“测量不规则物体的体积”教学建议

“测量不规则物体的体积”是小学数学必学的课程内容，目的是在学生学习常见的立体图形体积计算公式之后，引导学生综合运用测量与体积有关的数学知识，通过测量生活中不规则物体的体积问题，进一步深化学生对相关概念、公式、方法的理解，发展学生的量感、空间观念、推理能力和创新意识。关于这部分内容，现行数学教材基本都是引导学生测量“能沉入水底的不规则物体”，基本不涉及“漂浮水面的不规则物体”。即使有学生联系生活实际，提出“遇到漂浮的不规则物体怎么办”及“如何减少测量误差”时，教师思考得也不够全面，导致本应生动有趣的数学课程地位弱化、探究虚化。

一、厘清方法

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对测量不规则物体的体积要求，作为学习活动的设计者、组织者和评价者，教师需要细化不规则物体的种类，寻找相应的测量方法，以便高质量地指导学生的学习过程。

1.塑形法——测量“橡皮泥”等易变形物体的体积

塑形法测体积，是最简单的一种测量体积的方法。像超轻黏土、柔软蜡块、柔软奶糖等易塑形的不规则物体，可以将它们捏成规则的长方体或正方体，然后再测量出棱长，计算出的体积就是原不规则物体的体积。

2.排水法——测量“小石块”等能沉水底物体的体积

这种测量体积的方法，是基于“2011年版”课标编写的各版本数学教材中的常用方法。像土豆、西红柿、红薯、砝码等密度大于水、能够完全沉入水底的不规则物体都适用这种方法。利用量杯，把物体沉入水底，计算出上升的水的体积就是该不规则物体的体积。当然，实际教学中，若有学生提出使用溢水、降水等排水方法，教师也应及时鼓励认同。

3.针压法——测量“小橘子”等漂浮在水面物体的体积

针压法是测量漂浮在水面上、不吸水的不规则物体体积的常用方法之一。利用细针、铁丝、小细棒等细小物体的尖部，将漂浮物体压住，使之完全浸没在水中，然后通过测算上升水的体积，从而求出该物体的体积。针压法中测量误差的大小，取决于使用的细针、铁丝等的粗细程度和入水深浅。

对于“小橘子”“塑料”等漂浮在水面的不规则物体，还可以使用“负重法”测量，即在该物体下面用塑料绳或细铁丝捆绑上较重的小石块或砝码等，使之能够完全沉入水底，然后利用“排水法”测量总体积，再测出负重物体在干燥情况下的体积，最后用总体积减去负重物的体积，即可求出该漂浮物体的体积。

针压法和负重法的测量原理，都是设法让漂浮在水面的物体完全浸入水中，然后再利用排水法求出体积。

值得一提的是，纯净的水在透明量杯里的高度如果不太方便读取，还可以滴入几滴红色墨水或者碘伏，这样读取时就会更加方便。

4.排沙法——测量“乒乓球”等不便针压负重物体的体积

排沙法和排水法，均为排液原理。考虑到乒乓球的形体特殊，针压、负重都不是很方便，可以使用量筒、细沙（或细盐、砂糖）等测量工具测量。把乒乓球完全埋没于细沙（或细盐、砂糖）之中，上升的细沙（或细盐、砂糖）体积也就是乒乓球的体积。

5.包膜法——测量“砖块”等易吸水融水物体的体积

砖块、粉笔、纸张等都是易吸水物体，吸水后自身体积膨胀直至物体溶解；冰糖、明矾等也都是易融水物体，融水后体积会变小乃至变成完全溶于水中。测量这类不规则物体的体积，建议可用包膜法，利用锡纸或保鲜袋等紧紧包裹住物体，然后再用排水法或者“针压法”测量体积。

6.累加法——测量“回形针”等较小物体的体积

对于订书钉、纽扣、黄豆等不规则物体，由于它们的体积较小，直接使用以上测量方法单个测量不易读取数据，这时可使用累加法测量。如取出200枚回形针完全浸没于量筒内的水中，采用排水法先求出200枚回形针的总体积，进而计算出1枚回形针的体积。

世界万物，丰富多彩。日常生活中，有的不规则物体运用以上测量方法可以求出体积，有的却很难，如体型庞大的石雕、树冠，或者属性特殊的海绵、头发等不规则物体，在小学阶段可以鼓励学生采用其他测量方法或者使用高科技仪器进行个性化的估测或精测，但没有必要做普遍要求。

二、思考落实

“测量不规则物体的体积”是学习“长方体和正方体”等立体图形体积之后的拓展和延伸，具有鲜明的综合性、实践性、创生性特点。基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的精神指引，日常教学中需要落实以下三个要求。

1.内容的综合性

本节内容的综合性主要体现在两个方面：一是教师应创设真实情境和学习支架，引导学生调动数学学科内的知识，比如体积的意义、单位、计算公式以及等积变形方法、转化思想等既有的知识经验，结合待测量物体的特点进行测量；二是教师应鼓励学生应用数学学科之外的生活经验或其他学科知识，让测量活动更加科学合理。比如在使用排沙法时，如果居家就地取材选用细盐或细糖作为实验材料，教师要提醒学生尽量使用小勺工具把乒乓球完全埋没于细盐或细糖中，如果直接上手的话，应思考手掌的温度会不会引起细盐或细糖的融化，进而把测量误差变得更大。在采用包膜法时，也需要提醒学生考虑：水温会不会对物体的热胀冷缩产生影响等。

