关注过程教学 发展模型思想

［摘 要］ 在小学阶段渗透模型思想可以有效训练学生的数学逻辑思维，发展学生的建模能力。文章以“平行四边形的面积”教学为例，探讨发展学生模型思想的教学策略：创设情境，激发学习兴趣；自主探索，初步感知模型；合作学习，不断优化模型；问题解决，应用数学模型；总结提炼，形成模型思想。

［关键词］ 思维；模型；教学

模型思想的应用越来越广泛，如小学数学中的几何图形、数与代数的方程、统计图表、综合实践中的数量关系等都可从模型的角度进行解释与分析。模型思想是一种将抽象的问题变得公式化、具体化的数学思想，对解决实际问题具有重要意义。事实证明，只有学生深入到“建模”层面的学习，才称得上真正意义上的学习。

一、创设情境，激发学习兴趣

兴趣是学习最好的老师。学生对所学知识或材料保持良好的兴趣，可在学习过程中获得更多的乐趣。课堂起始阶段，教师创设丰富的教学情境能有效驱动学生深入研究的内驱力，从而对问题产生浓厚的探索欲。因此，良好的情境具有激趣启思、激励与引领的作用，学生从具体的情境中不仅能抽象出数学问题，还能对数学模型产生初步感知。本节课，教师在课堂伊始创设了一个情境，促使学生对平行四边形的面积产生研究兴趣。

情境：图1是两块地，哪块地的面积大？理由是什么？

生1：我选平行四边形地，长方形地的面积为30×16=480m2，平行四边形地的面积为30×20=600m2，显然平行四边形地的面积更大。

师：有没有同学有不同的看法？

生2：长方形的面积为长乘以宽，这个毋庸置疑，平行四边形的面积用底边乘以斜边好像不太妥当。

师：你认为平行四边6181FeAwBgs53/cidcnkAg==形的面积该怎么求？

生2：可能是底边乘以高。

师：有点意思，究竟该怎么求平行四边形的面积呢？

学生沉思，教师趁机揭示本节课的教学主题——平行四边形的面积。

设计意图：教师以两块地面积的比较为情境，在与学生积极互动中揭示本节课的探索主题。这种方法比直接呈现两张图形来得丰富、有趣，而且该情境处于学生“最近发展区”，能顺利激活学生的思维，让学生产生探索的内驱力。问题情境没有直接给出平行四边形的高，这一点成功激发了学生的认知冲突，进一步活跃了学生的思维，让学生对平行四边形的面积公式形成探索动力。

二、自主探索，初步感知模型

数学学习的最佳途径是引导学生自主发现并建构新知。如何激活学生已有的认知经验，引导学生积极探索和大胆地表达自己的观点呢？这就需要教师将课堂的主动权交给学生，鼓励学生积极探索，以初步感知数学模型，为后续建构并完善模型思想夯实基础。

师：请大家取出课前自制的长方形框架，轻轻拉动，看看有什么发现。（学生操作）

生3：结合操作过程，我认为平行四边形的面积肯定不是底边与邻边的乘积。

师：哦？说说你的理由。

生3：如果平行四边形的面积为底边与邻边的乘积，那么平行四边形不论怎么变形，它的面积不变。但实践告诉我们，平行四边形变形后，其面积会发生改变。

师：这是一个很有价值的发现，值得研究。那么平行四边形的面积是否为生3所认为的底边乘以高呢？我们该如何确定这个结论是否正确？

生4：对于这个结论，我们可以借助平行四边形的纸片来验证。

设计意图：当学生的意见产生分歧后，教师并没有直接给出结论，而是引导学生以自主操作的方式来感知说法是否正确。学生通过扯动平行四边形框架直观感知平行四边形的变与不变，从而对与面积相关的条件产生初步感知，同时明确“底边与邻边相乘”不是平行四边形的面积计算公式。那么平行四边形的面积公式究竟是否为底边与高相乘呢？这就需要学生进一步探索与验证。学生的思维在探索的逐层深入中逐渐趋向成熟，平行四边形的面积公式模型也在探索中现出雏形。

三、合作学习，不断优化模型

新课标背景下的数学教学非常注重学生在课堂中的合作交流情况，学生在合作过程中释放自己的想法，进行思维的碰撞，可不断优化对问题的认识，提高学习能力。基于以上探索，学生初步形成自己的看法，即平行四边形的面积计算为底边与高的乘积。这种猜想是否准确，教师可以引导学生通过合作学习的方式来探索。

合作内容：用平行四边形纸片验证平行四边形的面积计算是否为底边与高的乘积。

合作交流后，各组学生汇报结论。

组1：我们组经过合作交流，认为平行四边形的面积计算应该是底边与高相乘，具体探索过程为：沿着平行四边形的一条高剪开，获得一个直角梯形与一个直角三角形，将该三角形的斜边与梯形的一条斜腰拼接在一起，就获得一个长方形。长方形的面积计算公式为长乘以宽，而该长方形的底边就是平行四边形的底边，宽为平行四边形的高。由此可确定平行四边形的面积公式为“底边×高”。

