二次三项式在求解高中物理最值问题中的应用

摘 要：通过描述二次三项式的基本概念与二次函数，详细分析叠加场、平抛运动等多个物理实例，探讨二次三项式在高中物理最值问题求解中的广泛应用，阐述如何利用二次三项式的性质和求解方法，巧妙地解决涉及速度等最值问题，期望能为学生的学习提供帮助.

关键词：二次三项式；高中物理；最值问题

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0115-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：秦言涛（1979.10—），男，江苏省沛县人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.

基金项目：徐州市教育科学规划课题“基于‘综合实践力’培养的高中物理跨学科教学策略研究”（编号：GH14-23-L116）.

在高中物理的学习中，最值问题是一类常见且重要的题型.这些问题往往涉及物理概念、规律和数学方法的综合运用.二次三项式作为一种常见的数学表达式，在求解这类最值问题时发挥着关键作用^[1].通过将物理问题转化为数学模型，利用二次三项式的相关知识，可以更加准确和高效地找到问题的最优解.

1 二次三项式的基本概念与二次函数

二次三项式通常表示为ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0.根据这个形式自然会想到二次函数，若设y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0），可根据二次函数的知识解决最值问题.当agt;0时，二次函数的图象开口向上，有最小值；当alt;0时，图象开口向下，有最大值.函数的最值可通过顶点坐标（-b2a，4ac-b24a）求得.

2 叠加场中速度的最值问题

例1 如图1所示，带电荷量为+q、质量为m的小物块A以v0的初速度从光滑绝缘的足够高的高台边缘水平飞出.已知高台边缘右侧整个空间内存在着场强大小E=3mgq、水平向左的匀强电场，g为重力加速度.下列选项正确的是（" ）.

A.小物块不可能碰到高台边缘

B.小物块肯定会碰到高台边缘，碰前小物块加速度不变

C.小物块距高台边缘的最大水平距离为v206g

D.运动过程中小物块速度的最小值为10v010

解析 由于高台右侧足够大，小物块进入电场后在水平方向先向右做匀减速，速度减为零后向左做匀加速运动，所以肯定会碰到高台边缘，且在运动中小球受到重力和电场力，合力恒定，则加速度恒定，所以相碰前小物块在做匀变速运动，所以A选项错误，B选项正确.小物块水平向右做匀减速过程，qE=ma，E=3mgq，联立解得a=3g，当向右速度减为零时，距高台边缘水平距离最大，根据速度位移公式，可得xm=v202×3g=v206g，故C选项正确.

小物块水平方向分速度为vx=v0-3gt，竖直方向做自由落体运动，竖直分速度为vy=gt，合速度为v=v2x+v2y=（v0-3gt）2+（gt）2=10g2t2-6gtv0+v20，令y=10g2t2-6gv0·t+v20，根据二次函数知识，当t=3v010g时，y有最小值，v有最小值为v=10v010，故D选项正确.

点评 本题D选项中，要求解小物块运动过程中的最小速度，而v=v2x+v2y=（v0-3gt）2+（gt）2=10g2t2-6gtv0+v20，根式下是关于t的二次三项式，而速度随时间的变化而变化，可根据二次函数最值的求解方法求速度的最值.

3 平抛运动中水平位移的最值问题

例2 如图2，竖直半圆轨道AC与水平平台AB在A点平滑连接，平台AB右侧在B点与长为L=4 m的水平传送带BD无缝对接，平台AB和半圆轨道AC均光滑.质量为m1=0.3" kg和m2=1" kg的两个小物体中间夹有一轻质弹簧，用细绳将两小物体连接起来，开始时处于压缩状态.已知传送带向左以v0=1.5 m/s的速度匀速运动，传送带与小物体间的动摩擦因数μ=0.15.当某时刻剪断绳的瞬间，小物体m1以v1=10 m/s的速度向左运动，小物块m2以v2=3 m/s的速度向右运动.g取10 m/s2.求：

（1）从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的时间；

（2）从小物体m2滑上传送带到第一次滑离传送带的过程中，电动机为维持传送带匀速运动而多消耗的电能E；

（3）为了让小物体m1从C点水平飞出后落至AB平面的水平位移最大，求竖直光滑半圆轨道AC的半径R和小物体m1平抛的最大水平位移x的大小.

解析 （1）m2的加速度a=μg=0.15×10 m/s2=1.5 m/s2，匀减速到零的时间t1=v2a=2 s.

