经历数学实验，促进思辨明理

［摘 要］ 研究者以“圆锥的体积”一课为例，让学生在猜想和观察中理解圆柱与圆锥的体积之间的关系，在实验和讨论中探索圆锥体积的计算公式，在应用和练习中提高解决问题的能力。

［关键词］ 数学实验；圆锥的体积；圆柱的体积

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。因此，笔者在教学“圆锥的体积”一课时，借助数学实验让学生经历比较圆柱体积和圆锥体积的过程，通过倒水的实验鼓励学生主动思考和探索，激发他们的求知欲和好奇心，在实际操作和数据比较分析中发现圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍，深刻体验数学的魅力和应用价值。

一、在猜想和观察中，猜测圆柱与圆锥的体积关系

教师通过生活中的实际问题激发学生的认知冲突，引出本节课要学习的圆锥的体积，让学生初步感受圆锥体积的大小与底面积和高这两个因素有关；同时，教师进一步引导学生复习立体图形和它们的体积计算公式，引导学生大胆猜测圆柱体积和圆锥体积之间的倍数关系。

师：同学们，周末淘气路过一家冰淇淋店，想买一个冰淇淋。如图1，同样价格的两个冰淇淋，选哪一个更划算呢？

（有的学生选择第二个，因为它的底面积更大；有的学生选择第一个，因为它更高一些）

师：我们要知道哪个冰淇淋更划算，其实就是比较圆锥的体积。同学们，我们已经学过哪些立体图形的体积？大家还记得这些立体图形的体积公式吗？

生1：正方体的体积公式是棱长的立方，长方体的体积公式是长乘宽乘高，圆柱的体积公式是底面积乘高。

师：这节课我们要来研究圆锥的体积，大家觉得可能和哪个立体图形的体积有关呢？

生2：可能和圆柱的体积有关，因为圆柱和圆锥的底面都是圆形。

师：（出示三角形和长方形）大家看这两个平面图形旋转一周后得到了圆锥和圆柱，大胆猜一猜圆锥的体积和圆柱的体积有什么关系？

（有的学生说圆柱体积是圆锥体积的2倍，有的学生说圆柱体积是圆锥体积的4倍，也有的学生说圆柱体积是圆锥体积的3倍）

在这个教学片段中，教师让学生直观观察两个同样价格的圆锥形状冰淇淋，选择哪一个冰淇淋最划算，为后续研究“圆锥的体积与底面积和高的关系”打下基础。然后教师在复习立体图形体积过程中组织学生猜测圆柱体积与圆锥体积的关系，为开展数学实验做好准备。

二、在实验和讨论中，探索圆锥体积计算公式

动手操作是小学生数学学习的主要方式之一，不仅能让他们在动手操作中直接看到实验结果，还能提高学生的学习兴趣和参与积极性。在倒水的数学实验中，学生亲自触摸、观察和测量圆柱形容器和圆锥形容器中水量的关系，将抽象的立体图形体积知识转化为具体直观的感知和经验。这种直观感受有助于学生建立对数学概念的客观认识，并帮助他们更好地理解和记忆数学知识。

师：（出示实验器材和实验要求）同学们，我们做一个数学实验，老师为大家准备了一个圆锥形容器和三个大小不同的圆柱形容器，请大家一起验证圆柱体积和圆锥体积的关系，并把自己小组的实验结果记录在实验单上。在数学实验开始前，大家想一想在实验过程中需要注意什么？

生1：我们不能把水打翻在桌子上；每次倒水的时候一定要刚好倒满，不然实验结果就会有误差。

师：刚才很多小组都得到了实验的结果，哪个小组愿意与我们一起来分享一下收获？

生2：我们小组选择的是和圆锥的底和高都相同的圆柱形容器，这样可以减少实验中的影响因素。我们在空圆锥形容器里装满水倒入圆柱形容器，一共需要3次才能倒满。所以我们发现等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。用字母表示：V圆锥=V圆柱=×底面积×高=πr2h。我们小组汇报完毕，大家有疑问或补充吗？

