以知识为始，以思维为终，落地深度学习

［摘 要］ 特级教师刘德武在数学课“知识与思维”的教学中，引导学生经历数学思考的过程，让学生掌握概括、设数、分析、形感、排除和假设等数学思维方法，从而实现深度学习。

［关键词］ 数学知识；数学思维；深度学习

联合国教科文组织提出面向21世纪教育的四大支柱是学会求知、学会做事、学会共处、学会生存，而学会求知的关键在于人们要学会思维的方式。在数学课堂中，部分教师非常关注学生对数学知识的掌握程度，忽视其数学思维的形成过程，导致部分学生只知道怎么解题，不知道为什么这样解题。近期，笔者在“现代与经典”教研活动中聆听了特级教师刘德武的数学课“知识与思维”，刘老师以专题知识的形式让学生经历数学思考的过程，掌握概括、设数、分析、形感、排除和假设等数学思维方法。

一、片段一：从“两个数相加”中学会概括

师：（出示课题“知识与思维”）同学们，我们为什么要上这节数学课？猜一猜这节课要研究什么？解决什么问题？

生1：为了获得更多的数学知识。

师：我们要研究数学知识背后的思维含量。（板书：既要学会数学知识，更要学会数学思维）很多同学上课的时候特别注重这节课学什么知识，这个习惯很好；但是任何一个数学知识背后都有相应的数学思维，这是特别重要的。这节数学课我们就来研究数学思维。（出示题目：□□□＋□□□=1000）两个三位数相加等于1000，你们能举个例子吗？

生2：500＋500=1000，800＋200=1000。

师：满足条件的加法算式有很多，现在要求方框里不能有0。老师出第一个加数，你们来说第二个加数，好吗？我说第一个加数是111，第二个加数是多少？（全班学生说889）我说第一个加数是257，第二个加数是多少？（全班学生说743）这样的算式有500多道，下面我们做一件事情来“概括”，你们知道是什么意思吗？

生3：就是把一段很长的文字概括成很简短的一段文字。

师：现在我们不举例了，你们能不能用概括的语言说一说怎样的两个数加起来是1000？

生4：这两个数的百位和十位相加是9，个位相加是10。

师：掌声送上。（板书：概括是数学思维的高级形式）同学们，一起来读一读。（出示题目：0.□□□＋0.□□□=1）我们不举这道题的例子了，这两个加数有什么特点？

生5：十分位和百分位两个数位相加得9，而千分位的两个数位相加得10。

师：掌声送上。（出示题目：0.□□□□□□□□□□□□＋0.□□□□□□□□□□□□=1）

生6：除了最后一位加起来等于10，前面加起来都等于9。

师：不管它前面有多少位，只管最后一位就行了，这就是高度的概括。

赏析：在这个教学片段中，刘老师开门见山地出示课题，告诉学生数学思维的必要性和重要性。以“两个数相加”的专题学习为例，学生经历了三个层次的概括：第一层次是让学生探索“两个整数相加等于1000”中这两个三位数的规律，在举例中发现这样的例子无穷无尽，体会到概括的必要性；第二层次是让学生探索并学会用概括的数学语言描述“两个小数相加等于1”中这两个三位小数的规律，体会概括是数学思维的高级形式；第三层次是让学生探索并用概括的数学语言描述“两个多位小数相加等于1”中这两个多位小数的规律，体会高度概括的抽象性。

二、片段二：从“乘积最大”中学会设数和分析

师：（出示题目：a＞b＞c，□□×□=）这里有三个字母，填到乘法算式中，就是两位数乘一位数了，怎么填可以使乘积最大？

生1：让两位数和一位数的差最小，它们的乘积就更大了。

生2：bc×a的乘积最大，因为a和b比较大，要放在十位数相乘这里，所以把c放在个位数相乘这里。

生3：我也是把a和b放在十位数相乘这里，c放在个位数相乘这里，我认为是ac×b的乘积最大。

师：现在有了两种答案：bc×a和ac×b，到底哪个乘积最大呢？学数学是要讲道理的，请说服全班同学。

生4：我认为是bc×a的乘积大，我把a、b、c分别看作3、2、1，bc×a这个乘法算式就是21×3=63，ac×b这个乘法算式就是31×2=62，所以bc×a的乘积大。

师：这个方法叫作设数，就是给抽象的字母分别设一个合理的数，这样就把这道题变得极其简单。还有其他方法吗？

生5：这两个算式十位数相乘都是10a×b，我们只要比较个位数相乘部分谁大就是谁大。bc×a个位数部分是c×a，ac×b个位数部分是c×b，而c×a肯定比c×b要大，所以bc×a的乘积大。

师：这位同学看到了数学事物的内部情况，把一个整体分成了十位数相乘和个位数相乘这两个部分，这种方法叫作分析。（板书：分析或设数都是解决抽象性问题的思维途径）“析”字的木字旁代表大树，古代的“斤”可以理解成斧头，一把斧头把大树劈开就能看到它的内部结构。设数和分析都是好方法，我建议同学们选择不太熟悉或不太喜欢的方法来做，这样你们的思维能力就会越来越强。

赏析：在这个教学片段中，刘老师以两位数乘一位数为切入口，融合了比较大小等知识。当学生有意识地把较大数放在十位数相乘部分时，刘老师进一步引导学生用讲道理的方式探究到底哪个乘法算式的乘积最大，让学生想到设数和分析两种方法得到bc×a的乘积更大。对于这两种数学思维方法，刘老师不是让学生喜欢哪种就选择哪种，而是鼓励学生选择自己不擅长的方法，突破自己的思维极限，让学生的数学思维变得更加完整。

