后期维特根斯坦对数学逻辑主义的批判

摘 要：后期维特根斯坦对数学逻辑主义的批判，既是其语言批判思想在数学领域的应用，也是其数学哲学思想的重要组成部分。该批判包括三重维度：（1）重新明确数学本性，坚信数学既非关于抽象对象的知识体系，亦非以逻辑演绎为核心的科学，而是由一系列计算、推理等具体实践构成的技术；（2）重新审视命题建构论，主张数学命题不是在固定逻辑规则下形成的机械复制产物，相反，数学命题的建构遵循动态的语法规则，并在语言的实践中展现出无限的创造性；（3）重新评估证明方式，强调数学证明旨在以图画的形式直观地呈现命题转换过程，而不是通过严密的逻辑推理获得最终结果。从某种意义上说，上述批判在解构数学逻辑主义的同时，也重构了数学哲学的论域，具体表现在维特根斯坦从日常语言分析的角度对数学进行了开创性的解读：数学是一种语言游戏。理解数学，或者说参与数学语言游戏的前提是遵守语法规则。然而，语法规则并不是不言自明的绝对真理，而是通过共同体内的社会实践才具有意义，并在此过程中达成共识。换言之，数学是一种规范化的、同时又受规则支配的实践活动。这不仅挑战了传统的数学观念，还将数学置于更广阔的社会实践网络中加以考察，从而开启了数学哲学研究新途径的可能性。

关键词：后期维特根斯坦；数学逻辑主义；数学哲学；命题建构；数学证明

中图分类号：B0" 文献标识码：A" 文章编号：

1672-1101（2024）06-0021-07

收稿日期：2024-05-29

基金项目：国家哲学社会科学一般基金项目：英国观念论的逻辑演进研究（23BZX058）

*通信作者：管月飞（1972-），男，安徽和县人，副教授，博士，研究方向：近现代西方哲学。

作者简介：徐晟程（2000-），男，江苏苏州人，助教，研究方向：维特根斯坦哲学、数学哲学。

Later Wittgenstein′s" Criticism" of" Mathematical Logicism

——On" the Possibility of New Ways" of" Mathematical" Philosophy" Research

XU Shengcheng，GUAN Yuefei*

（School of Marxism，Anhui Normal University，Wuhu，Anhui" 241002，China）

Abstract： Later Wittgenstein's criticism of mathematical logicism is not only the application of his language criticism thought in the field of mathematics，but also an important part of his mathematical philosophy.This critique includes three dimensions：（1） redefining the nature of mathematics，and firmly believing that mathematics is neither a knowledge system about abstract objects nor a science centered on logical deduction，but a technology composed of a series of concrete practices such as calculation and reasoning;（2） re-examining propositional constructivism and assert that mathematical propositions are not mechanical replicas formed under fixed logical rules.On the contrary，the construction of mathematical propositions follows the dynamic grammatical rules and shows infinite creativity in the practice of language；（3） re-evaluating the proof method，emphasizing that mathematical proof aims to visually present the propositional transformation process in the form of pictures，rather than to obtain the final result through rigorous logical reasoning.In a sense，the above criticism not only deconstructs mathematical logicism，but also reconstructs the field of mathematical philosophy，which is concretely reflected in Wittgenstein′s pioneering interpretation of mathematics from the perspective of everyday language analysis： mathematics is a language game.To understand mathematics，or to participate in mathematical language games，is to follow the rules of grammar.Grammatical rules，however，are not self-evident absolute truths，but take on meaning through social practice within the community，and consensus is reached in the process.In other words，mathematics is a standardized and rule-governed practice.This not only challenges the traditional concept of mathematics，but also places mathematics in a broader network of social practice，thus opening up the possibility of a new approach to the study of mathematical philosophy.