生3：你们为什么要选择等底等高的圆柱和圆锥？

生2：因为等底等高的圆柱和圆锥在计算体积时就不用考虑底和高的影响，方便我们通过实验得到结论，还能减少误差。

生4：你们是怎么找到等底等高的圆柱和圆锥的？

生2：我们以圆锥为标准，找到底面圆形相同的圆柱和圆锥；再把圆柱和圆锥放在同一条水平线上，比较圆柱和圆锥的高。

师：现在我们通过倒水的数学实验得到圆锥的体积公式是πr2h。

在这个教学片段中，教师为学生提供了具有典型性的四个实验器材，引导学生根据实验目的合理选择探索圆锥体积的实验器材，减少实验过程中的干扰因素。教师发现大部分小组受到两个圆锥形状的冰淇淋的影响，选择了等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器进行比较实验。每个小组的组员在倒水过程中都小心翼翼地在圆锥形容器中装满水，再倒入等底等高的圆柱形容器中，这样可以减少数学实验的误差，让数学实验变得更加真实和准确。在全班学生的交流讨论中，学生不仅关注圆锥体积的公式是什么，还关注为什么选择等底等高的圆柱和圆锥，加深了对“等底等高”的理解。

三、在应用和练习中，提高解决问题的能力

在数学实验探究结束后，教师引导学生应用圆锥体积知识解决数学问题，设置第一题引导学生从不同角度考虑绕着不同直角边旋转一周会得到不同形状的圆锥；设置第二题引导学生运用圆锥体积的知识解决冰淇淋的问题。教师由圆柱体积与圆锥体积的比较迁移到正四棱柱体积与正四棱锥体积的比较，实现了学生对数学实验的反思和迁移。

师：（出示直角边分别是3厘米和2厘米的直角三角形）同学们，请展开想象，把一个直角三角形绕直角边旋转一周，你们能计算旋转后立体图形的体积吗？

生1：如果我们绕3厘米的直角边旋转一周得到的是一个高3厘米的圆锥，这个圆锥的体积是V圆锥=πr2h=×3.14×22×3=12.56（立方厘米）；如果我们绕2厘米的直角边旋转一周得到的是一个高2厘米的圆锥，这个圆锥的体积是V圆锥=πr2h=×3.14×32×2=18.84（立方厘米）。

师：同学们，在计算圆锥体积的过程中，有没有要特别注意的地方？

生2：我们在计算圆锥体积的时候不能漏乘。

师：同学们，现在我们知道了圆锥体积的计算，你们能不能解决选择哪个冰淇淋最划算的问题？

生3：不能，我们还不知道冰淇淋的底和高分别是多少。

师：现在虽然没有直接告诉你们圆锥的底和高是多少，但是告诉了你们底面周长和直径，（出示①底面周长18.84厘米，高9厘米；②底面直径8厘米，高6厘米）请你们算一算冰淇淋的体积分别是多少？

生4：我们先看第一个冰淇淋，r=18.84÷3.14÷2=3（厘米），V圆锥=πr2h=×π×3×3×9=27π（立方厘米）；第二个冰淇淋，r=8÷2=4（厘米），V圆锥=πr2h=×π×4×4×6=32π（立方厘米）。所以同样价格的情况下，我会选择第二个冰淇淋。

师：这位同学虽然没有直接计算出冰淇淋的体积，但是用π进行计算，让计算变得更加简捷。（出示正四棱柱和正四棱锥）同学们，我们根据圆柱的体积推算出了圆锥的体积，请大家大胆猜测一下正四棱柱的体积和正四棱锥的体积有什么关系？

生5：正四棱柱的体积是正四棱锥的体积的3倍。

在这个教学片段中，学生运用圆锥体积公式解决生活中的实际问题，提高了解决问题的能力。为了进一步让学生体会猜想、验证、推理的数学实验过程，教师继续引导学生思考正四棱柱和正四棱锥体积关系，并通过倒水实验验证结果，帮助学生感悟转化思想的重要性。

总之，教师要引导学生在具身的数学实验探究中经历猜想、验证和推理等过程，发现圆锥体积计算方法和算理，让学生在运用体积公式中感受数学与生活的联系，提高解决问题的能力，发展推理意识和应用意识。