“数轴模型”在小学低段数学拓展课中的构建与应用

【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题.“数轴模型”是一种数形结合方式.文章根据“数轴模型”既能帮助学生从直观层面上理解数的含义、理清数与数之间的关系，还能帮学生理解运算意义、明晰数量关系等四个维度分别拓展了四个案例，旨在通过这四个案例的剖析，让教师可以借鉴思路，创造更多能利用“数轴模型”解决问题的拓展课，从而将数形结合的思想有效渗透到学生的头脑中，提高学生的核心素养.

【关键词】“数轴模型”；小学数学；低段数学；拓展课；应用

现实世界中，数与形不可分割地结合在一起，数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要.数轴作为数形结合的一个典型代表，真正意义上实现了数与形的第一次“联姻”，使数与直线上的点建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础.张丹教授曾在《义务教育课程标准（2022年版）课例式解读小学数学》中说过：“在小学不出现严格的数轴，而是替代为多种多样学生可以理解的形式.”因此，小学阶段会以数尺、数线等形式出现，不管是何种形式出现，这些形式本质是与“数轴”一样的，笔者就称其为“数轴模型”.

一、“数轴模型”在小学低段数学拓展课中应用的意义

数轴是一种高度抽象的数学符号，也是一种特定的几何图形.数轴上有点，每个点对应一个数，可以直观地呈现数的顺序以及数与数之间的大小关系；数轴上有间隔，每个间隔大小就是相应两个数之间的相差数；数轴有方向，规定右边为正，越往右数越大，越往左数越小.数轴不仅能够让学生在认识“它”时，直观理解数的基数含义、序数含义、大小比较，还能通过数轴帮助学生理解运算的意义.因此，“数轴模型”的构建与应用对于低段学生学习数学有着深远的意义.

顺应时代、学生对教育的需求，“拓展”一词在教育界使用频率越来越高.新课程提倡的“用教材教”，意在让教师创造性地使用教材来培养学生的核心素养和学习能力.因此，以“数轴模型”作为“拓展点”，对“数轴模型”在学生头脑中的构建进行有效拓展，使学生因拓展而学有所获，学有乐趣.

二、“数轴模型”在小学低段数学拓展课中的实施策略

借助“数轴模型”，让学生对“数”的理解更丰富、“运算”的条理更清晰，让学生对数形结合思想的种子深埋智慧的根基.“数轴模型”在小学低段数学拓展课中的实施应遵循以下几方面：

（一）数线结合，感知一一对应

动手动脑的结合，会令学生的记忆更加深刻.所以笔者在设计起始课时，采用让学生自己动手的操作过程中建立起始概念，动手操作中加深对数与形一一对应的理解.

案例1

任务一：请你在一条数轴上标出0，4，7，10这些数.

活动要求：

（1）想一想：如何在数轴上标记出上面哪些长度；

（2）标一标；

（3）说一说：你是如何进行标记的.

反馈要点：

（1）追问：为什么这两个点分别叫4和7呢？

（2）肢体操作：比画0到4的长度，0到7的长度.

（3）追问：7比4多，多出来的在哪里？请指一指.

任务二：请你在一条直线上标出0，2，5，10这些数.

活动要求：

（1）分一分：确定多少的1小段代表几；

（2）标一标；

（3）说一说：你是怎样标出来的.

设计意图 如果在教学完10以内的数的认识之后，给学生出示数轴，让学生填数轴上的数字，那么这条数轴的作用，只是一种摆设，与直接出示一组数“0，1，2，3，4，□，□，7，8，□，10”让学生填空的作用是一样的.为了更好地调动学生的思维，帮助学生把数与形对应起来，通过案例中的2个任务达到以下3个目的：

1.感知“数轴模型”上点与数一一对应的本质

数轴上的点表示一个数，这个数实际上是从序数层面上理解的，因为数在数轴上是有顺序的，学生能从直观上感受到每个数的位置，达到序数与点的对应.在教学这节课之前，学生应该对数轴已经有了初步的认识了，因为刚入学不久，数轴以数尺形式跟学生已经有了第一次接触.学生已经能够根据已有经验完成任务一的填写.