Key words：later Wittgenstein; mathematical logicism; philosophy of mathematics; proposition construction; mathematical proof

维特根斯坦承认，他全部哲学工作中最为突出的贡献莫过于数学哲学的研究John Wisdom曾为维特根斯坦撰写一个简短的传记性段落，出版前Wisdom请维特根斯坦过目一下，维特根斯坦仅在段落后增加一句话：“维特根斯坦的主要贡献在于数学哲学。”参见MONK" R.Ludwig Wittgenstein：The Duty of Genius［M］.New York： Free Press，1990：466.。在他看来，数学与哲学在本质上属于同一类研究，且二者都因语言的误用而导致一系列语法问题。因此，澄清工作不仅限于哲学领域，数学领域同样需要澄清。他指出，数学是一种语言游戏，或者说一种语言实践活动，它必须在特定的情境中通过现实的实践活动获得意义。因而，任何试图超越现实行为的解释都将具有形而上学倾向。对于数学研究，维特根斯坦扮演着批判者的角色，其批判更像是一种“治疗”。他反对传统的数学观念，却未提供任何可供代替的方案，仅从各种数学观念中保留了他认为合理的部分。后期维特根斯坦不再局限于早期的逻辑视角，他对数学逻辑主义的批判较为彻底，表现在他试图将逻辑完全排除在数学哲学研究之外。实际上，他通过对数学逻辑主义的批判，间接实现了对其他数学观念的批判。因此，本文的任务是双重的：一方面，立足于后期维特根斯坦对数学逻辑主义所作批判的三重维度，揭示其独特的数学哲学思想；另一方面，进一步探讨维特根斯坦从人类社会视角出发，尤其是通过语言实践活动来理解和分析数学所带来的影响和启示。

一、数学逻辑主义的基本主张及其问题

随着近代自然科学的飞速崛起，数学与逻辑都获得了巨大的发展。二者的关系不再如以往那样形同陌路，而是互相交织。正如罗素在《数学哲学导论》中所述：“在历史上，数学与逻辑是两门完全不同的学科：数学与科学有关，逻辑与希腊文有关。但是在近代，二者有了很大的发展，逻辑更数学化，数学也更逻辑化，结果在二者之间完全不能划出一条界线；事实上二者也确实是一门学科。他们的不同就像儿童与成人的不同：逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代。”^［1］199由此，数学被人们视作一门具有逻辑严密性的科学。20世纪初，罗素等人的研究推翻了以康托尔（Georg Cantor）集合论作为数学基础的理想观点，并试图在逻辑上重建全部数学，这种观点最终形成了数学逻辑主义1902年罗素发现了康托尔集合论中最著名的悖论，即所谓的罗素悖论（Russell’s paradox），悖论的提出引发了第三次数学危机。对悖论产生原因和数学基础的讨论吸引了多个领域的研究者，并逐渐形成了三大数学流派：逻辑主义、直觉主义和形式主义。鉴于本文旨在说明维特根斯坦对数学逻辑主义的批判，故维特根斯坦对其他流派产生的影响不在探讨范围之内。。该流派的主要代表人物有罗素、弗雷格和怀特海等，其基本主张可以概括为三方面：

第一，逻辑是数学的基础，数学被视为逻辑的延伸，并且全部数学都可以还原为逻辑。一言以蔽之，数学工作实际上就是逻辑概念研究。例如，弗雷格用一系列独创的逻辑概念重新定义自然数理论中“0”“数”等基本概念。此外，数学逻辑主义还主张数学和逻辑之间可以互相转换，即不仅全部数学可以被还原为逻辑，从逻辑出发也可以推导出全部数学。像罗素和怀特海则将数学视为一个形式系统，并计划从形式逻辑出发推导出全部数学。按照数学逻辑主义的说法，如果全部数学都能完美还原为逻辑，那么数学必定能在逻辑基础上坚实地被重新建立起来。然而，将全部数学都简单的还原为逻辑是一种理想化状态，在还原工作的实际进行中，其复杂性和多样性远远超出了简单的逻辑体系所能涵盖的范围。除此之外，人内在直觉和想象力的考察也在逻辑体系之外，并深刻影响着数学的发展。由此可见，在逻辑上重建数学的想法，是一个过于理想化的设定。

第二，数学与逻辑在形式上是同一的，并且二者的命题建构都遵循相同的逻辑规则。数学逻辑主义认为，数学命题的建构是一种形式化的建构，它类似于逻辑命题的建构。首先，这两类命题都具有严格且相似的逻辑结构。逻辑命题（分子命题）可以进一步分解为简单命题（原子命题）；而数学命题也可以被进一步分解为逻辑常项和变元逻辑常项指的是那些不随特定命题内容而改变的逻辑元素，而变元则代表可以替换的具体内容。。其次，它们都采用符号化或者形式语言来表示。例如，在逻辑中，“∨”符号表示析取运算（Disjunction），而在数学中表示并集运算（Union）。再者，它们的真值具有唯一性，要么为真，要么为假。实际上，二者的相似性源自它们相同的建构规则，即形式逻辑规则。正如罗素所言：“一切纯数学——算术、分析和几何，都是由逻辑的原始概念渐次组合而成的……因此，形式逻辑学科已表明自己和数学是同一的。”^［2］就此而言，数学与逻辑是一体两面、无法分离的。然而，严格按照固定逻辑规则建构的数学命题却不能满足日常生活的复杂需求，反而使其建构过程变得机械化。

