如何建构追及问题的数学模型

追及问题涉及两个物体的运动情况，数量关系比较复杂，是解决问题教学中的难点。如何建构追及问题的数学模型呢？可以设计以下教学活动。

一、解决问题，感知模型

1.出示题目：甲、乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时走5千米，几小时后甲可以追上乙？然后呈现学习要求：说一说已知什么、求什么，并尝试画线段图。

2.展示学生作品，进行补充和完善（如图1）。

3.独立思考：图中有哪些隐藏的信息？

引导学生发现，甲每小时都比乙多走9千米，通过每小时多走的路程就能将落后的路程补上。原题可以理解成“甲要比乙多走18千米。已知甲每小时比乙多走9千米，几小时后甲能比乙多走18千米”。

4.解决问题，建立联结。

（1）学生独立解题，全班交流后整理呈现（如图2）。

（2）思考：①用方程法解，等量关系是什么？“14x”“5x”“18”分别表示什么？②用算式法解，数量关系是什么？“14-5”指的是什么？并将算式中的数据和线段图上的信息一一对应。

（3）动态演示追及的过程后提问：这样的数学问题有什么特点？

5.归纳小结：两个运动的物体同时不同地或同地不同时出发，做同向运动，慢的在前，快的在后，经过一定时间，后者追上前者，这样的数学问题叫作追及问题。

二、解法比较，建构模型

1.独立思考：两种方法之间有什么联系？

引导学生发现：方程中的“x=18÷9”就是算式中的“18÷（14-5）”，这也是方程和算式的相通之处。

2.小组任务：找出这两种方法的数量关系分别是什么。

3.归纳小结：第一种解法中的等量关系为“甲的路程-乙的路程=路程差”，第二种解法中的数量关系为“路程差÷速度差=追及时间”。

三、变式练习，拓展模型

1.根据算式编题。

学生根据“14x-5x=18”或“18÷（14-5）=2”编题，教师巡视并有选择地呈现学生编的题。

2.讨论：这类问题有什么共同的特征？

学生发现这类问题都有总量差和两个每份量，能根据两个每份量求出每份的差。

3.提炼通用数量关系。

归纳得到：每份量1-每份量2=每份差，总量差÷每份差=份数。

以上教学，通过感知模型、建立模型和拓展模型，让学生更好地理解追及问题，培养学生的模型思想，进而提高解决问题的能力。

（作者单位：浙江绍兴市上虞区博文小学）K