多层次实践促数学理解进阶

［摘 要］ 文章以“三角形的三边关系”为例，将数学理解分为五个层次水平，从尺规作图感悟、分析推理归纳、据于事实验证、变式练习内化、生活实例延伸等不同角度设计多样数学学科实践活动，促进学生数学理解进阶。

［关键词］ 多层次实践；数学理解；进阶

数学理解是学生在经历对数学对象的理解性学习后，形成对数学对象及其知识外延的本质性认识，从而能够描述相关数学对象的内涵、区别、联系，形成数学对象的知识网络，实现将数学对象应用于问题的发现与解决中［１］。在众多数学能力中，数学理解处于核心地位，它既是教学目标，也是一种教学手段，对学生核心素养的培养有着至关重要的作用。王瑞霖和綦春霞认为，数学理解不简单等同于对数学的理解，而是一种理解数学的能力，它既是学习过程，也是学习结果。结合这些专家学者的观点，笔者将数学理解分为经验表象理解、形式解释理解、结构关联理解、迁移创造理解与数学文化理解五个层次，并努力探索促进学生理解进阶的有效策略。

笔者结合“三角形的三边关系”教学实践，谈谈如何通过多层次数学实践活动来促进学生理解进阶。

一、尺规作图感悟关系，形成经验表象理解

小学生的思维形式多以形象直观思维为主，可以借助情境、实物、图形、动作等方式进行数学理解。在学生头脑中保留直观形象的理解是表象理解，是培养数学理解能力的第一阶段。

“三角形的三边关系”是在学生认识三角形的特征、会画底和高的基础上进行学习。根据本节课的知识体系，笔者先创设了从体育中心去羽毛球馆选择路径的情境，引出“两点之间线段最短”，找到三角形三条边之间的一种关系，为后续的学习打下基础。然后，笔者设计了一项即时性的操作实验：三条同样长的线段，能围成三角形吗？请从四条不同长度的线段中任选一种，用直尺和圆规画一画。学生进行尺规作图，发现三条同样长的线段都能围成三角形。在此基础上，笔者引导学生进一步操作实验：三条不同长度的线段，能否围成三角形？请从四条线段中任选三条，用直尺和圆规画一画。结合操作实验，笔者让学生一边展示，一边思考：为什么有的线段能围成三角形，有的线段不能围成三角形呢？借助展示活动，学生初步发现所选线段能否围成三角形与线段的长度有一定的关系。

在这个环节的教学设计中，教师引导学生充分借助情境和生活经验思考，合理利用多元表征，让学生初步感知三角形的三边关系。传统教学中教师会引导学生借助小棒进行操作分析，但因为实物操作会造成一定的误差，对实验数据造成不必要的干扰。本课教师引导学生利用尺规作图，使活动更加严谨，让学生在画弧的操作中直观地感受交点的情况决定能否围成三角形。这样既丰富了学生头脑中的数学概念，发展了几何直观，又在真实情境的探索中激活学生对数学概念的经验表象理解。

二、分析推理归纳关系，形成形式解释理解

学生对数学知识的理解是循序渐进的，教学中教师要注意学生思维活动的规律性，引导学生由浅到深地分析、推理，学会数学方法中的“理”。学生通过对经验理解的整理、组织、建构、重新表征，剔除数学问题的非本质属性，以形式化的语言表述数学对象，能获得对数学对象的本质认识。“形式解释理解”注重数学知识的生成过程，让学生感受数学思想和方法，表现为“知其所以然”。

在本课教学中，笔者引导学生借助两次尺规作图操作实验活动，进行适度的数据分析和逻辑推理，从而理解、内化三角形的三边关系。学生围绕“能围成三角形的三条线段有什么共同的特点”这一主探究问题开展推理活动，结合尺规作图结果与算式表达发现能围成三角形的三条线段，两条较短线段长度的和大于最长的线段。这一结论不具有一般性，笔者引导学生回顾操作过程，理解“两条较短线段长度的和大于最长的线段”实际上是“任意两条线段长度的和大于第三条线段”。为了让逻辑更加严谨，教师要引导学生解释不能围成三角形的情况，得出不是任意两条线段长度的和大于第三条线段，就不能围成三角形。在笔者引导下，学生进行语言转换，得出“三角形任意两边长度的和大于第三边”这一最终结论。

本环节是整节课的难点，学生从严密的逻辑推理中发现关系。通过问题链分析归纳数学规律，从“一般”到“特殊”再到“一般”，两次“回头看”，将两个活动结果巧妙地联结起来，通过问题将知识关联，将看似毫无联系的数学分支进行逻辑建构。学生能独立思考，借助几何直观进行观察、分析、推理、概括、表达，展开丰富的直观推理，思维严谨，逻辑性强。这个阶段的学生已经脱离了经验认识，上升到形式认识，对数学理解的认识从表面的浅层次提升为核心的深层次，深入到数学的原理层，在知识的提炼中生成形式解释理解，但尚未具备将知识形成完整认知框架的能力。

三、据于事实验证关系，形成结构关联理解

史宁中教授说：“真正的理解是将数学知识聚合起来，以网络结构的形式呈现。” 建构主义强调现实与意义是主体用意识主动建构，强调学习主体的知觉性，主张“学习”是学生认知结构的修正与重建［２］。经过前两个阶段的剖析、推理、加工，学生具备以逻辑方式思考问题、运用几何直观分析问题的能力，但用的是不完全归纳的方法。教师要引导学生追溯数学对象的本质，重点关注核心概念和方法，让学生将零散的知识进行补充、重组，整合成新的结构网，形成数学概念图式，达到结构关联理解的程度。