第三，逻辑推理在数学证明中起决定性作用，其必然性确保了数学证明是客观有效的。逻辑推理，或者说，逻辑的演绎法^［1］148是一种不涉及命题的具体内容或语义，只关乎命题之间的形式关系的必然性推理，即在确保前提无误的情况下，只要严格按照推理规则执行，就能获得准确的结论，从而确保数学证明的有效性和客观性。因此，数学逻辑主义强调逻辑推理在数学证明中具有不可替代的位置，并起着决定性的作用。正如罗素所断言的那样：“在数学中用数学的方法所能知道的东西就是能从纯逻辑推演出来的东西。”^［1］148逻辑推理也间接地确保了数学真理的客观性。然而，逻辑推理作为数学证明方式，主要适用于处理固定逻辑规则下建构的形式化数学命题，而无法涵盖诸如概率论、拓扑学等非形式化的数学领域。除此之外，逻辑推理在某些情况下亦可能会受到逻辑系统中潜在的悖论和不完备性问题的影响。譬如，哥德尔不完全性定理（Gdel incompleteness theorems）

哥德尔不完全性定理陈述：在任何一致的形式系统里，都有一个句子，既不能被证明为真，也不能被证明为假；一个算术形式系统的一致性不能在那个系统内部证明。就揭示了即使在严格的逻辑推理之下，仍然存在一些数学命题无法被证明。

诚然，早期维特根斯坦在一定程度上受到了逻辑主义的影响。特别是在《逻辑哲学论》的序言中，他提到：“我只想指出，对我的思想的大部分刺激来源于弗雷格的伟大著作和我的朋友伯特兰·罗素先生的著作。”^［3］4然而，即便是早期的维特根斯坦也并没有想要为逻辑主义辩护。相反，到了后期，他表现出彻底的反逻辑主义倾向，并试图将逻辑从数学的研究中抽离出去。正如他所述：“有人认为，有一门被称为逻辑的科学，数学就立足于这门科学之上。但是我要说明的是，数学绝不是立足于逻辑之上的，逻辑公式与数学形式相一致，但这个事实绝没有表明数学立足于逻辑之上。”^［4］就此而言，后期维特根斯坦基于日常语言分析，对数学逻辑主义在数学本性、命题建构论和证明方式这三重维度进行了深刻的批判。他批判的目的是为了彻底摧毁原有的数学观，从而重新对数学展开系统性考察。

二、维特根斯坦对数学逻辑主义数学本性的批判

一直以来，数学的进步被认为依赖于自然科学的发展。然而，集合论的兴起表明了纯粹数学的研究是可能的。这使得数学有望摆脱自然科学的束缚，成为一门独立的科学。在此背景下，数学逻辑主义认为数学是一门建立在逻辑基础上的严格科学，将视其为逻辑的延伸。后期维特根斯坦对上述观点进行了猛烈的批判，其批判主要围绕以下3个问题展开：（1）数学是否为科学？（2）数学是否为逻辑的一部分？（3）数学是否需要逻辑作为其基础？

数学逻辑主义接受了数学柏拉图主义的观点，即认为数学家的工作是发现或揭示数学的属性和关系，就如同物理学家的工作是发现经验世界中的事实一样。因此，他们认为数学是一门关于逻辑演绎的科学，其研究对象是概念、定理，研究方法依赖于严密的逻辑推理。如，罗素在《数学哲学导论》中提到：“数学是一门演绎的科学：从某些前提出发，通过一个严格的演绎过程，达到许多定理，这些就构成数学。”^［1］147后期维特根斯坦反对用自然科学范式来思考数学。为此，他主张数学的澄清工作应从明确其定位和目标开始。在他看来，数学实际上是一系列技术实践活动的组合，或者说，一种“证明的混杂技术”^{［5］PartⅡ-46}。与自然科学不同，数学的目的在于技术性的应用，而非揭示自然界的客观规律。维特根斯坦认为，人们逐渐忽视了数学的应用性，因为他们沉迷于对纯粹数学的研究。他将数学比作家中不常使用的“扫帚”：过去扫帚用于打扫房屋，现在却被当作家具。因此，对于维特根斯坦而言，数学实际上是人类解决问题的技术手段，并在实践中展现其应用性。