2.感知“数轴模型”上线与数一一对应的本质

这节课的任务一，承载的重要任务便是让学生理解线与基数的对应关系.在反馈任务一时，教师指出这条数尺的开始在哪呢？把0和数轴的开始这点对应了起来.再让孩子们指出数尺上的4在哪？7呢？为什么这两个点分别叫4和7呢？在师生互动中，让学生明白，是因为4这个点离0（起始点）只有4条线段，而7这个点离0（起始点）有7条线段，再从0摸到4这个点，感受一下这里的4条线段有多长，从0摸到7这个点，感受一下这里的7条线段有多长，再将自己的体会与大家交流.

3.感知“数轴模型”上等距的意义

任务二的设计，便是让学生在操作中感悟等分线段的重要性，等距意味着单位长度的建立.任务二建立在任务一基础上，学生只要突破均匀分段，第二个任务的难度就迎刃而解了.学生在尝试分段中，锻炼了动手能力，在数与形关系的感知上也会更深刻.

（二）数线结合，寻找数数关系

学生对“数”的意义的理解，不仅包括了他们对基数、序数的理解，更是对数的大小的感知，而对数的大小是否感知，则是通过此数与彼数的关系的刻画是否精准来衡量的.接下来的这个案例，笔者对数轴进行变身，利用“数轴模型”试图让学生在游戏中精准感知数的大小来丰富对“数”的意义的理解.

活动要求：

（1）想一想：如何在图片中标出上面那些数字；

（2）标一标；

（3）说一说：你是怎样标出来的.

任务二：你能根据数线上的信息，找到打开宝箱的密码吗？在宝箱上填入正确的数，即可打开.

活动要求：

（1）想一想：怎样在图片中标出上面的数字；

（2）标一标；

（3）说一说：你是如何标记的.

设计意图 与10以内数相比，100以内的数则是大数，想丰富大数在学生头脑中的建构，虽然给数轴变了身变成了一条数线，但是不管是标准的数轴，还是变化后的数线所起到的作用都是一样的，那么这个设计达到两个目的：

1.借助一个数的位置，推测出另一个数的位置

第一个任务让学生在紧张的寻宝游戏中明白数线上的点与数是一一对应的，可以借助一个数的位置，用不同的数格子方法，推测出另一个数的位置.比如任务一中，学生推测58的位置，教师让学生思考从38开始数，还是从64开始数，几个几个数比较好？学生推测84的位置，教师要追问：为什么84在80和88的中间位置？

2.根据两数之间数线的长短，确定另一个数的位置

第二个任务让学生体会到即使没有格子图作背景，也可以根据两个数之间数线的长短关系来确定另一个.比如在任务二中，学生推测19前面的数，可以根据19与20之间的长度，来确定19前面有几个那样的长度，从而判断出来.

（三）数线结合，理清运算算理

数轴上的点往左边移动一个单位长度，那么数就减少1个，往右移动一个单位长度，那么数就增加1个，这种特点就与加减法联系了起来；数轴上的点如果几个单位几个单位地移动，这就会涉及乘除法.新课程倡导运算教学既要让学生掌握抽象的法则，又要让学生在直观中理解算理，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的演变过程.那么，如何“循理入法，以理驭法”并实现“法理相融”呢？在这个过程中，可以借助“形”的桥梁作用.笔者意图通过下面两个案例，来说明运用“数轴模型”的优势.

案例3 任务一：说乘法口诀.

活动要求：

（1）想一想：通过观察数轴上的数字，你能想到哪一条乘法口诀？数轴上的各个点，分别表示什么？根据数轴上其他的点所代表的数字，你能想到哪句乘法口诀？

（2）说一说：将想到的乘法口诀与同桌进行交流.

任务二：编乘法口算.

活动要求：

（1）分一分：请你在画好的数轴上进行等分，并在每个点下面写好对应的数字.

（2）考一考：与同桌进行互动，考考他其他点分别可以想到哪些乘法口诀？

设计意图 这个游戏让学生在玩中明白这种“等距离”累加，其实就是相同加数连加的乘法本质，使学生清楚地认识乘法口诀中每个乘积的来源，理解相邻两个积之间的等差关系.数轴不仅可将抽象的“数”直观化，更有助于学生理解运算，将运算形象化.同时瓦解了学生脑海中“一条线段代表1”的固有思维.