2.形式的实践性

史宁中教授说：“在当前世界中，很多东西都不可能传递，必须依赖于个体的亲身经历。”本节内容，若想让学生感悟和总结测量不规则物体的基本策略和思想，必须组织学生亲力亲为，动手操作。可以采用数学实验的形式进行研究，教师要提供丰富的、可供学生选择的实验材料，围绕明确的实验目标，组织学生制定实验方案，让学生在主动学习的过程中亲历具体的实验过程，获得实验结论；也可以采用项目学习的形式组织学生研究。波利亚说：“对于任何一个个体而言，学习最有效的途径就是由自己去发现。”学生在真实的场景下，自己提出问题，并和同伴一起研究怎样解决这个问题，通过观察、猜想、验证、结论、展示等研究过程，学生不但可以发现“如何测量不规则物体的体积”，而且还能提高综合素养和综合能力。

3.思维的创生性

弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”本节内容贴近生活，不但有利于学生“再创造”以上各种常规测量的方法和思想，而且在高质量的“引导和帮助”下，学生一定还会出现其他创意和想法，比如把土豆用榨汁机榨成液体再测量体积，合不合理呢？可不可以把超轻黏土平铺在一个长方体盒子底部，塑形测算呢？学生的奇思妙想，永远都会在能够催生创生思想的土壤和空气里绽放。教师应创设宽松愉悦的研究氛围，鼓励学生不给自己设限，积极挑战不同的待测物体，针对不同的精度要求、不同的工具条件下的测量任务，运用自己专业的知识储备，引导他们献计献策、层层递进，不断迭代，不断创生。

一线教师对单元整体教学设计的误解

刘晓婷

误解1：认为单元整体教学设计就是要对教材进行整合重组，甚至重构

一线教师在进行单元整体教学设计伊始，常思考的第一个问题就是“要不要对教材进行整合重组”。例如北师大版教材六年级下册第二单元为“比例”，包括“比例的认识”“比例的应用”“比例尺”“图形的放大和缩小”等内容。第四单元为“正比例与反比例”之后的“数学好玩”中还有“绘制校园平面图”。进行第二单元（以下简称“比例”单元）整体教学设计时，教师往往会提出“是否要把这些内容整合在一个单元教学？是否要调整教材的顺序？等问题，还会提到“教材中的情境大家都用，得换一下情境，重新设计学习任务”。实际上，“单元整体教学设计”并不意味着把所有相关内容都整合到一起，或者随意变换教材的顺序、替换教材的情境和学习任务，而是要抓住该单元的核心内容（核心素养的具体表现），在深度分析教材后整体设计教学任务。对于相关联的内容，要理解它们之间的联系，明晰它们的不同，做到在不同的阶段教这些相关联的内容时，都能引领学生迈上更高的阶梯。例如，整体设计“比例”单元教学时，教师需要思考，本单元的核心内容是什么？各课时教材内容是如何体现核心内容（素养）的？“比例”和“比”“正反比例”之间有什么联系？等等。教师要深入分析单元的每个课时，用联系和发展的眼光审视单元内容，在教学时做好单元内容的内外铺垫和承接。整合重组一定要在充分研究的基础上进行。

误解2：制订单元目标一定要写上核心素养表现，以为这样就是指向核心素养

教师在单元整体教学设计开始时，为体现教学以学生核心素养的发展为落脚点，会有意识地把素养指向的教学目标罗列出来。例如，在“比例”单元，有“比例的应用”“比例尺”“图形的放大和缩小’等内容，教师在制订单元教学目标和课时目标时就会加上“发展应用意识”“培养空间观念”等。但对于“应用意识”在本单元中如何体现，“空间观念”在“比例尺”“图形放大和缩小”等不同课中如何体现的认识还不清晰。这些不具体、表现模糊的单元教学目标，又如何在实际教学中得到落实呢？仅仅在目标中缀上一个词，又有何作用呢？

误解3：进行单元学习评价就要设计大任务，并设计评价量表

教师常以“任务+量表”的方式呈现对学习评价的设计。例如，在“比例”单元，教师会在单元教学结束后设计任务：“请你用思维导图梳理比例单元以及和它相关的内容，并尝试写出内容之间的联系”，也会从“准确”“全面”“建立联系”等维度给出量表来评析学生的表现，但这些任务更多指向的是学习的结果而不是过程。还有的教师会设计教学过程中的任务及量表，但这些任务又有些随意，未能紧扣本单元最关键的目标。单元教学应围绕教学目标有逻辑、有条理地展开，教学目标是否达成，中间出了哪些问题，是否需要做出调整等，都需要在教学实施的过程中进行评价。单元教学评价只有围绕目标进行整体设计，才能更好地发挥监控教与学过程的效果。