维特根斯坦并不否认逻辑与数学之间的密切关系，甚至在早期著作中提到：“数学是逻辑的一种方法”^［3］80。然而，后期维特根斯坦逐渐意识到，早期将数学视为逻辑的一部分源于对逻辑的过度“崇拜”，这种思维模式错误地认为逻辑可以解释一切事物，尤其是数学。在他看来，这种观点不仅是错误的，而且是危险的，“逻辑对数学的‘灾难性入侵’……逻辑技术的害处是，它使我们忘记特别的数学技术，而逻辑技术只是数学中的辅助性技术。例如，它在不同技术之间建立了某些联系”^{［5］PartⅣ-24}。也就是说，逻辑应该被视为数学活动的一种辅助性工具，而非其核心。而所谓的数理逻辑、量词逻辑等逻辑技术都只是数学技术活动的一个分支。因此，一方面，数学的复杂性超出了逻辑框架的范围，无法简单的通过逻辑来解释；另一方面，数学是一系列技术活动的综合体，逻辑只是其中的一部分，不应被视为是数学的全部。

显然，将逻辑视为数学基础的设想是无法站稳脚跟的，因为逻辑仅具辅助性功能，无法支撑起整个数学体系。后期维特根斯坦从反基础主义的立场出发指出：“数学为什么需要一个基础呢？我相信，数学不需要这样的基础，正如那些涉及物理对象的命题或者那些涉及感觉印象的命题不需要分析一样。”^［6］他又说：“对我们而言，所谓基础性的数学问题不再是基础，就像画上的石头也不能支撑画上的塔楼一样。”^［7］417也就是说，数学不需要基础，那么数学逻辑主义对数学基础的追问是如何产生的呢？维特根斯坦认为，他们对数学基础的追问应归结于语言的误用。这是因为，在日常生活中人们倾向于使用类比的方式来解释事物。然而，某些类比实际上是语言误用，这些类比造成了一系列无意义的问题。如，将时间类比物质运动来解释时间：时间在“流动”，又或者说，询问时间来自哪里、流向何处等等。事实上，这些问题可以被我们思考，却无法给出答案，因为问题本身是无意义的。后期维特根斯坦将这类语言误用问题统称为语法问题，他明确指出，语法问题不仅是无意义的，而且还是导致人们形而上学倾向的根源。总之，数学逻辑主义将数学与逻辑进行类比，并试图通过逻辑来解释数学，这显然是语言的误用。因而，他们对数学基础的追问也将不再单纯是一个数学问题，而是一个语法问题。

三、维特根斯坦对数学逻辑主义命题建构论的批判

数学逻辑主义认为，由于数学与逻辑在形式上的一致性，逻辑学的原理和方法可以直接运用于分析和构造数学命题。然而，后期维特根斯坦反对这种观点，他认为数学逻辑主义的命题建构论实际上是人工语言的产物，并且这种固定逻辑规则下的命题建构呈现出机械复制的特征，难以满足生活形式的多样性需求。为此，他指出，人工语言不能完全代替日常语言，并通过对日常语言的分析提出了一种动态的命题建构论。

就数学逻辑主义而言，命题的建构是一个纯粹形式化的过程，与命题的内容和性质无关，而仅仅取决于其形式。早期维特根斯坦在逻辑主义的影响下，详细论述了命题建构的基本规则。如，他认为一般命题可以还原为基本的、不可再分的命题单元。在《逻辑哲学论》中，他指出：“命题是得自于所有基本命题的总和（当然也是得自于如下之点：它是它们全部的总和）的所有东西。因此，在某种意义上，人们可以说，所有的命题都是诸基本命题的一般化。”^［3］43换而言之，所有命题在被建构之前已经存在，建构命题只是遵循人工语言的逻辑规则去发现它们。然而，后期维特根斯坦反对人工语言概念。他强调日常语言本身就拥有完美的秩序，无需额外建构一种完美的语言系统，并进一步指出：“数理逻辑将我们日常语言的形式肤浅的理解为对事实结构的分析，从而完全扭曲了数学家和哲学家的思想。”^{［5］PartⅣ-48}他认为是数理逻辑的介入干扰了我们的判断，导致我们过分简化了对事物的分析，误将其视为一系列规则命题的静态组合。基于这一认识，维特根斯坦在批判数学逻辑主义命题的建构论的同时，重新思考了命题的建构及其可能性。

