数学思想与方法在高中物理解题中的应用

摘 要：以“三角函数”为例，探讨了数学思想与方法在高中物理解题中的应用，展示了数学思维在解决物理问题中的重要性.通过学习三角函数相关概念和性质，并运用三角函数的公式和定理，能够帮助学生更好地理解和解决高中物理中涉及角度、周期、波动等问题.研究发现，数学思想与方法的灵活应用不仅可以提高学生的理解能力，还可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力.

关键词：高中物理；数学思想；三角函数

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0109-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：吴朝霞（1973.2—），女，江苏省南通人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.

高中物理作为一门重要的学科，对学生的数学素养要求较高，而数学作为物理学的重要工具，为高中物理解决问题提供了思路和方法.其中，三角函数作为数学中重要的分支之一，在高中物理中有着广泛的应用，由于三角函数涉及到角度、周期、波动等概念，可以帮助解决物理中的运动、波动、力学等问题.因此，深入研究数学思想与方法在高中物理解题中的应用具有重要的理论和实践意义.

1 三角函数法解决物体动态平衡问题

1.1 动态平衡问题解题思路

高中阶段解决平衡问题的基本思路是分析物体受力情况，结合平衡条件列出平衡方程，从函数解析角度对物体的动态平衡问题进行分析，通过特定物理量的变化，物体整个状态发生缓慢变化.在物体的动态平衡条件下，教师引导学生依据方程探究物体受力变化情况.

1.2 案例分析

例1 如图1所示，轻绳两端分别系在质量为m的物体以及轻质圆环上，当圆环被套在粗糙水平杆MN上时，给予相应的拉力F，从而拉动轻绳的末端节点，能够使物体达到图1中的某一位置.现改变水平力F的大小，在圆环位置一定的情况下，使连接物体的轻绳下降到图中的虚线位置.在物体缓慢运动过程中，关于水平拉力F、圆环和粗糙水平杆之间的摩擦力F摩、圆环对粗糙水平杆的压力FN的变化情况，下列四个选项中正确的是（" ）.

A.拉力F逐渐增大，F摩保持不变，FN逐渐增大

B.拉力F逐渐增大，F摩逐渐增大，FN保持不变

C.拉力F逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小

D.拉力F逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变

解析 本道例题为高中物理中典型的力学动态平衡问题，可以利用力的合成思想进行求解.利用数学中的三角形函数知识对本道题目进行解析时^[1]，以重物及结点为研究对象，分析受力情况，受重力G、水平力F和绳子的拉力T三个力作用，如图2所示.由平衡条件得F=Gtanθ，当θ减小时，F逐渐减小；再以M、m两物体组成的整体为研究对象，

受重力G总、水平力F、杆的摩擦力F摩和支持力FN四个力作用，如图3所示，由平衡条件得FN=G总，F摩=F，支持力FN保持不变，摩擦力F摩逐渐减小，所以D选项正确.

2 三角函数法解决物理最值问题

2.1 极值问题解题思路

求解物理习题中的极值问题时，通过分析物理过程和状态，依据物理规律建立所求因变量和物理过程中的自变量之间的三角函数关系，随后将不同角的三角函数转化成同一角的三角函数方程后，利用三角函数公式即可求解.

2.2 案例分析

例2 如图4所示，某一质点从倾斜角为α的斜面上方P点开始，沿一光滑的斜槽PA由静止下滑到斜面上，而想要使其滑行的时间最短，那么对应的PA与竖直方向上PB的夹角β为多大？

解析 物体在光滑斜槽PA上做匀加速直线运动，设质点运动的时间为t，斜槽PA的长度为L，P点到斜面的竖直距离为h，则质点运动的加速度a=gsin（90°-β）.

