函数对称中心的解法探究

摘 要：对称中心是函数的一个重要性质，也是高考的重要考点，一般以奇函数、三次函数为背景，综合考查学生对函数图形性质、研究方法和数学思想的掌握情况.本文以一道高考题为例，探索函数对称中心有关问题的不同解法.

关键词：对称中心；图形性质；三次函数

中图分类号：G632" "文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0079-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：王少波（1998.8—），男，江西省乐安人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究；

范宝锐（1979.2—），男，广东省大埔人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

对于函数的对称中心问题，在2024年的高考题和各地模拟题中都有考查，属于高频知识点，需要引起我们的重视.常见类型有选择题中判断对称中心是否正确，填空题中计算相关参数，解答题则一般证明函数是否是中心对称图形.此类问题一般难度不大，但有一定的技巧性.解决问题的关键是能够正确地找到对称中心的坐标，一般可以考虑从中心对称的定义、函数的定义域、求导和三次函数中心对称模型等方面求解.

1 真题呈现

题目 （2024年高考新课标Ⅰ卷第18题节选）已知函数f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3，证明：曲线y=f（x）是中心对称图形.

2 解法探究

分析 证明曲线是中心对称图形的关键是找到对称中心的坐标.本题包括了对数函数、一次函数和三次函数，可以考虑从中心对称的充要条件、对数函数的定义域和三次函数的对称中心等角度着手解决.

解法1 设曲线y=f（x）的对称中心为P（m，n），要证曲线y=f（x）是中心对称图形，只需证y=f（x+m）-n为奇函数，即有f（x+m）+f（-x+m）=2n（n为常数）成立.

令g（x）=lnx2-x，则g（x+m）+g（-x+m）=lnx+m2-x-m+ln-x+m2+x-m=ln-x2+m2-x2+m2-4m+4为常数.

可知-x2+m2-x2+m2-4m+4=1，得m=1.

则g（x+1）+g（-x+1）=0.

又f（x+1）+f（-x+1）=a（x+1）+bx3+

a（-x+1）+b（-x）3=2a，得n=a.

即f（x+1）+f（-x+1）=2a成立.

所以y=f（x+1）-a是奇函数，曲线y=f（x）是中心对称图形，对称中心为（1，a）.

评注 关于函数对称中心的判定方法，在2019年人教A版教材必修一第87页的拓广探索的第13题中已给出：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.符号语言为f（x+a）+f（-x+a）=2b^[1].

解法2 易知f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3的定义域为（0，2），由对称性可知曲线y=f（x）的对称中心的横坐标必为1，而f（1）=a，猜想y=f（x）的对称中心为P（1，a）.

设Q（m，n）为曲线y=f（x）上任意一点，Q（m，n）关于P（1，a）的对称点为T（2-m，2a-n），因为Q（m，n）在曲线y=f（x）上，故

n=lnm2-m+am+b（m-1）3.

而f（2-m）=ln2-mm+a（2-m）+b（2-m-1）3

=

-［lnm2-m+am+b（m-1）3］+2a

=-n+2a，

所以T（2-m，2a-n）也在曲线y=f（x）上，猜想成立.

由Q（m，n）的任意性可得曲线y=f（x）为中心对称图形，且对称中心为P（1，a）.

评注 这是利用充要条件的另一种形式证明曲线是中心对称图形.对于定义域不是R的情形，可以通过定义域的对称中心确定曲线的对称中心，得到对称中心坐标后再进行证明.常见的用定义域法求解中心对称的曲线如f（x）=ax+bcx+d+px+qrx+s（cr≠0），由定义域得对称中心的横坐标为12（-dc-sr），对称中心的纵坐标则为12［f（x）+f（-x-dc-sr）］.又如f（x）=logapx+qrx+s（ps-qr≠0，pr≠0），可由（px+q）（rx+s）gt;0，解得定义域两个端点的中点即为对称中心的横坐标12（-qp-sr），对称中心的纵坐标则为12［f（x）+f（-x-qp-sr）］，再根据中心对称的充要条件进行论证.