维特根斯坦承认，命题并不是随意创造的，它们是对现实世界的反映。因此，命题的建构确实需要遵守一定的规则。正如他在后期著作中所述：“数学就是逻辑：它在我们的语言的规则之中活动。”^［8］304但是，这些规则并不是数学逻辑主义所认为的静态逻辑规则，而是动态的语法规则。他进一步指出：“但是，如何——，它在这些规则中来回打转吗？——它总是创造新而又新的规则：总是构建新的交通道路——通过扩建旧的交通路网的方式。”^［8］304这表明，虽然命题的建构受规则约束，但这些规则在日常语言的实践中是不断更新和变化的。规则与命题之间的关系就如同铁轨与列车一般：规则就像铁轨，而命题是铁轨上运行的列车。虽然离开铁轨的列车无法正常行使，但铁轨并不只有一条。铁轨是无限的，它们之间交错纵横，列车能在其中穿行。由此可见，命题建构的可塑性和不确定性源于日常语言的多样性和复杂性，这使得每个命题的建构都可能创造出一条“铁路线”。对于维特根斯坦而言，命题不仅仅是对事实的简单陈述，而是语言与规则交织的产物。当我们尝试建构一个命题时，实际上是在遵循并适应特定的语法规则，进行一场语言游戏。这是一种发明创造过程，因为在日常语言的实践中，新的规则和用法不断涌现，命题的建构也必须根据这些新规则进行调整和变化。因此，命题的建构被视为一个动态且持续的过程，并展现出一种无限的创造性。

有学者认为，后期维特根斯坦的观点是一种激进的社会建构论 社会建构论将客观性知识理解为社会的、文化的、公众的和团体的知识，与个人的、私自的或个体的信仰形成对比，而激进的社会建构论更是将所有陈述的必然性都归结为人类语言共同的约定，在此基础上，他们将数学规则也视为人的约定。参见樊岳红.维特根斯坦数学哲学思想研究［M］.北京：科学出版社，2018：55-57.。达米特（Michael Dummett）认为维特根斯坦将数学的公理、符号、对象甚至结论的正确性都当作人们之间遵守规则的约定，间接否认了数学知识的客观性，是一种“彻底的建构主义”^［9］。此外，达米特进一步指出，“遵守规则”是后期维特根斯坦考察的一个重要概念。不仅命题的建构由规则决定，甚至命题的真假、存在与否也取决于规则。如，维特根斯坦认为当某人质疑6+7=13这一普遍公认的数学等式时，所展现出的并非是对一个普通事实观点的分歧；相反，这暴露了他对相关数学符号使用规则的无知。事实上，维特根斯坦承认确认一个数学命题是否有效的方法在于证明，而证明依赖于规则。这一点契合了他对规则在命题建构中重要性的强调。然而，他不赞同我们在规则范围内可以随意建构数学，尽管在证明过程中必须“盲目地”遵守规则。将维特根斯坦视为一个纯粹的建构主义者，是对他思想的误读。相反，他认为我们不能自由地接受或拒绝任何证明结果，并且反复强调，在证明过程中我们是被迫得出某些结论的。

四、维特根斯坦对数学逻辑主义证明方式的批判

维特根斯坦关于数学证明的评论是其为数学哲学研究开辟新途径的一种尝试。他在反思数学逻辑主义证明方式的基础上，提出了一种与众不同的证明方式，即将数学证明作为一种直观的图画呈现技术，旨在对具体对象进行直观描述。后期维特根斯坦的评论主要围绕数学证明的客观性、自明性及其合法性展开，并提出了对数学独特的见解——“数学家是发明者而非发现者”^［8］305。