根据匀变速直线运动规律得

L=12gsin（90°-β） t2①

根据正弦定理得

hsin（90°-β+a）=Lsin（90°-a）②

联立解得

12g t2=hcosacos（β-a）cosβ③

利用三角函数积化和差公式得

12gt2=hcosacos（2β-a）/2+

cosa/2 ④

根据题意可知，在a一定时，要使时间t最小，则需要cos（2β-a）最大即可.根据三角函数可得知，当2β-a=0时，cos（2β-a）=1，因此斜槽PA与竖直方向上PB的夹角β=12a时，滑行的时间t为最小值^[2].在本道题目中，利用三角函数的性质、正弦定理、三角函数积化和差方式，可以达到解题的最终目的.

3 三角函数法解决磁场问题3.1 磁场问题解题思路

在电磁学中，常常需要描述电场和磁场的方向和大小，极坐标是一种常用的表示方法，其中角度用三角函数来表示，从而方便计算和分析.

3.2 案例分析

例3 如图5所示，直角三角形ΔABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，BC=L，在三角形内部存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.在三角形的BC边中点处有一粒子源，该粒子源可以均匀向三角形内的所有方向发射出大量速率相同的高速粒子，这些高速粒子所带的电荷量为+q，质量为m，如果有一粒带电粒子恰好从C点沿着三角形AC边的方向射出，求解从AB射出的粒子占所有粒子的百分比^[3].

解析 粒子恰好从C点沿着AC的方向射出时，对应的S处在BC的中点位置，由几何关系可知R=L4.当粒子发射速度方向与SB间的夹角为θ时，粒子恰好与三角形AB边相切，其运动轨迹为圆心O，如图6所示.根据几何知识求得Rcosθ+R/cos30°L/2+Rsinθ=tan30°，解得θ=60°.由此可以得出粒子发射速度方向与SB间的夹角范围为0～60°时，粒子从AB射出.所以，从三角形AB边射出的粒子占所有粒子的百分比为η=60°180°×100%≈33.3%.

4 三角函数法解决直线运动问题

4.1 直线运动问题解题思路

将三角函数应用于高中物理解决直线运动问题时，首先对物体的受力情况进行分析，然后需要根据三角函数的正弦、余弦、正切、余切公式理清题目的基本思路，借助三角函数的关系进行解题.

4.2 案例分析

例4 一质量为m的物体放在粗糙水平面上，当物体受到与水平方向夹角为α的斜向上拉力F时，向右做匀速直线运动，已知重力加速度为g.求物体m与水平面之间的动摩擦因数μ^[4].

解析 对物体的受力进行分析，建立直角坐标系，对物体受到的力F进行分解，如图7所示.根据平衡条件得：

FX合=F1-Ff=0，

Fy合=FN+F2-mg=0.

因为Ff=μFN，

F1=Fcosa ，F2=Fsina，所以μ=Fcosamg-Fsina.

解答匀速直线运动或匀变速直线运动问题时，通常会涉及正交分解，使用三角函数的正弦、余弦、正切等公式，学生往往会混淆正弦与余弦公式，因此在解题前，必须熟悉三角函数公式.借助三角函数知识解答大部分的力学知识题目时，只要学生思路清晰，对物体进行正确的受力分析，并构建直角坐标系，结合平衡条件或牛顿运动定律列方程，就能顺利完成解答.

5 结束语

通过本文的探究分析可以看出，数学思想与方法在高中物理解题中具有不可替代的作用.在高中物理解题时应用数学三角函数等知识，不仅有助于学生巩固和提高物理和数学知识，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力.因此，加强数学思维在高中物理教学中的应用，对于提高学生的综合素质和科学素养具有积极的促进作用，能使高中物理教学取得更好的效果.

参考文献：

［1］徐德云.从核心素养的视角再谈高中数学建模：以“三角函数的应用”教学片段为例[J].数理化解题研究，2023（09）：2-4.

[2] 金晓晖.高中数学建模教学的设计与实践：以“生活中的三角函数”为例[J].数学教学，2023（02）：11-15.

[3] 黄荣.指向数学建模素养的教学研究：以“三角函数的应用”为例[J].中学数学教学，2022（06）：24-26，75.[4] 刘天明.高中数学建模教学策略的实践研究：以三角函数模型为例[J].数学之友，2022，36（22）：26-28.

［责任编辑：李 璟］