小学数学教学中引进“尺规作图”的实践性研究

【摘要】尺规作图是指用圆规与无刻度直尺绘制几何图形，具有深化学生几何认知，锻炼学生几何分析与操作能力的教学价值.在小学数学教学中引进尺规作图，可进一步丰富教学内涵，促进学生综合提升.论述了尺规作图的概念及其发展史，分析了小学数学教学中引进尺规作图的实践价值，同时结合具体教学案例探讨尺规作图引进策略，指出教师可通过多元表征、问题引导、合作讨论、应用拓展、评价反馈引进尺规作图，以期为丰富小学数学课堂教学内容、促进学生综合发展提供参考.

【关键词】小学数学；尺规作图；引进；策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）建议：“通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系.”将尺规作图引进小学数学教学，顺应《新课标》背景下的小学数学教学改革趋势，有利于学生对几何知识的深入理解与灵活应用.教师应认识到尺规作图的实践教学价值，同时基于小学数学几何教学要求、学生发展特征合理组织教学活动，为尺规作图的有效引进奠定基础.

一、尺规作图的概念及其发展史

顾名思义，尺规作图指的是利用圆规与无刻度直尺绘制几何图形.《新课标》明确尺规作图教学内容，如用尺规作图作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段等.根据《新课标》，尺规作图可被视作一种辅助教学手段，用于训练学生的几何绘图、直观联想、逻辑推理等能力.在教育研究领域，任意一种辅助教育手段都是在历史的不断发展中产生与完善的，尺规作图也不例外.纵观数学史，尺规作图的诞生与发展主要经历了以下几个阶段.

第一，兴起阶段.尺规作图最初出现在希腊数学史中，以无刻度的直尺和圆规为主要工具.其中，无刻度直尺可用于绘制无限长的直线，圆规可基于定点绘制不同大小的圆或圆弧.将二者结合使用，可以绘制出许多组合图形.

第二，发展阶段.欧几里得在《几何原本》中提出尺规作图的公设，如：过两个不重叠的点可以确定一条线段；将一个点作为圆心，用一条半径可确定一个圆.

第三，延伸阶段.尺规作图方式在不断发展过程中得到广泛应用，有数学家在研究尺规作图时发现更多问题，如：是否可以应用尺规作图在有一已知圆的基础上做出与之面积相等的正方形；是否可以应用尺规作图对任意一个确定的角进行三等分；是否可以应用尺规作图在有一已知立方体的基础上作出体积为其两倍的另一立方体.

目前，尺规作图已经成为义务教育数学课程教学内容的一部分，一般被用于几何知识的教学过程.教师多将尺规作图视作一种教学工具，通过呈现尺规作图案例、演示尺规作图过程逐渐引出几何教学内容.

二、小学数学教学中引进尺规作图的实践价值

（一）有益于发展学生的几何思维

通过尺规作图，可以直接展示线段、角、圆等几何图形的特征，从视觉方面引发学生对几何图形特征、性质的直观认识，激活学生的几何直观思维.在小学数学教学中引进尺规作图，可以增多学生几何观察的学习机会，使其在直观分析的过程中明确几何概念的具象表现，拉近学生与几何教学内容的距离，为其几何思维的发展营造良好氛围.除此之外，小学数学教学中指导学生应用尺规作图按照要求绘制线段、角及其他几何图形，有利于学生反思图形的外部特征及内部性质，进一步深化学生对几何概念、原理的理解，提高学生的空间想象能力.

（二）有益于锻炼学生操作能力

尺规作图要求用无刻度直尺、圆规作图.其中，无刻度直尺的应用要注意选择明确的点作为起点和终点，要注意将起点和终点对准无刻度直尺的边缘，保持直尺的位置不变，用铅笔沿直尺的边缘缓慢滑动，绘制出一条直线.圆规的应用要注意控制圆规两脚之间的距离，将带有针的一端固定在一个地方，作为圆心，将带有铅笔的一端旋转一周，使其在纸上画出圆.在小学数学教学中引进尺规作图，可为学生提供更多无刻度直尺、圆规的操作机会，使学生在学习绘图工具的使用方法、应用工具按要求绘制几何图形的过程中提升无刻度直尺、圆规的操作能力.

（三）有益于提升学生推理能力

义务教育阶段的尺规作图教学内容主要围绕“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作已知线段的垂直平分线”“已知三边作三角形”“已知两角一边作三角形”等问题展开.在小学数学教学中引进尺规作图，势必要让学生参与到相关问题的研究中.以“作一条线段等于已知线段”教学为例，作图之前，学生必须在脑海中构思绘图的步骤、策略及方法，在明确图形具体位置、大小后才能真正动手绘制.这一过程中，学生需要运用类比、推理等方法解决尺规作图问题，久而久之有益于提升学生的推理能力.