推理证明是一种生活中常用的证明方式。推理是指从一个或多个命题（前提）出发到达另外某个命题（结论）的过程。在此过程中，结论可能为“真”也可能为“假”。例如，当我们观察到天上有乌云，就将推断今天可能会下雨。而数学逻辑主义所推崇的逻辑推理，或者说形式逻辑推理，区别于一般推理，它是一种必然性推理。由此，数学逻辑主义主张逻辑推理是数学证明的决定性方式，因为只有纯粹形式上的推理才能保证数学证明的绝对客观性，从而间接证明数学真理具有客观性。简言之，数学证明与数学真理的客观性都依赖于逻辑推理的必然性。在他们看来，三者的关系就类似于某种齿轮机构，逻辑推理是主动轮，提供整个机构的动力，而数学证明与数学真理是从动轮，依托于主动轮的传动才能运转。后期维特根斯坦对数学逻辑主义的证明方式的批驳，并非要否定逻辑推理的有效性，而是反对逻辑推理和数学证明的强制关联。就维特根斯坦而言，逻辑推理为众多有效证明技术中的一种，它不能代替数学证明技术。正如他所言：“一种证明技术又如何能够通过另一种证明技术来界定呢？”^{［5］PartⅡ-45}换言之，他认为数学证明区别于其他证明方式，是不可代替的。此外，证明不仅是对数学命题真假的验证，更是赋予命题特定意义的过程。

维特根斯坦在其后期著作中反复强调：“数学证明必须是清晰的，因果关系在证明中不起作用。”^{［5］PartⅢ-41}他认为数学证明是显而易见的、自明的，应该被限制在可观察的范围之内。为此，维特根斯坦主张，数学证明是一种能够直观描述的图画技术，抑或说，数学证明意在确立某一技术之有用的图画。如，“2×3＝3×2”这个数学命题可以转换为具体事实的图画（如图1、图2所示），我们只需从不同角度观察图画，就能直接理解该命题包含的信息并验证其正确性。在图1中，我们的观察顺序由行到列，获得两行三列的数量关系；在图2中，我们将图画旋转90°再观察，同样的观察顺序下获得了三行两列的数量关系。维特根斯坦认为，证明过程使得命题的空间位置发生了转变，即命题从原初位置转换到新位置上。他指出：“一个数学证明将一个数学命题纳入到了一个新的演算之中，它改变了它在数学中的位置。”^［8］97也就是说，呈现命题间转换的过程，就是对命题“2×3＝3×2”的证明。按照维特根斯坦的观点，“数学证明是这样的某种东西，它向我们展示了我们所相信的东西” ^［8］102 。维特根斯坦进一步解释，这种证明方式之所以可行，是因为我们在日常生活中接受了乘法交换律，即“a×b=b×a”这一公理，并且赋予其功能，选择认为它是毫无疑问的“真理”。

在数学柏拉图主义的长期影响下，数学真理被认为是先天存在的，整个数学世界是一个有待发现的世界。数学逻辑主义部分接受了这一观点，并将逻辑推理作为发现数学真理的重要途径。与此不同，维特根斯坦认为原初的数学世界更接近于“白板”，不存在任何先天的数学真理。他并不是要否定数学真理的客观存在，相反，他认为数学真理是人类不断发明和经验积累的产物。显然，维特根斯坦的上述观点面临着一个问题，即数学证明的合法性问题。具体来说，他的证明方式能否确保其验证结果是客观的？维特根斯坦试图引入“自明的公理”来解决数学证明的合法性问题。他认为，公理的自明性源于共同体对规则的自觉遵守。展开来说，在语言实践中会形成一系列规则，而遵守规则的群体被称为共同体。在长期遵守规则的过程中，共同体间逐渐达成了某种默契：先遵守规则，然后将其规范成公理。如，计算一道规律题：Sn=2n-2（n取自然数）A与B两学生有不同答案，学生A：-2，0，2，4，6……；学生B：-2，0，2，4，8……。此时，老师需要对学生作出肯定（表扬）A同学或否定（批评）B同学的信号来训练学生，使他们意识到何种计算方式才是对规则正确的遵守，并在长期以往的训练中达到对正确规则的自觉遵守，最终确定毋庸置疑的自明公理，从而确保证明的合法性。

五、维特根斯坦数学哲学的启示

维特根斯坦将数学视为一种社会性的语言游戏，并将其与具体情境下语言的实践联系起来，从而拓展了数学的论域。数学不再仅仅是数学家们苦苦寻找的“亚特兰蒂斯”，而是与社会和生活密切相关的一部分。尽管维特根斯坦激进的数学观点与主流数学研究有所偏离，引发了诸多质疑。如，拉姆塞（Frank Ramsey）认为维特根斯坦的论证方式仅适用于简单数学命题的证明；图灵（Alan Turing）则批评维特根斯坦过分强调规则的自明性，忽视了数学和逻辑本身的客观性和精确性。然而，维特根斯坦独特的数学观点不仅深化了我们对数学的理解，还挑战了传统数学观念，这为我们在新的数学研究中提供了宝贵的启示。

