高中数学主干知识复习方法探讨

摘 要：高考强调全面考查基础，加大知识覆盖面，但同时又强调，全面考查基础并不是平均用力，而是对支撑中学数学的核心知识突出考查.文章针对2023年全国高考卷中的典型试题进行阐述，以期达到提升学生数学核心素养的目的.

关键词：高中数学；主干知识；复习方法；常见题型

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0082-05

收稿日期：2024-09-05

作者简介：张小鸽（1974.8—），女，陕西省渭南人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

高中数学的核心主干知识有三角函数与解三角形、数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数等[1].那么，怎样提高主干知识复习备考的有效性呢？本文将针对2023年全国高考卷中的典型试题进行阐述.

1 三角函数与解三角形

1.1 三角求值

三角求值的解题核心是熟练掌握各类公式，并构建完整的知识网络，特别是用好单位圆、直角三角形等工具，也要注意整体思想、三角函数性质等的综合应用.

例1 若θ∈（0，π2），tanθ=12，则sinθ-cosθ=．

分析 本题考查同角关系，因为是填空题，所以可以直接利用三角形（勾股数）写出结果，

注意θ∈（0，π2），tanθ=12，sinθgt;0，cosθgt;0，所以sinθ=15，cosθ=25，则sinθ-cosθ=-55.

1.2 三角函数性质

在研究函数y=Asin（ωx+φ）的性质（单调性、对称轴、对称中心等）时往往要用到整体代换，即将ωx+φ看成整体t，转化为y=Asint形式的性质问题.

例2 已知函数f（x）=cosωx-1（ωgt;0）在区间［0，2π］有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．

分析 用整体代换求出0≤ωx≤2ωπ，再结合

y=cost的图象性质，如图1，可得

4π≤2ωπlt;6π，故

2≤ωlt;3.

注意：什么时候取等号与已知的x范围有关.

2 数列——新、巧、活

2.1 基本数列，盯紧基本量

例3 已知an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.

分析 本题明显可以直接建立方程组求基本量，再求a7，但如果注意到下标特点，可以直接转化为关于a7，q的方程组，进而简化运算.

2.2 基本问题，用好通性通法

（1）通项公式求法：常用累加法、累乘法、构造法（基本形式为an+1=qan+d）、Sn与an关系法，也可先不完全归纳然后再证明等.

（2）求和基本方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项法等.热点是错位相减法、裂项相消法.

例4 已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan．

（1）求an的通项公式；

（2）求数列an+12n的前n项和Tn．

分析 由已知易联想到an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，这里要特别关注第1项，配式相减后可转化为anan-1=

n-1n-2，然后累乘，但仔细看条件，当n=2时关系式没有意义.

这时，可以先算出a1=0，a3=2，然后当n≥3时，再累乘求解，或者注意结构特征，当n≥3时，ann-1=an-1n-2=…=a32=1，即an=n-1，再对n=1，2时都满足上式补充说明，即得an=n-1（n∈N*）.

因为an+12n=n2n，数列an+12n的通项公式结构很清晰，分子、分母分别是等差数列、等比数列，显然是用错位相减法求和，属于基本方法.

2.3 综合内容，各个击破

重点考查数学思想方法和基本思维方法，常常通过观察、比较、类比、归纳、联想、一般与特殊等综合应用.遵循“整体——局部——整体”的程序，通过分解、组合发现规律，各个击破.

例5 已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosan|n∈N*，若S=a，b，则ab=（" ）.

A.-1 B.-12" C.0" D.12

分析 本题综合考查集合元素的互异性、等差数列、三角函数性质等知识，试题自然、简洁，可以很好地考查学生的关键能力.

集合S=cosan|n∈N*={a，b}，只有两个元素，即cosan只有两个不同值.又因为cosan的周期为3，故an在一个周期内有一个角的终边在x轴上，另外两个角的终边关于x轴对称，如取a1=0，a2=2π3，a3=4π3，得ab=-12.

3 立体几何——有图想图到无图想图

3.1 玩转重要模型

立体几何中的重要模型有长方体、正方体、球体、正四面体等.

一般地，涉及长方体、正方体载体时要充分注意其对称性，特别是棱、面对角线、体对角线等数量关系或位置关系.

球的问题的核心肯定是确定球心和球的半径，球的问题常常化归为球心和其他点组成的平面或者多面体问题.解题时一般有球不画球.谨记：球不离心.