（四）数线结合，明晰数量关系

“数轴”就像“水源”，教师可以通过数形结合带给学生解决问题的思路、方法和策略，让学生面对新问题、新挑战时，心中有“招”.下面的案例解决“移来移去”这类拓展题，让学生感受到用数轴解决此类问题的优越性.

案例4 任务一：多多设计了一种乐器，上面有同样多的黑色按键与白色按键，琪琪偷偷拆下4个黑色按键，换成白色按键装了上去，现在乐器上白色按键比黑色按键多几个呢？

活动要求：

（1）画一画：请你在画好的数轴上表示出他们现在和原来的关系；

（2）列一列：根据图示列出算式.

反馈解析：

原来一样，说明两种键都在同一个点上，现在黑色少了4个，那就是黑色向左退了4个单位长度，白色多了4个，说明白色向右前进了4个单位长度.这时候白色领先黑色4+4=8（个），所以白色多了8个.

任务二：多多和然然拔萝卜，多多比然然多拔了10根，然然不开心了，多多送给然然1根萝卜，那么现在谁的萝卜多？多几根？

活动要求：

（1）画一画：请你在画好的数轴上表示出他们现在和原来的关系；

（2）列一列：根据图示列出算式.

反馈解析：

原来多多比然然多10根，说明原来他们两人的距离是10，多多排右边，然然排左边，后来多多少1根，说明多多要先左后退1个单位长度，然然多1根，说明然然要向右前进1个单位长度，从图中发现这时多多与然然的距离是10-1-1=8（格），多多排右边，说明多多的萝卜多.

设计意图 因为数轴上的点、线、箭头都赋予了特定的意义，问题情境中的每个数都准确地在数轴上找到位置，这个问题就变得非常直观.如果多（加）了一个数，那么这个点往右边移动一部分，如果少（减）了，那么这个点往左边移动一部分.所以“移来移去”这类题与“数轴模型”进行融合，既能让学生体会到解决问题原来是那么轻松，还能让学生体会到数轴的大功用，体会到数变形的妙处，从而丰富了学生的解题策略.

三、“数轴模型”在小学低段数学拓展课中的实践成效

（一）形成了以“数轴模型”为载体的小学低段数学拓展课框架

对“初识数轴”单元设置《我会等分》《我会标数》等课题，其中针对等分知识，教师需引导学生学会利用直尺画直线，并具备一定的等分能力.对标数学习，教师应引导学生认识10以内的数字.

对“创造数轴”单元，教师可设置《我会找数》课题，并分为两个阶段，第一阶段则是学习教材前面两节拓展课；第二阶段为学习100以内的各个数字.

对于“巧用数轴”单元，教师可设置《我会找加法》课题，主要目标是让学生学习加法的意义；设置《我会找减法》课题，引导学生了解减法的意义；设置《我会找乘法》课题，促使学生熟练掌握乘法口诀及其意义；设置《我会找除法》课题，促使学生能够明白除法的意义；设置《我会解决问题》课题，引导学生能够自行解决量的增减等类型题目.

（二）“数轴模型”教学为学生理解数量带来了直观

数本身是抽象的，把抽象的“数”纳入形象的“形”系统里，学生对“数”内容的理解更丰满了；学生通过经常性地在数轴上填数、估数，理解了这些数系统相互联系的方式，学生的数感也加强了.

（三）“数轴模型”教学为学生解决问题提供了方法

数学说到底是“画”出来的，把语言文字转化为一定的图形，最后转化成运算符号，算出所要的结果.因为学生长期数与形链接的训练，学生在解决问题中潜移默化地运用了“画”的方法，提高了解决问题的正确率.

结 语

综上所述，数轴以其直观的形式、贴近学生的认知、揭示数的本质等优势成为学生认识数和理解数的有效而必要的学习材料.因此，教师要深入研究，充分挖掘数轴教学的价值，创造出更多、更好的教学资源，让学生的核心素养得到提升.

【参考文献】

[1]金妤茜.小数轴大功用[J].数学学习与研究，2017（15）：69.

[2]黄挺艳.小学数学数形结合教学策略[J].名师在线，2023（19）：86-87.

[3]余忠花.数轴在小学数学估算教学中的实践与运用[J].智力，2022（36）：92-95.