借助数形结合，建构数的概念

［摘 要］ “质数和合数”的概念比较抽象，借助数形结合能帮助学生突破学习难点，从而建构数的概念。研究者以“质数和合数”教学为例，借助数学游戏，让学生经历古人探究质数和合数的研究过程，以培养推理意识、模型意识等核心素养。

［关键词］ 质数和合数；数形结合；核心素养

“质数和合数”是“因数和倍数”中的教学内容，主要帮助学生了解质数和合数的含义。本节课是学生在学习“因数和倍数”“2、5和3的倍数的特征”“奇数和偶数”等知识后开展的，为进一步学习分解质因数、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数及分数的基本性质、约分和通分、分数四则运算等知识奠定坚实的基础。

教师要引导学生借助数形结合理解抽象的质数和合数的数学概念，让学生感受学习方式的多样性和趣味性。教师通过有趣的数学游戏，帮助学生经历古人探究质数和合数的研究过程，不仅能突出教学重难点，还能培养学生的推理意识、模型意识等核心素养，促进学生形成理性精神等数学学科品质。

一、片段一：借助数学游戏，感悟面积与因数关系

师：同学们，你们喜欢玩游戏吗？这节课我们玩一个数学游戏，游戏规则是请你们根据长方形的面积，画出对应的长方形，其中长和宽都取整厘米数；画出不同长方形个数多的组获胜。我们举一个例子，比如长方形的面积是6平方厘米，你们能画出哪些不同形状的长方形？

生1：我画出了两个长方形，一个长方形的长是6厘米、宽是1厘米；另一个长方形的长是3厘米、宽是2厘米。

师：很好，现在我们明白这个游戏规则了。老师给第一组同学的长方形面积是8平方厘米，给第二组同学的长方形面积是12平方厘米。比一比哪个小组画出不同形状的长方形个数最多。

组1：我们小组画的长方形面积是8平方厘米，画出了两个长方形，一个长方形的长是8厘米、宽是1厘米；另一个长方形的长是4厘米、宽是2厘米。

组2：我们小组画的长方形面积是12平方厘米，画出了三个长方形，一个长方形的长是12厘米、宽是1厘米；另一个长方形的长是6厘米、宽是2厘米；还有一个长方形的长是4厘米、宽是3厘米。

师：恭喜第二组的同学获胜了，你们觉得他们获胜的原因是什么呢？

生2：因为8的因数只有1，2，4， 8；12的因数有1，12，2，6，3，4。

师：大家一致认为画出的长方形的个数与这个面积数值的因数有关。

教学思考：在这个教学片段中，教师充分把握学生的认知特点，巧妙地将抽象的数学概念融入富有挑战性和趣味性的游戏中。这个数学游戏的规则是根据长方形的面积画出对应的长和宽，画出长方形个数多的小组获胜。在这个数学游戏中，教师将两个不同的任务分配给两个小组，分别是画出面积为8平方厘米和12平方厘米的长方形。学生经过一番尝试与探索后，他们发现面积为12平方厘米的长方形能够画出更多的组合，这一现象引起学生的深度思考和小组讨论。在观察、比较和分析过程中，学生逐步意识到画出长方形个数的多少实际上与该面积数值所具有的因数关系密切，比如8的因数有4个，12的因数有6个。

二、片段二：再玩数学游戏，依据因数个数分类

师：同学们，刚才这个数学游戏规则是老师确定的，现在给你们2， 3，4，5，6，7，8，9，10，11这十个数字，请从中选择自己组和对方组的长方形面积。把这些数平均分成两部分，其中五个数留给自己，另外五个数送给对方，你们要想方设法让自己小组获胜。请同学们开始设计游戏规则。

生1：我会把2，3，5，7，11这五个面积数值留给对方组，把4，6，8，9， 10这五个面积数值留给自己组，这样我们小组就能获胜了。

师：我们来验证一下通过这些数能找到多少个不同的长方形？

生2：长方形面积是2的能找到长是2、宽是1的长方形，长方形面积是3的能找到长是3、宽是1的长方形，长方形面积是5的能找到长是5、宽是1的长方形，长方形面积是7的能找到长是7、宽是1的长方形，长方形面积是11的能找到长是11、宽是1的长方形。长方形面积是4的能找到长是4、宽是1和长是2、宽是2的长方形，长方形面积是6的能找到长是6、宽是1和长是3、宽是2的长方形……

师：我们发现2，3，5，7，11都只有两个因数，所以只能画出一个长方形；而4，6，8，9，10都有两个以上的因数，所以能画出多个长方形。看来长方形的个数与面积数值的因数个数有关。

教学思考：在这个教学片段中，教师给出了一系列长方形的面积数值，让学生自由选择分配给自己组和其他组，并要求每个小组尽可能多地画出符合所选面积数值的长方形。学生在前一环节的探索中已经初步发现了长方形面积与其能画出的不同长宽组合之间的联系。基于这一发现，他们在面对新的任务时，开始主动地将这十个长方形面积数值进行分类：一类是只有两个因数，如2，3，5，7，11；另一类是有两个以上因数的数值，如4，6，8，9，10。学生通过对比分析发现，具有更多因数的面积数值能够分解为多种不同的长和宽的组合，从而可以画出更多的不同形状的长方形。