解法3 对f（x）求导，得f ′（x）=2-x2+2x+3b（x-1）2+a，其中y=-x2+2x和y=3b（x-1）2

都是对称轴为直线x=1的二次函数，有f ′（x+1）=

2-x2+1+3bx2+a=f ′（-x+1）成立.

即［f（x+1）+f（-x+1）］′=0.

所以f（x+1）+f（-x+1）=c（c为常数）.

令x=0，得c=2f（1）=2a.

即f（x+1）+f（-x+1）=2a.

所以y=f（x+1）-a是奇函数，曲线y=f（x）是中心对称图形，对称中心为（1，a）.

评注 导数是研究函数图象性质的重要工具，若导函数曲线y=f ′（x）关于直线x=m对称，则原函数曲线关于点P（m，f（m））成中心对称（若f（m）无意义，可通过12［f（x+m）+f（-x+m）］求得对称中心的纵坐标）.

解法4 由三次函数图象性质可知，曲线y=b（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，直线y=ax上任意点都是对称中心，可取对称中心（1，a）.

令g（x）=lnx2-x，猜想曲线y=g（x）是中心对称图形且对称中心横坐标为1.

因为g（x+1）+g（-x+1）=lnx+1-x+1+

ln-x+1x+1=0，所以曲线y=g（x）关于点（1，0）成中心对称图形.

又因为f（x+1）+f（-x+1）=lnx+1-x+1+

ln-x+1x+1+a（x+1）+bx3+a（-x+1）+b（-x）3=2a，所以y=f（x+1）-a是奇函数，曲线y=f（x）是中心对称图形，对称中心为（1，a）.

评注 对于存在多个函数是中心对称图形，它们的和差一般具有如下性质：在定义域D上，若曲线y=f（x）的对称中心是（a，m），曲线y=g（x）的对称中心是（a，n），则曲线y=f（x）±g（x）的对称中心是（a，m±n）.因为f（x+a）+f（-x+a）=2m，

g（x+a）+g（-x+a）=2n，所以［f（x+a）±g（x+a）］+［f（-x+a）±g（-x+a）］=2（m±n），故曲线y=f（x）±g（x）的对称中心是（a，m±n）^[2].

3 变式拓展

变式1" （2024年新课标Ⅱ卷）设函数f（x）=2x3-3ax2+1，是否存在a，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心；

解析 由于f ′（x）=6x2-6ax，曲线y=f ′（x）的对称轴x=a2即是对称中心（1，f（1））的横坐标，因此x=a2=1，所以存在a=2使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心.

评注 也可用对称中心的充要条件，f（x）+

f（2-x）=6-6a，求解得a=2.事实上，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）必有唯一对称中心

（-b3a，f（-b3a））.

变式2 （2024年湖南二模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），其图象的对称中心为（1，-2），求a-b-c的值.

解析 因为函数f（x）的图象关于点（1，-2）中心对称，所以y=f（x+1）+2为奇函数，即有f（x+1）+

f（-x+1）=（2a+6）x2+2a+2b+2c+2=-4，解得a=-3，b+c=0，所以a-b-c=-3.

变式3 （2022年上海一模）已知函数f（x）=12x+1（x∈R），求函数f（x）对称中心的坐标.

解析 设函数f（x）存在对称中心为P（a，b），且g（x）=f（x+a）-b=12^x+a+1-b是奇函数，所以g（-x）+g（x）=12^-x+a+1+12^x+a+1=2b恒成立.

即（1-2b）（2^x+a+2^-x+a）+2-2b-2b·2^2a=0恒成立.

所以1-2b=0，2-2b-2b·2^2a=0.

解得a=0，b=12.

即函数f（x）对称中心的坐标为P（0，12）.

4 结束语

中心对称是函数图象的一个重要性质，本文以2024年高考新课标Ⅰ卷第18题为例，从多个角度探究函数的对称中心坐标，总结了常见函数类型的对称中心的求法并配以练习题加以拓展巩固.在教与学的过程中，要充分利用好教材资源，重视教材的旁白和课后练习与拓展，掌握好知识的来龙去脉和解题的通性通法，在数学的学习上才能举一反三、游刃有余.

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 李文东.函数图象对称中心的求法和应用[J].高中数学教与学，2024（09）：16-18.

［责任编辑：李 璟］