在区间［0，1］上有最小值为－1，求a的值．

分析：由于本题中的抛物线开口方向不确定，因此首先需要讨论二次项系数，然后再对称轴移动的不同情况进行二级讨论.

（1）当a=0时，f（x）=－2x+1，此函数在［0，1］上单调递减，所以［f（x）］min=f（1）=－1，所以a=0满足题意.

（2）当agt;0时，二次函数f（x）=ax2－2x+1图象的开口向上，且对称轴为直线x=1a.

①当0lt;1a≤1，即a≥1时，f（x）图象的对称轴在［0，1］内，所以f（x）在[JB（/0，1a[JB）］]上单调递减，在[JB（/1a，1[JB）］]上单调递增，则［f（x）］min=f1a=－1a+1．由－1a+1=－1，得a=1/2，满足题意.

②当1agt;1，即0lt;alt;1时，f（x）图象的对称轴在［0，1］的右侧，所以f（x）在［0，1］上单调递减，则［f（x）］min=f（1）=a－1．由a－1=－1，得a=0，不合题意，舍去.

（3）当alt;0时，f（x）图象的开口向下，且对称轴x=1alt;0，即在y轴的左侧，所以函数f（x）在［0，1］上单调递减，则［f（x）］min=f（1）=a－1．由a－1=－1，得a=0，也不合题意，舍去．

综上可知，a=0或a=1/2．

点评：由于区间确定、对称轴与开口方向都可变的函数最值问题是一类非常复杂的问题，一般情况下，需要对开口方向和对称轴进行两级讨论，分类标准必须清晰合理．

例6""已知函数f（x）=ax2+（2a－1）x+1在区间［－1，1］上的最大值为2，求a的值．

分析：当a=0时，函数f（x）=－x+1，在区间［－1，1］上单调递减，而f（－1）=2，满足题意.

当a≠0时，此二次函数的最值只能在区间端点或函数图象的顶点处取得．

①令f（1）=2，则a+（2a－1）+1=2，得a=23，此时f（x）=23x2+13x+1，对称轴为直线x=－14，所以在x=1处取最大值，故a=23符合题意；

②令f（－1）=2，于是a-（2a－1）+1=2，得a=0，不合题意；

③令f1－2a2a=2，于是可得1－4a+4a24a+（2a－1）（1－2a）2a+1=2，化简得4a2+1=0，此方程无解.

综上可得，a=0或a=23．

点评：本题如果先讨论开口方向，再讨论对称轴，那么解题过程可能非常复杂，而此解法是从整体上考虑，按照何时能够取得最大值的思路，大大降低了问题思考的难度和缩减了分类讨论的过程．

4 二次函数的图象确定而区间变动

例7""已知函数f（x）=|x2－2x－1|在动区间［0，a］上的最大值为2，求实数a的值.

分析：易知函数f（x）=|x2－2x－1|的图象是将二次函数y=x2－2x－1的图象在x轴上方的部分保持不变，而x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方去.通过画出图象分析可知（图略），当0lt;alt;1时，函数在动区间［0，a］上取不到最大值2；当1≤a≤3时，在动区间［0，a］上，当a=1或a=3时，函数取得最大值为2；当agt;3时，在动区间［0，a］上函数的最大值为f（a），此时f（a）gt;2，不合题意.所以，满足条件的实数a的值为1或3.

点评；该题中由二次函数的图象容易画出函数f（x）的图象，因为动区间随着参数a的变化而变化，所以对参数进行讨论分析，容易得到函数取最大值2时的特殊位置.由于只有一个可变参数，因此问题的难度不大，抓住何时取最大值的条件就容易解决了．

例8"设函数f（x）=x2－2x+2，若x∈［t，t+1］，且f（x）的最小值为5，求t的值．

分析：因为二次函数f（x）=（x－1）2+1，所以函数图象的对称轴为直线x=1.

当t+1lt;1，即tlt;0时，函数图象如图1所示，可知函数f（x）在区间［t，t+1］上为单调递减，所以［f（x）］min=f（t+1）=t2+1.由t2+1=5，得t=－2满足题意.

当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，

函数图象如图2所示，在对称轴x=1处取得最小值，则［f（x）］min=f（1）=1，不合题意.

当tgt;1时，函数图象如图3所示，函数f（x）在区间［t，t+1］上为增函数，所以［f（x）］min=f（t）=t2－2t+2.由t2－2t+2=5，得t=3满足题意.

综上，t=－2或t=3.

点评：本解法抓住了区间端点与抛物线顶点位置关系进行讨论，利用函数在所对应区间内的单调性，找到对应的最小值，这就是解决二次函数最值问题的通性通法．

在某些具体问题中，由于条件和待求的结论不同，因而会出现各类不同类型的题目，在解题过程中，要在通法的基础上抓住特点，建立符合题目条件的解题思路，从而确定精准、简洁、实用的求解方案，体现出简化思维、精确思考的数学素养．