三、片段三：三玩数学游戏，认识质数和因数

师：同学们，我们继续来设计数学游戏的规则，现在长方形面积是10平方厘米～20平方厘米，仍然像刚才一样把这十一个面积数值分成自己组和对方组，保证拿出任意一个面积数值都能让自己画出更多不同形状的长方形。请把你们的设计方案填在表格里。

生1：我会把11，13，17，19这几个面积数值留给对方组，把10，12，14， 15，16，18，20这几个面积数值留给自己组，这样我们小组就能获胜了。

师：你们能说说给对方组的这些面积数值能分为几个长方形，留给你们自己组的这些面积数值能分为几个长方形？

生2：留给对方组的这些面积数值只能分为一个长方形，留给自己组的这些面积数值至少可以分为两个长方形。

师：如果想要快速地把这些面积数值分成两类，你们有什么好办法？

生3：我们只要看这个数有几个因数，如果只有两个因数，就把这个数留给对方组；如果有两个以上的因数，就留给自己组。

师：我们来仔细看看对方组的这些数都有两个因数，这两个因数有什么共同点？

生4：这两个因数是1和它本身。

师：对方组的这两个因数1和它本身，正好对应了一组长和宽，所以只有一个长方形。在数学上，我们把只有1和它本身两个因数的数叫作质数，也叫作素数。我们再来看看自己组的这些数都有两个以上的因数，这些因数有什么共同点？

生5：这些因数除了1和它本身外，还有其他的因数。

师：这些因数也是对应着长方形的长和宽，所以自己组的面积数值能分为多个长方形。在数学上，我们把除了1和它本身外还有其他因数的数叫作合数。

教学思考：在这个教学片段中，教师将任务进行升级，为学生提供了更多的长方形面积数值让他们选择并分组，明确指出能画出更多不同长宽组合的小组将获胜。在此阶段的学生已积累了丰富的实践经验，他们基于前期的学习发现，获胜关键在于这个面积数值有几个因数，如果只有两个因数，就意味着它只能分解成一种长方形，因此更适合将其分配给对方组；相反，如果一个面积数值有两个以上的因数，就意味着可以构造出多种不同的长方形组合，这样的数值应当保留给自己组。随着游戏的进行，教师适时引导总结，让学生提炼质数和合数这两个重要的数学概念。

四、片段四：利用巩固练习，建构数的体系

师：同学们，我们像古人那样探究了质数和合数。现在我们一起利用质数和合数的知识来练一练。（出示题目：1，30，25，7，49，71）请判断这些数，哪些是质数，哪些是合数？

生1：我觉得1的因数只有1，所以1既不是质数，又不是合数。30的因数有1，30，2，15，3，10这几个，所以30是合数；25的因数有1，25，5，所以25是合数；7的因数只有1和7，所以7是质数；49的因数有1，49， 7，所以49是合数；71的因数只有1和71，所以71是质数。

师：原来我们把自然数分成奇数和偶数这两类。这是一个非零自然数的集合，如果按照因数的个数来分类，可以怎么分呢？

生2：如果按照因数的个数来分类，可以分成质数、合数和1。

师：同学们，你们知道最小的质数是多少吗？最小的合数是多少吗？有没有最大的质数？有没有最大的合数？

生3：最小的质数是2，最小的合数是4，没有最大的质数，也没有最大的合数。

师：尽管我们感觉质数和合数在日常生活中的应用比较少，但是在信息安全、机械制造、导弹发射等高精尖领域的应用非常广泛，所以它一直是数学中数论的一个重要研究内容。今天研究了质数和合数，你们来猜测一下质数和合数之间会有怎样的关系？

（学生的猜测：（1）两个质数相乘就等于一个合数，比如2×3=6；（2）两个质数相加等于一个合数，比如5＋7=12；（3）合数减1等于质数，比如12－1=11……）

师：同学们的猜测都很有道理。数学上有一个伟大的哥德巴赫猜想，任何一个不小于4的偶数（一般用N表示）都可以写成两个质数相加的形式。

教学思考：在这个教学片段中，教师一方面通过练习让学生学会判断一个数是质数还是合数的方法，另一方面也让学生感受“1既不是质数，又不是合数”，进一步完善整数的体系。同时，教师向学生介绍了质数和合数的用途，并启发学生猜想质数和合数之间的关系，最后渗透了数学上伟大的哥德巴赫猜想。

综上所述，“质数和合数”这节课中的数学概念虽然比较抽象，但是教师将质数和合数这个知识与长方形面积数值建立了联系，借助长方形面积这一具体而直观的几何载体，引导学生在三次玩数学游戏中发现长方形个数与面积数值所具有的因数之间的关系，成功地将抽象的数论知识与实际图形相结合，从而让学生创造出质数和合数的数学概念。可见，数形结合的教学方法能够实现知识的可视化和具象化，这无疑深化了学生对数学本质的认知，使得原本复杂的数论知识变得生动有趣且易于掌握。