本课教学中，为了使结论更具一般性和严谨性，笔者一方面借助几何画板，任意拉动顶点，使之变成不同形态的三角形，让学生通过举例论证发现不管是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，三角形的三边关系始终不变；另一方面，笔者结合课始情境，三次变换两点让学生进行观察，并用“两点之间线段最短”这一基本事实论证关系，经历演绎推理过程，使结论更加严谨且确定。

学生在不完全归纳的基础上辅以演绎推理的佐证，将三角形的三边关系与“两点之间线段最短”相结合，在推理中实现数学理解的一大飞跃。这一层次的学生已经学会在数学知识和技能的相互联系中寻找问题的本质，从语义理解上升为知觉理解，理清知识间的横向和纵向联系，由知识点走向知识线、知识面，将杂乱的知识点与关联知识进行联结整合，建构成知识体系和模型，在数学联系中完成数学理解，促进深度学习，发展核心素养。

四、变式练习内化关系，形成迁移创造理解

曹培英教授认为：“数学理解的最高水平应该是迁移和运用，而不是回忆再现，学生能够将数学观念运用在新的数学情境中，举一反三。”“迁移创造理解”注重的是数学知识的迁移和拓展，具有创新性，学生能够依据已有经验，在未知中寻找已知，挖掘新旧知识的联系点，自主选择数学方法和策略，积累过程性经验，获得结果性经验，从而领会新知识。

在练习应用阶段，笔者安排了两道练习。第一题是判断给出的哪组线段可以围成一个三角形，通过想象尺规作图结果，说明判断理由。为了增强学生的理解，笔者在此基础上增加变式：“2cm、2cm、5cm这组线段，改变其中一条线段的长度，使它们围成一个等腰三角形。”学生思考等腰三角形的特征，很快得出结果。

第二题：三角形中两边的长分别是12厘米和8厘米，第三条边的长可能是多少厘米？题目意在引导学生灵活运用三角形的三边关系，不仅要考虑整数，还要考虑小数，从而发现第三条边的长度有一个范围。在此基础上，笔者结合动画演示使学生深刻、清晰地感受到第三条边长的无数可能性。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学知识的教学要注重知识的“生长点”与“延伸点”，在完整的知识28sbL+sd8DV93wcJ5G+1yw==体系中思考新知识，注意数学的整体性，多样、多元、多维地理解数学。学生在面对第一题的变式时，把握三角形的三边关系这一本质规律，结合三角形的基本特征，对学习经验深度调动，能够轻松地自主解决问题。在第二题的追问中，学生将“两边之和大于第三边”顺利迁移到“两边之差小于第三边”，虽不能严谨地表达规律，但能通过图形明白道理，主动对新观念拓展应用。学生掌握了学习知识的方法，是学习内化的表现，能使理解得到延伸、同化、创新，提升应用意识和创新意识。

五、生活实例延伸关系，形成数学文化理解

达成“数学文化理解”能使学生对数学规律背后蕴含的文化有一定的认识与感悟，积累认知经验，形成思想方法，完善知识体系，同时还能发展抽象逻辑思维能力、创造与应变能力，提高运用数学知识解决生活的复杂问题的意识和能力。为了深入理解数学文化，教师要引导学生将数学与生活紧密关联，让数学回归生活，在生活应用中感受数学文化。

为此，笔者拓展延伸了第二个练习：在一个三角形中，一条边的长为12厘米，其余两条边的长度和是14厘米。这两条边的长度分别是多少？学生自由表达：可能是7厘米和7厘米，也可能是6厘米和8厘米。因为学生有了上述练习第二题中“无数种可能”的经验，于是笔者追问“这些答案中有没有隐藏的规律呢”，这个问题能激发学生从整体性上来思考问题、发挥空间想象能力。笔者再结合动画演示把三角形的第三个顶点连起来得到一个椭圆，并播放木工师傅画椭圆的视频，让学生感悟数学的神奇，体会数学来源于生活又应用于生活。

本环节教师借助生活实例为学生搭建了理解性学习的平台，由顺向思维转变为逆向思维，将三角形三边关系的原理通过生活中画椭圆的形式表现出来，为学生思维的延伸提供了支架。这样既实现了数学知识的应用，又将学生的学习推向更深层次的文化理解，发展了学生创造美的能力。

数学理解的五层“进阶”的各个阶段都指向学生核心素养的发展。学生数学理解的进阶不是一蹴而就的，是在学习过程中不断实现的结果，具有层次性、过程性、概括性。在素养为本的背景下，教师要厘清核心知识，重视结构分析，紧密结合原有认知，设计多样化的数学实践，引导学生在操作实践、直观想象、推理分析中将数学对象结构化，拓展知识体系，解决现实问题。

参考文献：

［１］ 王瑞霖，綦春霞. 数学理解的五层递进及教学策略［Ｊ］. 中国教育学刊，２０１４（１２）：４０－４５.

［２］ 荀步章. 数学理解：发展学生核心素养的教学策略［Ｊ］. 中小学教师培训，２０２２（１２）：５３－５７.