例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．

分析 本题涉及球，抓住球心、球半径即可.E，F分别是CD，A1B1的中点，以EF为直径的球面的球心是正方体的体对角线的交点，根据正方体的对称性，它到各个棱的距离相等，即以EF为直径的球实际上就是正方体的棱切球，这样显然有12个交点.

3.2 综合情境问题

解答题通常是综合性问题，基本上都是一半证明一半计算，求解的对象包括直线与平面所成角、二面角的平面角、几何体的高、线段的长、几何体的体积等.

涉及空间角的问题，在综合法视角下，就是通常所说的“一作、二证、三求”.首先概念清晰，可以先利用垂面法、定义法作出高，然后在三角形中求解，也可以考虑等面积、等体积的转化.坐标法则是法向量与法向量，或者法向量与直线的方向向量之间的运算.

注意：涉及空间角的问题，如果平面的法向量或者关键点的坐标不好求解时，也可考虑方向向量法（或基向量法）求解.

例7 如图2，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

（1）证明：EF∥平面ADO；

（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

分析 本题第（3）问的常规解法是建立空间直角坐标系，但由于求解点P坐标比较复杂，我们可以由第（2）问的信息，根据方向向量作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

如图3，过点O作OH//BF交AC于点H，设AD∩BE=G，

由AO⊥BF，得HO⊥AO，且FH=13AH.

又由（2）知，OD⊥AO，则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角.

因为D，E分别为PB，PA的中点，

因此G为△PAB的重心.

即有DG=13AD，GE=13BE.

又FH=13AH，

即有DH=32GF.

因为cos∠ABD=4+3/2-15/22×2×6/2=4+6-PA22×2×6，解得PA=14，

同理得BE=62.

于是BE2+EF2=BF2=3.即有BE⊥EF.

则GF2=（13×62）2+（62）2=53.

从而GF=153，DH=32×153=152.

在△DOH中，OH=12BF=32，OD=62，DH=152，则cos∠DOH=6/4+3/4-15/42×（6/2）×（3/2）=-22.

所以sin∠DOH=1-（-22）2=22.

所以二面角D-AO-C的正弦值为22.

4 概率与统计——注意数据整理

4.1 排列与组合，理解两个原理

深刻领会计数原理的思维模式

.要熟练计数问题的思考路径：完成什么事？分类还是分步？直接求解还是间接求解？

注意：分类做到标准统一、不重不漏，分步做到连贯、独立且互不干扰，特殊元素要优先，回归基本定理，灵活选择角度，计算细心.

例8 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

直接法：根据分类加法原理，每类选修课至少选修1门，分两类：选修2门或选修3门，故不同的选课方案共有C14·C14+C14·C24+C24·C14=64.

间接法：先考虑从这8门课中选修选2或3门，再减去只选修体育或艺术，故不同的选课方案共有C28+C38-2（C24+C34）=64.

4.2 概率与统计、概念、模型、数据处理方法

统计的研究对象是数据，核心是数据分析.但首先应是概念的理解，而不光是计算，且概念的理解是建立在具体案例上.

例9 有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（" ）.

A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差

D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差

分析 本题涉及两组数据，只要回归概念，就会发现，去掉“极端数据”后会影响平均数，一般不会相等；中位数是按顺序排列的一组数据中居于“中间位置”的数，两端各去掉一个数据并不会影响中位数；标准差反映一组数据的离散程度，去掉“极端数据”后标准差应该减少；根据极差的概念与已知条件显然D选项成立，故选BD.从以上解题过程中学生要体会统计思维与确定性思维的区别.5 解析几何——优化运算

5.1 直线与圆，回归圆心，圆不离心

试题一般不会单独考查圆，而是会结合直线、椭圆等.涉及圆的问题，无论是否提及圆心，只要从圆心出发思考问题，基本上都是一帆风顺，都是最好的视角，就是所谓的“圆不离心”“回归圆心”，而且这样往往可以优化运算.

例10 过点（0，-2）与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（" ）.

A.1" B.154" C.104" D.64

分析 将圆x2+y2-4x-1=0化为标准形式（x-2）2+

y2=5，可得圆心C（2，0），半径r=5.

如图4，过点P（0，-2）作圆C的切线，切点为A，B，分别与圆心连接，由切线与圆的性质，数量关系则一目了然.

因为|PC|=22+（-2）2=22，

则|PA|=|PC|2-r2=3.