各组学生点头，表示同意该组的看法。

师：还有其他探索方法吗？

组2：我们沿着平行四边形的一条高剪下，形成两个直角梯形，将两个梯形的斜腰拼接在一起形成一个长方形。同样，长方形的长与宽分别对应平行四边形的底边与高，根据长方形的面积计算公式可知平行四边形的面积计算公式为“底边×高”。

其他学生赞同组2的方法，教师要求学生说一说这两组的探索方法存在的共同点。

生5：这两种探索方法都是通过“剪拼法”将平行四边形转化成长方形，即化未知为已知，然后得出结论。

师：不错！大家在剪的过程中，都是沿着平行四边形的高剪的。可以随意剪吗？

生6：那肯定不行，随意剪就无法拼成长方形了，如果拼成奇奇怪怪的图形，依然无法获得其面积。

设计意图：合作学习是核心素养背景下的重要教学模式之一。此环节，教师鼓励学生自主剪拼平行四边形，不仅锻炼了学生的动手操作能力与思维能力，还让学生在合作中发展了团队协作精神。学生存在个体差异，虽然在合作中出现思维水平参差不齐的情况，但学生在互帮互助中不仅深化了对平行四边形面积公式的理解，还学会应用转化思想提炼基本的数学模型，获得建构数学模型的基本思路。

四、问题解决，应用数学模型

学以致用是数学教学最直接的目的，如何将建构的数学模型——平行四边形的面积公式灵活地应用在实际问题中呢？虽然学生通过丰富的情境、自主探索与合作交流初步建构了数学模型，但是学生要将它应用在解题中，这是扩充与提升模型的过程，也是发展解题能力与创新意识不可或缺的重要环节。

本节课，教师可以引导学生从三个方面开展模型的应用。

1. 用模型解决简单问题

师：如果想求一个平行四边形的面积，需要明确它的哪些条件？

生7：底边与高。

师：很好，现在我们就利用平行四边形的面积公式来计算下列图形的面积。（多媒体展示图2、图3）

这两个问题的难度系数较小，学生根据平行四边形的面积公式，很快计算出图2所示的平行四边形的面积为40cm2，图3所示的平行四边形的面积为9×3=27（cm2）。

师：现在我们来看张大伯的菜地，大家明确哪块地的面积大了吗？（多媒体展示图1）

生8：结合平行四边形的面积公式，可知这两块菜地的面积都是30×16=480（m2），因此这是两块一样大的地。

设计意图：低起点的问题巩固了学生对平行四边形面积公式的认识；菜地问题与课堂开始遥相呼应，让学生体验如何将公式应用在实际问题中，为解决更多、更复杂的问题奠定基础。

2. 用模型解决复杂问题

师：如图4所示，请大家尝试自主计算各平行四边形的面积。

生9：最左边的平行四边形面积为1×2=2（cm2）。

师：请你到讲台上来指一指这个平行四边形的底边与高，并说一说你是怎样找到它的底与高的？

生9（边指边说）：该平行四边形的两条底边正好在两条平行线上，那么它的高就是平行线之间的距离。

师：很好！其他两个平行四边形的面积分别是多少呢？

生10：还有两个平行四边形的面积均为1×2=2（cm2）。

师：你们从这道题的分析与解决中，有什么新的发现吗？

生11：这三个平行四边形具有等底等高的特点，同时它们的面积也相等，由此可确定等底等高的平行四边形的面积相等。

生12：本题告诉我们，两条平行线之间存在无数个面积相等的平行四边形。

设计意图：在解决问题的过程中，学生能从中提取有用的信息，获得相应的结论。如此设计，一方面促使学生积极开动脑筋，让学生自主用模型解决一些稍显复杂的问题；另一方面提高学生学习的积极性，让学生在解题中感知模型解题的便利。

3. 用模型解决实际问题

师：为了节约用地面积，又便于车主停车，现在很多商场都将停车位设计成平行四边形。如图5所示，你们会计算这个停车位的面积吗？

生13：根据题意，列式为6×4.8。

生14：不对不对，这个底边与高不配套。

师：请再说清楚一些。

生14：4.8这条高并不在6这条边上，因此不好将它们相乘。

师：那什么情况下的底和高可以相乘获得面积呢？

生15：只有在底边与高互相垂直，即对应的情况下，才能应用公式计算面积。

师：不错！请大家观察图6，此时可以计算该平行四边形的面积吗？说明理由。

生16：可以，用4×4.8，因为这两个数据是平行四边形中相对应的底边与高。

设计意图：教师引导学生应用公式模型解决实际问题可进一步夯实其知识基础，提高其辨析能力。学生对公式的应用形成完整的认识，这对发展学生的数学应用能力与逻辑思维能力具有重要意义。

五、总结提炼，形成模型思想

在总结阶段，教师要求学生回顾本节课学到的知识、应用的研究方法以及数学思想等，以帮助学生完善知识结构和提炼模型思想，为后续研究三角形、梯形、圆的面积等夯实基础。

总之，学生的数学模型思想不是一朝一夕就能形成，需要经历一个漫长的过程。教师应着眼于学情与教情，引导学生经历独立思考、合作探索与问题解决等过程，发展学生的数学思维、模型思想和核心素养。