借助数量关系，发展模型意识

［摘 要］ 模型意识是小学数学核心素养之一，教师可以借助数量关系发展学生的模型意识。研究者以“相遇问题”单元复习为例，通过教材解读后设计了教学活动：模拟表演，帮助学生理解“相向而行”；自主探究，帮助学生解决相遇问题；链接生活，帮助学生建立数学模型。

［关键词］ 相遇问题；模型意识；复习课

模型意识是小学数学核心素养之一，主要是指对数学模型普适性的初步感悟。一个完整的数学建模过程包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果等，最终解决实际问题。笔者在教学“相遇问题”一课时，让学生在实际情境中发现和提出有意义的问题，并在解决问题后用数学结果解释现实的情境，通过“问题提出→公式计算→结果解释”的过程初步感悟建模的意义。

一、教材解读

“相遇问题”这一部分内容主要是运用运算律等相关知识解决有关行程计算的实际问题。学习计算以及运算律的目的之一就是让学生能够自觉地运用所学知识和方法来解释现实世界的一些现象，解决有关的实际问题，进而获得从数学角度观察生活的眼光，培养应用意识。因此，在运算律教学之后，教材安排了应用运算律解决相遇问题的例题。

教材中的第一个例题是求两个物体相遇时路程的实际问题。一方面，学生初步学会用列表与画图的方法整理条件和问题，了解解决实际问题的一般步骤，掌握“路程=速度×时间”等常见的数量关系，以及会正确解答求两积之和（差）的数量关系的问题。利用这些已有的数学知识和方法，学生就能够正确解答求总路程的相遇问题。另一方面，由于相遇问题是形式化的数学模型，问题结构比较抽象，涉及时间、方向等因素，学生理解有一定的难度，故例题中没有用“相向而行”等抽象的术语呈现问题，而是以图文结合的形式出示已知条件和问题。

当学生根据已知条件提出问题后，教材直接提问：你能用画图或列表的方式来整理题目的条件和问题吗？学生就可以用自己喜欢的方法整理题目中的条件和问题。学生根据整理结果分析数量关系，确定先算什么，并通过交流明确两种不同的解题思路。在此基础上，学生先用不同的方法来解决问题，再思考两种解法之间的联系，并在交流中认识两种解法实质上是乘法分配律的具体应用。最后，学生回顾解决问题的全过程，分享自己的收获和经验。在学生经历“整理条件和问题→分析数量关系、确定解题思路→采用两种方法解答→回顾与反思”的过程后，教师鼓励学生主动将解题策略和经验应用到新问题的解决中，充分理解两种解决方案之间的联系，体验乘法分配律在实际问题中的应用。在这个过程中，教师引导学生感悟解决问题的策略，让学生积累灵活运用所学知识解决问题的经验，从而提高学生分析和解决问题的能力，发展学生的应用意识。

随后的“试一试”是一道求行走路程的实际问题，其数量关系和例题基本相同，但运行方式与例题不同。教材中提供了行走距离的点和方向，引导学生根据题意画图整理题中的条件和问题，并用直观的图表分析数量关系，完成解答。这样的练习有利于学生进一步体会行程问题的结构特征，体会分析数量关系的策略，理解不同解题方法之间的联系。

二、教学过程

1. 模拟表演，理解“相向而行”

师：同学们，小明和小芳是好朋友，两人同时从家出发去学校，相向而行，在学校门口相遇了。谁来扮演这里的小明和小芳，表演一下当时的情境？老师来扮演小明，你来表演小芳，我们一起来走一走。（教师和学生反方向走）你们有什么想说的？