可得sin∠APC=522=104，cos∠APC=322=64.

则sinα=sin∠APB=2sin∠APC·cos∠APC=154.故选B.

5.2 圆锥曲线客观题，回归概念与性质

解析几何的客观题一般具有“重概念考性质”的特点，求解时只要从概念和性质出发，往往可以准确确定有关的基本量a，b，c，p，e等，从而尽量减少运算.

例11 设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（" ）.

A.（1，1） B.（-1，2） C.（1，3） D.（-1，-4）

分析 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则有x21-y219=1，x22-y229=1，两式相减，得y1-y2x1-x2=9x0y0.

可以看到中点坐标的比值与斜率有关，那么直线的斜率要满足什么条件？从选择支的特点可以发现，A，B两点应在双曲线左、右两支上，而双曲线的渐近线方程为y=±3x，所以满足条件的直线斜率的取值范围是-3lt;kABlt;3，即-3lt;9（x0y0）lt;3.

所以-13lt;x0y0lt;13.故选D.

5.3 解析几何解答题，优化运算

优化运算需要从问题转化与运算途径两个方面进行.一方面是充分利用几何性质将几何问题翻译为代数问题，以期达到减少运算；另一方面是选择运算途径，为此，就要盯紧方程、方程的根及其相关算理，结合方程与函数的联系及几何特征，精准设计运算程序，在细节上下功夫，优化运算.

例12 设椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1.

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．

分析 本题第（2）问的传统解法，是先设直线A2P的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理得

xA2·xP，进而得到点P和点Q坐标，再由S△A2QA1=S△A1PQ+S△A1A2P=2S△A2PF+S△A1A2P得2|yQ|=3|yP|，最后得到关于k的方程，解出k，代入直线A2P的方程得到答案.

事实上，我们可以充分利用三角形面积之间的关系得出点P的横坐标，代入椭圆方程得出点P的纵坐标来解决.

由第（1）问可得|A2F|=14|A1A2|.

所以S△A2PF=

14S△PA1A2.

又S△A1PQ=2S△A2PF，

所以S△A1PQ=12S△PA1A2.

所以|PQ|=12|PA2|.

设P（x0，y0），当x0lt;0时，PQ=12PA2，此时P与A1重合，不合题意；

当x0gt;0时，QP=13QA2，所以x0=23，代入椭圆方程得P（23，±263），

因此kA2P=±62.

所以直线A2P的方程为y=±62（x-2）.

6 函数与导数——坚定函数思想

6.1 理解概念，活用已知在复习过程中，熟练掌握常见函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等基本性质，要从模型背景、研究方法、个性特征、渐近线、重要切线、性质应用等方面进行全面深入的复习.

例13 已知f（x）=xexeax-1是偶函数，则a=（" ）.

A.-2"" B.-1"" C.1"" D.2

分析 题目给出了函数的奇偶性，虽然可以直接利用定义形式f（-x）=f（x）求解，但代数式变形比较复杂.若从函数特征入手，解析式的分子、分母同除以ex，转化为熟悉的函数形式，即f（x）=xexeax-1=

xe（a-1）x-e-x，由于f（x）是偶函数，则g（x）=e（a-1）x-e-x必需为奇函数，因而a-1=1，即a=2.故选D.

6.2 熟练通法，探索未知

课本通过研究几种基本函数给出了研究函数的途径与方法，要在复习过程中深入理解.研究函数有两个视角：“数”与“形”，研究程序首先是定义域，其次是对称性，这样可能事半功倍.

例14 设a∈（0，1），若函数f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是.

分析 由题意可知，原问题等价于，在（0，+∞）上f ′（x）=axlna+（1+a）xln（1+a）≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得（1+aa）x≥

-lnaln（1+a）在（0，+∞）上恒成立.

而a∈（0，1）时，函数y=（1+aa）x在（0，+∞）上单调递增，

所以（1+aa）0=1≥-lnaln（1+a）.

由于a+1∈（1，2），ln（1+a）gt;0，所以有ln（1+a）gt;-lna，0lt;alt;1.解得5-12≤alt;1.

7 结束语

总之，不论高考数学如何改革，数学教学的根本任务是发展学生的数学思维能力，这一点永远都不会变.只有学生的数学思维能力提高了，学生真正理解了数学，才能以不变应对高考的变化.以上就是对高中数学主干知识复习有效性方面的探究，期待这些想法能够为即将参加高考的师生提供一些启示.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］