一致性视角下“数与运算”单元整体教学

［摘 要］ 教师要基于“一致性”视角实施“数与运算”板块的教学，要以“大概念”为统领、以“结构化”为灵魂、以“深应用”为旨归，帮助学生建立整体性观念。教师在教学中要优化学生的学习路径，催生学生的学习迁移，让学生在学习过程中感受、体验“数与运算”的一致性。一致性视角下的“数与运算”教学，能让学生的数学认知更深刻、数学探索更精彩、数学体验更深入，能提升学生的数学学习效能，让学生获得整体性数学素养的提升。

［关键词］ 小学数学；“一致性”视角；数与运算；单元整体教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出：要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性。基于这样的课程目标以及教学要求，笔者在教学“数与运算”板块时，基于“一致性”视角实施单元整体教学。尽管“数与运算”板块分散在不同年级的教材中，但其内在本质具有一致性。实践证明，“一致性”视角下的“数与运算”单元整体教学不仅能让学生认识“数”“运算”等数学知识的内在本质，也能够让学生感受、体验“数”“运算”“数与运算”等知识的内在关系。“一致性”视角下的“数与运算”教学能提升学生学习效能，让学生获得数学素养的整体性提升。

一、以“大概念”为统领，建立学生学习观念

“一致性”视角下的“数与运算”教学根本性的价值取向在于引导学生建立“知识整体观”“方法整体观”“思想整体观”。整体观是一种大局观念，是一种层次性、结构性、系统性的观念。在教学中，教师要引导学生建构数学学科的知识模型、方法模型，将数学思想贯穿学生学习的始终。在教学中，教师的着眼点不能局限于“某个知识点”“某节课”“某个单元”，应致力于引导学生建立“一致性”“普适性”的数学模型，让学生开展整体性、系统性的数学思考，掌握结构性、系统性的数学方法、思想等。

比如，教学“分数的意义和性质”这一单元的第一课时“分数的意义”，教师应引导学生夯实对“分数的意义”的认识，为学生后续学习相关内容，如“真分数和假分数”“分数的基本性质”等奠定基础。为了让学生深刻理解“分数的意义”，笔者不仅唤醒、激活学生的已有知识经验，如“平均分”“平均分的份数”“表示的份数”等，还将“整数”“小数”等内容引入教学，让学生探讨其组成。在教学中，笔者引导学生追根溯源：人类为什么要创造分数？人类怎样创造分数？人类创造分数与整数、小数有什么相同点？然后，笔者引导学生结合“计数单位”来理解分数的意义，让学生从数的形成、发展以及数的表达中感受、体验整数、小数、分数的意义的一致性：即所有的数都可以看成是“计数单位的累积”，让学生结合“计数单位的不同”以及“计数单位的个数的不同”建立整体性的“数”的概念。这样，学生能够深刻认识到：对一个物体、一些物体组成的整体进行平均分，正是为了构建“计数单位”；其中“平均分的份数”能表征“计数单位是什么”，“表示的份数”能表征“有多少个这样的计数单位”。这种基于“一致性”的数的认识的教学既为学生学习“数的运算”的教学奠定了基础，也为学生后续学习其他的“数”奠定了思想性、方法性的基础。学生在后续学习“百分数的认识”时，就会积极主动地思考：百分数的计数单位是什么？百分数的计数单位是怎样产生的？百分数有多少个这样的计数单位？可以这样说，教师正是借助“计数单位”这一核心概念，让学生建构起整个“数的认识”的知识体系。这样的“一致性”教学，能帮助学生建立整体性、系统性、结构性的“数”的观念。

以“大概念”为统领实施单元整体性教学时，教师不能囿于“本单元”，应结合其他相关单元知识进行思考、探究。在小学数学学科“数的认识”教学领域，“单元整体”教学要求教师在“整数的认识”教学中渗透、融入“数的一致性”观念；在“小数的意义”“分数的意义”教学中，教师应有意识地强化“数的一致性”观念。这样，学生对“数的认识”就能走向深刻、走向深度。

二、以“结构观”为灵魂，优化学生学习路径

“一致性”视角下的单元整体教学不仅要以“大概念”为指导，而且要以“结构观”为灵魂优化学生的数学学习路径。教师要以“结构观”为灵魂，从连续性的视角处理学生数学学习的“目标把握”“内容衔接”“知识改造”。教师要积极主动地唤醒、激活学生已有的知识经验，同化或顺应数学新知，从而将数学新知纳入学生已有的认知结构，建构一个统摄力更强、更广的知识体系。在这个过程中，教师要促进学生积极主动地迁移、类比、对照，鼓励学生积极主动地梳理、分类、整合，帮助学生建立一个多层次的数学认知结构。

比如，“分数的加法和减法”这一单元主要包括三个部分内容：一是“同分母分数加减法”，二是“异分母分数加减法”，三是“分数加减法混合运算”。这三个部分内容的本质、内核具有一致性，那就是“只有计数单位相同才能直接相加、减”。由此，在教学中教师可以自然引出的一个问题：计数单位相同吗？怎样才能让计数单位从不同变为相同？