三、小学数学教学中引进尺规作图的实践策略

（一）多元表征，强化尺规作图认识

1.语言描述，说明尺规作图含义

小学数学教学中引进尺规作图应以“是什么—为什么—怎样做”为基本思路.其中，指导学生明确“是什么”是有效引进尺规作图的前提.教师应整合教材内外的理论资源，梳理相应知识点并组织语言，系统说明尺规作图的定义、工具、作图步骤及其用途，帮助学生对尺规作图形成大致认识，为后续的探究教学、操作教学等奠定理论基础.

以人教版二年级上册“角的初步认识”一课教学为例.组织学生用尺规作图绘制角之前，教师可组织“尺规作图”专题讲解活动，在活动中对主要知识点加以概括说明：①尺规作图指的是用无刻度直尺与圆规进行图形绘制的一种绘图方法，具有精确、规范、简洁的特性.②尺规作图以直尺、圆规为主要工具，且绘图过程中直尺与圆规不能交叉使用.其中，直尺用于画直线段，圆规用于画圆或弧线，有两个针脚，一端固定在圆心上，另一端用于放置笔芯.这样，通过系统讲授概念、定义、绘图工具及其用法，指导学生形成大致认识，为其后续利用尺规作图绘制角奠定基础.

2.动画演绎，展示尺规作图特征

小学阶段学生具备观察现实事物并概括其几何特征的能力，但在学习抽象的数学公式、概念方面存在困难.小学数学教学中引进尺规作图，教师需要根据学生的认知特征调整教学内容.教学中，教师可以应用多媒体课件、微课视频等信息化教学工具，直接展示尺规作图的步骤、细节和成果；教师也可以用演绎教学方法，直接应用圆规、无刻度直尺在黑板上演绎尺规作图的全过程.通过多元表征让学生直接观察尺规作图的步骤、方法及细节，从根本上强化学生的作图认识.

以人教版二年级下册“图形的运动（一）”一课教学为例.教师可以在讲解轴对称部分内容时引进尺规作图，借助Flash动画直观演绎绘制已知图形轴对称图形的过程（如图1），强化学生认识.

这样，运用Flash动画直接演绎测量距离、定点、连线的过程，使学生认识到利用无刻度直尺与圆规也可完成轴对称图形的绘制，开阔学生几何学习视野，引发学生对尺规作图的直观认识.

（二）问题引导，激发自主探究意识

《新课标》提倡借助真实问题驱动学生联系已掌握的数学知识、现实生活经验自主探究，使学生进一步认识真实世界，形成解决问题的能力.小学数学教学中引进尺规作图，应以《新课标》为参考，通过提出问题引导学生探究尺规作图的含义、方式方法等，为学生真正掌握相关内容奠定基础.为此，教师可分析教学内容，围绕尺规作图教学重点、难点设置具有启发性的教学问题，并在课上提问，由此激发学生的自主探究意识.

以人教版四年级上册“角的度量”一课教学为例.此课教学重点在于让学生理解角的含义，能画制定度数的角，掌握角的画法.此课引进尺规作图，可将重点放在“如何绘制与已知角等大的角”这一问题上.由此，教师可以提出问题，引导学生深入探究：现有∠AOB，如何不用量角器绘制一个与∠AOB等大的角？你是怎样思考的？这一问题与“作与已知直线相等的直线”有怎样的关系？借助问题序列引发学生的联想，使其回顾用尺规作图“作与已知直线相等的直线”的全过程，并提出猜想，如：是否可以用尺规作图绘制与已知角等大的角？在学生提出关键性设想时，教师可趁热打铁，继续追问：那么尺规作图时要注意哪些问题？需要定点么，怎样定点？这样，通过提问、追问引导学生深入探究尺规作图的方法，为学生进一步掌握尺规作图的方法、技巧奠定基础.

（三）合作讨论，增强尺规作图认知

与直接应用刻度尺、三角板、量角器绘制图形不同，尺规作图需要学生根据作图要求预设作图方案，并严格执行方案绘制图像，解决数学问题.缺乏猜想、推理能力，很难完成尺规作图学习任务.为此，教师可在引进尺规作图时组织合作讨论教学活动，由推理能力强的学生带动推理能力弱的学生去猜想、推理、绘图，使学生在相互交流、相互讨论的过程中完成知识的传递，使所有学生都能在合作中得到提升.