三、片段三：从“拼成正方形”中发展形感

师：（出示题目：两个完全一样的长方形（ ）拼成一个正方形）请在“可能、不可能、一定能”中选择一个词语填在括号里。

生1：是“可能”。

师：既然是可能，这两个长方形应具备什么条件就可以拼成一个正方形？

生2：这个长方形的长是宽的2倍。（教师出示图形）

师：（出示题目：两个不完全一样的长方形（ ）拼成一个正方形）我们再来看这道题，有点变化，你们觉得填什么？

（有的学生说“可能”，有的学生说“不可能”）

师：那我们用事实来讲道理，说明怎样的两个长方形可以拼成正方形，还不完全一样。

生3：这两个长方形的长是相等的，还要宽相加等于长。（教师出示图形）

师：这里还要“长相等”，前面这道题为什么不写，是不是我们忘记了？

生4：不是，因为前面这道题讲的是两个完全一样的长方形，它们的长和宽都是一样长，写上就多余了。

师：（板书：形感＋空间想象＋概括）形感就是你对一个图形的大小、形状、特征、位置的良好感觉；空间想象就是你能够想象出它们的关系。

赏析：在这个教学片段中，刘老师结合可能性和图形拼合等数学知识，引导学生先学会用可能、不可能、一定等词语描述某种事件的可能性，再想象怎样的两个长方形可以拼成一个正方形，最后用数学语言和图示来描述两个长方形与一个正方形之间的转化。学生在解决“拼成正方形”的过程中，自身的形感、空间想象和概括能力得到进一步提升。

四、片段四：从“小数乘法”中学会排除法

师：观音菩萨给唐僧师徒四人出了一道题，（ ）×（ ）=15.08，四人中只有一人做对。（出示唐僧的答案：4.2×4.7）同意吗？

生1：不同意，因为15.08的小数部分是08，而唐僧的答案中的小数部分是0.2×0.7等于0.14，所以不对。

师：我们看了小数部分的末尾就判断唐僧的答案是错的，这种方法叫作“看尾数”。（出示孙悟空的答案：3.8×5.16）孙悟空的答案的尾数是8，他做对了吗？

生2：我认为也是错误的，3.8×5.16的小数部分一定是三位，而观音菩萨所给题目只有两位小数，所以是错的。

师：这种方法叫作“看位数”。（出示猪八戒的答案：2.6×5.8）猪八戒答案是对还是错？

生3：猪八戒的答案中，末尾是6乘8等于48，与观音菩萨说的08不太一样。

生4：猪八戒的答案中，整数部分是2乘5等于10，而题目的结果中整数部分是15，差得太多了。

生5：我觉得有可能是对的，小数的末尾正好是8，整数部分虽然现在是10，但进5也是有可能的。

师：我们看了三个人的答案，依然无法判断。下面，我们看沙和尚的答案。（出示沙和尚的答案：4.2×4.4）如果沙和尚的答案是对的，那猪八戒肯定就做错了；如果沙和尚的答案是错的，那猪八戒肯定就做对了。这种方法叫作“排除法”。

生6：沙和尚的答案错了。整数部分是4乘4等于16，已经大于15了。

师：这种方法叫作“看大数”。我们要学会多角度看问题，如果你只有一个角度，比如只会看尾数，你就只能排除唐僧的答案；观察事物的角度越多，方法就越多。

赏析：在这个教学片段中，刘老师结合小数乘法的知识，告知学生乘法算式的结果让学生猜乘法，逐步呈现了唐僧、孙悟空、猪八戒和沙和尚的不同算式，在排除法中引导学生发现看尾数、看位数、看大数等方法。尤其是面对猪八戒的乘法算式时，很多学生无法判断其是否正确。对此，刘老师引导学生学会从多个角度看问题。

五、片段五：从“正方体体积”中学会假设和推理

师：你们还记得正方体的体积与棱长的关系吗？（学生说“正方体的体积等于棱长的三次方”）我要是知道一个正方体的体积，能不能简单地除以3就是棱长？（全班学生都说不能）这里有3道题，考考大家。

（出示：①棱长是（ ）厘米，体积是1立方厘米）棱长是几厘米？

生1：1乘1乘1等于1，所以棱长是1厘米。

师：（出示：②棱长是（ ）厘米，体积是8立方厘米）棱长是几厘米？

生2：2乘2乘2等于8，所以棱长是2厘米。

师：（出示：③棱长是（ ）厘米，体积是1.728立方厘米）这个棱长应该是多少？

生3：应该是零点几。

生4：不对，零点几乘零点几的结果是零点几，不可能是一点多。我认为应该是一点几。

师：我们可以先想这个棱长是1，太小了；如果这个棱长是2，又太大了，所以棱长在1与2之间，也就是一点几。那到底是一点几呢？

生5：我认为可能是1.2，因为我看结果的最后一位是8。我想到了前面棱长是2厘米，体积是8立方厘米的例子。

师：棱长就是1.2厘米。在这里我们用了“假设＋推理”的思维方法，先用假设确定棱长的范围，再用推理的方法确定正确答案。

赏析：在这个教学片段中，刘老师围绕正方体的棱长与体积的数学知识，由易到难地设计了3道题目，学生很快解答了前面2道题目；到了第3题时，学生充分利用前面2题的结论缩小了棱长的范围，再根据第2题的结论推导棱长。刘老师用这样一个题组向学生渗透了假设和推理的数学思维方法。

综上所述，学生掌握数学知识固然重要，但更重要的是要掌握数学思维方法。因此，在教学设计时教师应注重练习的深度和宽度，要体现“以生为主”的教学理念。这样能让学生在平时学习数学知识的过程中努力挖掘和提炼数学知识背后的数学思维、数学思想、数学方法以及数学策略等，从而使学生学习数学变得更加轻松。