基于这样的一种“结构化”的认知，笔者在教学中对学生的学习路径进行这样的预设、规划：将第一课时“同分母分数加减法”和第二课时“异分母分数加减法”统整为一个课时。实践证明，这样的整合性教学是一种优化的教学路径，也是最佳的教学路径。教学伊始，笔者首先出示一些算式，其中有同分母的分数算式，也有异分母的分数算式，由此激发学生的认知冲突：异分母的分数如何相加减？能转化成同分母的分数吗？这样就会自然地唤醒、激活学生的已有知识和经验——“通分”，引导学生将“异分母分数化成同分母分数”，并进行“同分母分数相加减计算”“异分母分数相加减计算”以及“分数加减法混合运算”。在计算的过程中，为了进一步优化学生的认知结构，让学生建立“数的运算”的一致性观念，笔者在教学中引入“整数加减法”“小数加减法”，由此自然引发学生深刻的思考：整数加减法、小数加减法、分数加减法有什么相同点？在结构化的认知基础上，学生会积极主动地比较它们的“计算法则”：为什么要末位对齐、小数点对齐、分数单位相同？它们背后的共同算理是什么？通过比较，学生发现尽管整数、小数和分数的计算法则的形态各异，但是其内在本质具有“一致性”；整数加减法的法则强调的“末位对齐”、小数加减法的法则强调的“小数点对齐”、分数加减法的法则强调的“分数单位相同”，本质上都是“计数单位相同”。由此，“计数单位相同”就成为学生建构“数的加减法”运算的“大概念”，成为学生“数的加减法”运算结构的核心点。

教师要以“结构观”为灵魂，催生学生完善数学学习路径和优化学习策略。在教学中，教师要积极主动地提炼“核心概念”，围绕“核心概念”建构数学知识结构，完善自我的认知结构。以“结构观”为灵魂能促进数学学科知识整合，促进学生数学学科认知融合。教师要自觉引导学生整体性建构、方法性迁移，促进学生的认知、思维进阶。在小学数学教学中，教师要给学生一个知识结构、方法内核，让学生拥有一个学习的工具，让其积极探究，进而能感受、体验数学学习的快乐。

三、以“深应用”为旨归，催生学生学习迁移

“一致性”视角下学生数学学习的过程是一个“学结构—用结构”的过程。在小学数学“数与运算”单元整体教学中，教师要以“深应用”为旨归，简教深学，促进学生的学习迁移。“简教”要求教师自觉地“教结构”，而“深学”要求学生自觉地“学结构”“用结构”。“简教深学”要引导学生积极主动地回顾、反思，催生学生积极地联想，让学生积极主动地完成知识建构、知识迁移、知识应用。通过知识应用，让学生“学用结合”“学用相融”，为学生的整体性、系统性、结构性的思维、认知的发展提供无限可能。

比如，“分数乘法”这一单元主要包括“整数乘分数”“分数乘整数”和“分数乘分数”等相关内容。其中，在教学“分数乘整数”以及“整数乘分数”的时候，笔者引导学生从“乘法的意义”出发，让学生自主建构“算法法则”。从乘法的意义看，“乘法”是表示“相同加数的和的简便运算”。无论是整数乘法、小数乘法，都是“计数单位的累积”。为此，笔者在教学“分数乘分数”这一部分内容时，不仅引导学生从“分数乘法”的意义即“求一个数的几分之几是多少”出发，让学生画图探索，而且引导学生从“乘法”的本源出发，将“整数乘法”“小数乘法”的计算引入其中，让学生借助“乘法运算的一致性”进行探索。比如引导学生认识“0.3乘0.5”就是“3个0.1乘5个0.1”，就是“15个0.01”。其中，“计数单位乘计数单位得到新的计数单位”“计数单位的数量乘计数单位的数量得到新的计数单位的数量”。有了这样的认识，学生就会积极主动地探索“分数乘分数”的计算法则，如“×”可以看成是“3个”乘“2个”。其中“分数单位乘分数单位得到新的分数单位”“分数单位的数量乘分数单位的数量得到新的分数单位的数量”。这种基于“一致性”视角下的“分数乘法”法则，学生不仅能自主建构，而且能夯实稳固的心理图像。有了这样的一致性认识后，学生就能将“乘法的运算”法则统一起来。

在教学“分数除法”的计算法则时，笔者引导学生立足于“计数单位”，让学生建构出这样一种计算法则：同分母分数相除，就是用计数单位的数量相除；异分母分数相除，就是先将异分母分数转化成同分母分数，然后再用同分母分数的计数单位的数量相除。学生在应用中发现，这样的“分数除法”法则计算与教材中分数除法法则即“甲数除以乙数等于甲数乘乙数的倒数”的结果是相同的。相较而言，基于“一致性”视角下的“分数除法”法则，对于学生来说更具有亲和力、亲近感。

在“数的运算”板块的教学中，笔者围绕“计数单位”引导学生探求计算法则的内在一致性。这种“数的运算”的计算法则的一致性和“数的认识”知识板块中的数的本质的一致性，都是建立在“计数单位”基础上的。“计数单位”是“数与运算”整个体系的“基石”。教师围绕“计数单位”开展“数与运算”板块的单元整体教学，必然让学生的数学认知更深刻、探索更精彩、感受与体验更深入。

在数学学科中，“数的认识”知识板块是一个有机的整体，“数的运算”知识板块是一个有机的整体，“数的认识”和“数的运算”也是一个有机的整体。从本源上看，“数的认识”和“数的运算”的一致性是“数系扩张”的必然结果。“数系扩张”要遵循“因袭性原则”，也就是说，扩张前的数集必须是扩张后数集的“真子集”。扩张后的数系无论是数的概念、性质还是运算的定义、性质等，都必须承袭扩张前的数的概念、性质以及运算的定义、性质等，这正是教师在教学中强调“数与运算”一致性的根本性、深层次的原因。