以人教版四年级上册“平行四边形和梯形”一课教学为例.为使学生在此课教学中充分掌握尺规作图的基本步骤与技巧，教师可组织讨论活动，要求学生以小组为单位合作完成绘图要求，并在交流、讨论的过程中总结绘图方法.比如，教师可以设计探究任务：如何用尺规作图绘制平行四边形？由此任务驱动学生合作讨论，如：我认为可以通过尺规作图绘制两组分别平行的直线，将其拼成一个平行四边形；我认为可以先用无刻度直尺绘制一条直线，再利用圆规确定两条直线平行的距离，确定关键点，再用无刻度直尺连接关键点，得到一组平行线.讨论中，势必有学生缺乏联想能力，无法理解组内其他学生的想法.这时，教师可参与其中，引导思维能力强的学生帮助思维能力弱的学生，通过直观演绎、说明原理等方式展现利用尺规作图绘制平行四边形的过程，强化学生认知体验.在此基础上，教师可帮助学生总结绘图技巧，如：一是用无刻度直尺画线，二是利用圆规画圆弧定点.

（四）应用拓展，培养实践操作能力

小学数学教学中引进尺规作图，不仅要将教学重点放在作图方法、技巧的讲解上，还要重视练习教学，通过为学生提供更多实践操作机会，使学生的绘图能力得到提升.为此，教师可组织应用拓展教学活动，聚焦小学数学教材及教辅资料，提炼难度适中且能充分锻炼学生尺规作图能力的数学问题.之后，通过板书问题、布置任务等多种方式组织学生应用无刻度直尺、圆规进行绘图，使学生在动手操作的过程中提升几何直观能力与空间想象能力.

以人教版四年级下册“三角形”一课教学为例.为使学生在实际操作过程中提高尺规作图的技能，根据条件作出三角形，教师可在课程教学中组织应用活动，驱动学生在解决教材内外习题的过程中积累经验，提升技能.比如，教师可基于教材中的“作已知线段的等长线段”“作已知角的等大角”等习题组织拓展练习：已知三角形的两边及其夹角，要求应用尺规作图作这个三角形.由此驱动学生应用无刻度直尺延伸已知角的两边，应用圆规两脚作测量工具测定两边长度，并以角的顶点为圆心画圆弧定点，得到三角形.这样，通过练习开阔学生的画图视野，使学生认识到尺规作图应用的多样性，同时提高学生的实践操作能力.

（五）评价反馈，帮助学生反思提高

发挥教学评价的检验、指导等教学功能，是指导学生认识自身不足，解决自身学习问题的关键.小学数学教学引进尺规作图时，教师可灵活应用教学评价检验、评判学生的学习情况，并指出学生的学习不足，帮助学生认识自身问题并改正.为此，教师可提前设置教学评价标准，并以此为参考在教学中落实教师点评.完成教学评价后，教师可以帮助学生根据评价结果调整自身的尺规作图学习方案，帮助学生查漏补缺，提高学生的理论与实践能力.

以人教版五年级下册“图形的运动（三）”一课教学为例.将尺规作图引进此课教学，重点在于指导学生利用圆规与无刻度直尺画旋转图形.基于教学重点，教师可预设评价标准，用于评判学生是否在课堂学习中达到预期，如：学生是否能找到构成图形的关键点；学生是否能确认有关旋转的要素，如旋转中心、旋转方向和旋转角度；是否能以旋转中心为圆心，以旋转中心到各关键点的距离为半径画圆弧；是否能以旋转中心为顶点，通过各个关键点作射线，并与圆弧相交；能否根据图形关键点和大小画出旋转后的图形等.明确评价标准后，教师可观察学生的绘图行为表现，判断学生是否有意愿探究尺规作图的方法，是否有能力完成尺规作图的任务等.这样，通过落实客观点评帮助学生认识到自身在尺规作图方面的不足，为学生反思并解决自身问题，持续提高尺规作图能力提供参考.

结 语

综上所述，指导学生应用圆规与无刻度直尺进行尺规作图，可以加深学生对几何知识的认识，对于发展学生的几何直观、逻辑推理、实践操作能力有着积极意义.小学数学教学中，教师应明确尺规作图的内涵，挖掘小学数学教材中的尺规作图教学要素，并结合学生的发展特征组织相应活动，引领学生逐渐掌握尺规作图的概念、方法及原理.在组织教学实践活动时，教师还应灵活应用教学方法，如多元表征法、问题导向法、讨论教学法等，通过灵活应用教学方法营造开放、生本的教学课堂，由此强化学生尺规作图体验，促进学生能力持续提高.

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