生1：我觉得方向反了，小芳和小明应该面对面走。

师：（教师和学生相向而行，相遇后两人停下来）现在我们俩走对了吗？

生（齐声答）：走对了。

师：同学们，在刚才的相遇问题表演中，你们发现了什么？

生2：两人是相向而行，相遇后同时停下来。

在这个教学片段中，教师创设了生活中两人相遇的情境，并通过模拟表演的方式帮助学生理解题目的意思。师生两人在模拟走路的过程中，教师故意制造错误，引导学生理解相向而行是两人面对面走。通过直观且生动的模拟表演，学生不仅理解了“相向而行”的意思，还感受了学习的乐趣。

2. 自主探究，解决相遇问题

师：同学们，在生活中我们会碰到相遇问题，这节数学课我们就来好好研究这个问题。（出示题目信息：小明和小芳同时从家出发走向学校，小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，4分钟后两人在校门口相遇）现在让我们用数学的眼光去看这个相遇问题，根据这些条件你们能提出哪些数学问题？

学生提出的问题：①小芳和小明两人在何处相遇？②小芳和小明他们两家相距多少米？③小芳4分钟走了多少米？小明4分钟走了多少米？④小明比小芳多走多少米？

师：（黑板上画出线段图）同学们，我们先来解决第一个问题，老师在黑板上画了小明和小芳行走的线段图，你们能找到他们两人在哪里相遇吗？

生3：小明和小芳两人相遇的地方，在过了中点靠近小芳的位置，因为小明走得快，小芳走得慢。

师：同学们，我们一起来看这个线段图，这一段是小明走的距离，这一段是小芳走的距离。那小芳和小明他们两家相距多少米？请在学习单上算一算。

生4：我是这样算的：70×4＋60×4=280＋240=520（米），70×4表示小明4分钟走的距离，60×4表示小芳4分钟走的距离，所以70×4＋60×4表示小明和小芳4分钟走的距离。

师：你们能在线段图上分别找到小明4分钟走的距离和小芳4分钟走的距离在哪里吗？（学生指出线段图上小明4分钟走的距离和小芳4分钟走的距离）谁还有其他方法吗？

生5：我是这样算的：（70＋60）×4=130×4=520（米），70＋60表示小明和小芳两人1分钟走的距离，4表示小明和小芳两人走了4分钟，所以（70＋60）×4表示小明和小芳4分钟走的距离。

师：你们能在线段图上找到70＋60和4分别在哪里吗？

生6：我们把小明走的距离平均分成4份，小芳走的距离平均分成4份，小明的1份和小芳的1份合起来表示70＋60，这里有这样的4份。

师：我觉得同学们都了不起，不仅会做题，还能在线段图上进行解释。其实从算式的特点来看，70×4＋60×4与（70＋60）×4就是应用乘法分配律的简便计算。

在这个教学片段中，教师采取了一种启发式和探索式的教学策略。首先，教师以生活中的相遇情境为背景，让学生基于这一情境自主提出与相遇有关的具体问题。当学生提出一系列问题后，教师引导学生按照问题的难易程度和逻辑顺序逐个解决。在解决相遇问题时，教师鼓励学生通过独立思考、小组讨论等方式尝试寻找答案，充分调动他们的主观能动性和创新思维。这时，学生发现了两种不同的解决思路，教师进一步引导学生结合线段图对这两种解决方法进行详细的解释和说明，促使学生理解这两种方法都是运用了速度、时间和距离三者之间的基本关系，而线段图则提供了一个更为直观和形象的理解方式。

3. 链接生活，建立数学模型

师：同学们，刚才我们解决了相遇问题，其实在我们生活中只有两个人走路时的相遇吗？生活中还有哪些相遇问题？

生7：一艘船从甲港口开往乙港口，另一艘船从乙港口开往甲港口。

生8：两辆大巴车在行驶的过程中如果相向而行会涉及相遇问题。

师：老师也收集了生活中的一些相遇问题，请你们拿出学习单练一练吧！

生9：我们一起看第一题，甲高铁的速度是275千米/时，乙高铁的速度是325千米/时，两列高铁从两地同时出发，相向而行，4小时后相遇，两地相距的距离是（275＋325）×4=600×4=2400（千米）。第二题，甲打字员每分钟打字100个，乙打字员每分钟打字90个，两名打字员同时打字，10分钟打完，这篇文章一共有（100＋90）×10=190×10=1900（个）。