发生的位移x1=12at21=12×1.5×22 m=3 mlt;4 m，则m2先向右减速至速度为零，后向左加速至速度为v0=1.5 m/s，所用时间为t2=v0a=1 s，此时位移x2=12at22=0.75 m，则此后向左匀速运动的时间为t3=x1-x2v0=1.5" s，故总时间为t=t1+t2+t3=4.5 s.

（2）m2与传送带速度相等之前的过程中，传送带运动的距离x带=v0（t1+t2）=4.5 m，电动机多消耗的电能为E=μm2g·x带=0.15×1×10×4.5 J=6.75 J.

（3）设AC的半径为R时，m1做平抛运动的水平位移最大为x，从A到C过程中，由动能定理得-m1g2R=12m1v2c-12m1v21，由平抛运动的规律有x=vct，2R=12gt2，联立整理得x=210R-4R2，令y=-4R2+10R，根据数学知识可知，当R=-102×（-4）m=1.25 m时y最大，即R=1.25 m时水平位移最大，最大值为x=210R-4R2=210×1.25-4×1.252m=5 m.

点评 本题第（3）问中，要求解小物体m1平抛的最大水平位移x的大小，根据物理规律解得x=

210R-4R2，根式下是关于R的二次三项式的形式，令y=-4R2+10R后，根据二次函数的方法求解y的最大值，进而得出水平位移x的最大值.

4 电源输出功率的变化问题

例3 如图3所示电路中，电源内阻不能忽略，电流表A1、A2和电压表V均为理想电表.当滑动变阻器R2滑片向左移动时（" ）.

A.电流表A1示数增大

B.电流表A2示数减小

C.电压表V的示数减小

D.电源的输出功率可能减小

解析 根据电路图可知：电阻R1和滑动变阻器R2并联，通过R2的电流用电流表A1测量，干路的总电流用电流表A2测量，R2两端的电压用电压表V测量.当R2的滑片向左移动的过程中，R2的阻值逐渐减小，由1R总=1R1+1R2得：整个外电路的总电阻R总逐渐减小，而电源内阻是不变的，由I=Er+R总得：总电流I变大，所以电流表A2的示数变大，故B选项错误；又因为电动势和内阻不变，总电流变大，根据U外=E-Ir，可得：外电压变小，即电压表V的示数减小，故C选项正确；电阻R1不变，外电压减小，根据I1=U外R1可知，流过R1的电流逐渐减小，而总电流在变大，根据I总=I1+I2得：通过R2的电流逐渐增大，所以电流表A1的示数逐渐增大，故A选项正确；电源的输出功率P出=I2R，变形整理得P出=E2RR2+2rR+r2-4Rr+4Rr=E2（R-r）2/R+4r，因为外电阻R和内电阻r的大小关系不能确定，所以电源的输出功率可能减小，也可能增大，故D选项正确.

点评 本题D选项中，需要分析电源输出规律的变化情况，而电源的输出功率P出=I2R，变形整理得P出=E2（R+r）2R=E2RR2+2rR+r2，分母是二次三项式，但是分子的R也是变量，因此较难分析其最值，进一步变形得P出=E2RR2+2rR+r2-4Rr+4Rr=E2（R-r）2/R+4r，可得：当R=r时电源输出功率最大，电阻R和内电阻r的大小关系不能确定，所以电源输出功率的变化情况不能确定.

5 结束语

二次三项式在求解高中物理最值问题中具有重要的应用价值.通过将物理问题转化为数学模型，利用二次三项式的性质和求解方法，能够更加深入地理解物理概念和规律，提高解决问题的能力^[2].在学习和应用过程中，要注重物理与数学知识的融合，培养综合分析和解决问题的思维能力^[3].总之，熟练掌握二次三项式在高中物理最值问题中的应用，将为学生解决物理难题提供有力的工具，有助于提高学生的物理学习水平和科学素养.

参考文献：［1］龚栩.利用函数解决高中物理的最值问题[J].中国教师，2010（S1）：275-276.

[2] 代国红，岳娜娜.二次函数在解决高中物理运动学最值问题中的应用[J].数理天地（高中版），2023（10）：96-97.

[3] 邓开应.灵活运用二次函数，物理问题快速求解[J].高考，2018（15）：52.

［责任编辑：李 璟］