其一，数学完全是人类社会的产物，是人类文化的一部分。任何试图将数学形式化、机械化的做法都是不可取的，它将指向一种数学非人化的特征，即数学不再受人类活动影响。如庞加莱（Jules Henri Poincaré）指出，如果数学仅由重复性的过程组成，那么人类从一开始就与真正新奇的事物无缘了，因为计算机完全可以取代这项工作^［10］。维特根斯坦认为，遵守规则是人类的一种实践活动，而这一过程也没有神秘之处，只是按照规则从一个命题推导至另一个命题^{［11］143-144}，而这一观点似乎表明数学仅是遵守规则的活动。就此而言，纯粹遵循规则本身就是一种形式化活动，那么用机器来代替人类也是可能的？实际上，维特根斯坦强调不能“盲目地”遵守规则，规则只有在社会实践中才具有意义，就如同名称只有置于命题之中才能谈论其意义。换言之，实践是规范地遵守规则的前提。尽管机器可以按照预先设定的程序执行，表面上是一种遵守规则的行为，但它们无法证明自己使用规则的合理性，也无法在特定情况下发展和解释规则。因此，在数学语言游戏中，遵守规则是基于特定原因和目的的行为，而拥有这种意志和目的的只能是人类。

其二，数学的清晰，离不开语法问题的消解。数学术语不表达任何东西，数学命题也不陈述任何事实，它们仅为我们提供一种语言结构。这种语言结构不是先天存在的，它不依赖于任何现有的数学实在。因而，这是一种推导、建构过程，而不是陈述过程。在此过程中，概念是逐渐形成或确定的，而不是被发现的。维特根斯坦认为，我们应该避免问“xxx是什么？”这类语法问题，因这类问题可能会误导我们认为事物之间存在共同的本质，就像认为存在某种绝对的物理测量标准一样。数学家们接受数学具有共同本质，并将其作为一劳永逸的解答，由此落入形而上学的陷阱之中。而哲学家的工作在于澄清这一误区，消解语法问题，引导受形而上学影响的人走出困境。正如维特根斯坦所述：“哲学的清晰对数学成长的影响与阳光对土豆嫩枝生长的影响是同样的（在阴暗的地窖中它们会长数米长）。”^［8］110但哲学绝不干涉语言的实际使用，它最终只能描述它。就像在《哲学研究》中提到的：“哲学恰恰只是将一切摆放在那里，它不解释任何东西而且不推导出任何东西。因为一切均已经公开地摆放在那里了，也没有什么要解释的。”^［11］91就此而言，哲学让一切保持原样，同样，它也让数学是其所是。

其三，数学的发展在主体的自主性与规则约束之间存在张力。一方面，数学探索具有高度创造性和自由度。数学家是发明者，而非发现者，没在任何外在因素迫使他们以特定的方式发展数学。另一方面，数学发展的过程中，我们总是受到某些东西的引导，这些东西就是已经实现的社会实践和语言游戏。因此，我们确实是朝着某些方向发展数学的，但这些方向又完全是主体自主的选择，因为数学的意义完全取决于我们对数学语言游戏的语法规则的实践使用情况。也就是说，在数学中，只有作为主体的“人”才能建构出新的数学规则，而这些新的数学语言规则在实践活动中不断形成，并且不断冲击着旧规则的概念范畴，最终使得数学得以发展。这种主体的自主性与规则约束之间的张力在维特根斯坦的早期著作《逻辑哲学论》中已经初见端倪。维特根斯坦认为，虽然书中已经清晰地阐明了能够表达的命题，但更重要的是那些不可言说的命题。人们总是尝试说出一些不可言说的命题，如伦理命题、逻辑命题等，正是对这些命题的言说不断冲击着我们现有的语言边界，才使得我们语言的边界能够发生变化。

综上所述，维特根斯坦的数学哲学思想是极具启发的。他通过深入研究数学语言游戏，不仅揭示了数学本身的发展，还将数学的意义置于更广泛的社会背景中。在这个背景下，数学不再仅仅是抽象的学术领域，而是与经济、政治、科学以及文化多样性密切交织在一起，反映和影响着人类社会的各个方面。

参考文献：

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［责任编辑：范 君］