生10：我们一起看第三题，聪聪每分钟跳绳105下，明明每分钟跳绳95下，3分钟两人的跳绳个数是（105＋95）×3=200×3=600（个）。第四题，佳佳每秒钟跑6米，迪迪每秒钟跑4米，30秒钟后两人相遇，这个环形跑道的长度是（6＋4）×30=10×30=300（米）。

生11：我们一起看第五题，甲工程队每月凿隧道160米，乙工程队每月凿隧道140米，两个工程队同时施工，10个月开通，这条隧道的长度是（160＋140）×10=300×10=3000（米）。

师：同学们，我们这节课学习了相遇问题，你们有什么收获？

生12：我知道了可以用两种方法来解决相遇中“相向而行”的问题。

生13：我还想知道小明和小芳同时从家出发走向学校，小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米， 如果小明经过5分钟到了学校，这时小芳离学校还有多少米？

在这个教学片段中，教师引导学生寻找生活中的相遇问题，并通过巩固练习帮助学生建立相遇问题的数学模型。这样的教学设计可以帮助学生将抽象的概念与实际问题联系起来，让学生更好地理解相遇问题的数学知识点。更重要的是，学生体验了数学与生活的紧密联系，提高了数学应用能力。

三、教学反思

本节数学课主要围绕“相遇问题”进行教学，教师通过一系列的设计与实践，旨在帮助学生更好地理解和掌握相遇问题的数学知识点，发展学生在实际生活中应用数学的能力。

1. 情境导入，激发兴趣

在课堂的开始，笔者通过创设生活中的相遇情境，激发了学生的学习兴趣。然后笔者引导学生从日常生活中寻找并提出具有相遇情境的问题，并通过模拟表演让学生自己发现这些情境背后的数学规律。这样的情境导入的方式不仅使原本枯燥的数学问题变得生动有趣，还激发了学生的参与热情和求知欲望，为后续的学习奠定了良好的基础。

2. 自主探究，发现方法

在解决相遇问题的过程中，笔者鼓励学生自主构建数学模型解决相遇问题，共同探讨了速度、时间、距离三者之间的关系，并借助线段图进行直观展示。在这个过程中，部分学生想到两种不同的解题思路：一种是先分别算出两部分的路程，再把这两部分路程相加；另一种则是先算出一个时间单位的路程和，再乘上有几个时间单位。同时，笔者还组织学生对这两种方法进行比较和讨论，强调它们虽计算过程不同但数学本质相通，都是运用数学原理解决问题的有效途径。

3. 巩固练习，加深理解

为了确保每一位学生都能扎实掌握相遇问题的解决方法，笔者设计了一组有针对性的练习题目。这组练习题既包含了基础性的直接应用题目，也有需要学生独立思考、灵活变通的复杂问题。通过题组练习，学生不仅能加深对相遇问题数学模型的理解，还能学会如何运用数学知识来解决实际问题。这种巩固练习的方式，使得抽象的相遇问题变得具体可感，提高了学生的数学应用能力。

通过这次教学活动，笔者发现相遇问题不仅是数学课本中的一个知识点，更是培养学生解决实际问题能力的重要载体。笔者在设计教学活动时创设生活情境，并让学生通过模拟表演将生活化语言与数学语言建立联系，使数学教学更加贴近生活，让每一个学生都能感受到数学的魅力和实用性，真正做到在生活中学习，在学习中成长。笔者让学生自主探索，持续关注每个学生的个体差异，引导学生从不同的角度解决数学问题，促进他们在头脑中建立相遇问题的数学模型，努力创设更有利于他们主动探究、深度理解和有效应用的学习环境。