基于“可拓学理论”，促进学生认知发展

［摘 要］ 基于“可拓学理论”视角，教师要通过可拓认知，开掘学生的认知潜质，提升学生的认知质量，优化学生的认知品质，培养学生的认知习惯。可拓认知能促进学生数学认知的发展，促进学生数学学习力的提升，促进学生核心素养的生成。

［关键词］ 可拓学；认知发展；小学数学

“可拓学理论”是一门新兴的理论学科，其基本理论是“可拓论”，其基本方法是“可拓方法”。所谓“可拓”，就是“深度开辟事物拓展的可能性、开辟事物创新的可能性”。“可拓学”的基本理念是“变不行为行”“变未知为已知”“变矛盾为不矛盾”。在小学数学教学中，教师要基于“可拓学理论”，注重引导学生发散认知、关系认知、共轭认知、拓展认知、创新认知。通过引导学生可拓认知，能促进学生数学认知的发展，促进学生数学学习力的提升，促进学生核心素养的生成。

一、以“知识元”为基础，引导学生“蕴含认知”

“可拓学理论”认为，“元”是描述事物本质、系统本质的基本单位。基本的“元”有“物元”“事元”“关系元”。在小学数学学科教学中，教师要精准把握数学学科知识的“元”。只有以“知识元”为基础，才能有效引导学生的数学认知。知识元是一个笼统的概念，它包括数学具体的知识元（显性知识元），也包括蕴含在数学具体知识元中的相关的思想、方法、策略等，它们是数学学科中抽象性、隐性的知识元。但毫无疑问，它们是数学学科知识的重要组成部分。

换言之，知识元的内涵丰富，它不仅包括传统意义上的知识，也包括知识中蕴含的思想方法、文化精神等。教师要从知识的“显”与“隐”“实”与“虚”的视角去认识、把握知识元。以“知识元”作为基础，能有效引导学生的“蕴含认知”。“蕴含认知”是一种“显性知识”之外的认知，如策略认知、思想方法认知、思路认知等。这些“蕴含认知”大大拓展、延伸了传统数学学科教学中学生数学学习的相关内容。比如教学“认识厘米”这一部分内容时，显性的知识就是要让学生建立“厘米”的长短表象，学会“用厘米尺测量物体、图形的长度”，学会简单的厘米、毫米等的换算。基于“可拓学”的视角，教师不仅要让学生掌握相关的“认识厘米”的知识、习得“测量长度”等技能，更要让学生领悟蕴含在“厘米尺”这一测量工具背后的数学思想方法，即“包含”的思想方法。学生只有认识到“包含”的思想方法，才能有效进行测量。这样的“蕴含认知”拓展不仅对学生学习“认识厘米”相关内容具有重要的意义和价值，还为学生后续学习“角的度量”“长方形和正方形的面积”“长方体和正方体的体积”“元角分”“时分秒”等相关的数学学科知识奠定了坚实的基础。

知识元是“可拓理论”视野下解读数学学科知识的基础。教师要深入发掘数学学科知识蕴含的数学思想、方法、文化、精神等相关元素，引导学生自觉关注数学学科知识的特征、性质、作用等。

二、以“可拓逻辑”为线索，引导学生“发散认知”

“可拓学理论”的逻辑观认为，在人类实践活动中很多矛盾问题不是没有解，而是有很多解。可拓逻辑是：任何事情都可以将矛盾问题转化为不矛盾的问题。因此，基于“可拓学理论”教学时，教师要引导学生深入研究矛盾解决的相关策略、路径、方式和方法，研究解决问题的逻辑。基于“可拓学理论”的方法有“发散法”“分合链”“相关网”“蕴含系”“共轭对”等［１］。在小学数学学科教学中，教师要发散学生的认知，帮助学生寻找问题解决的策略。

基于“可拓逻辑”，教师在教学中一方面要深入解读学生数学学习的对象，激活学生的认知经验，唤醒学生基于认知的思维、想象等；另一方面要进行数学模型的解释，将数学学科知识有序组织、呈现，助力学生的数学探究。在数学教学中，教师要敞亮学生的数学认知、思考、探究的通道，引导学生从不同的视角、不同的立场进行思考。发散性认知是学生元认知的重要组成。比如教学“圆的面积”这一部分内容时，在学生将圆转化成近似的长方形之后，笔者追问：圆只可以转化成近似的长方形吗？圆还能不能转化成其他图形？学生基于自身的转化思想、转化的基本活动经验，认为圆还可以转化成已学的三角形、梯形等图形的面积。在此基础上，笔者鼓励学生进行创造性操作，将圆转化成自己猜想的图形，如三角形、梯形等，并观察转化前后图形的关系。

在此基础上，笔者引导学生进行比较。学生发现，无论是将圆转化成近似的长方形还是将圆转化成近似的三角形、梯形等，都可以根据三角形、梯形的面积公式推导圆的面积公式。通过这样多元化的转化操作，能让学生感悟、体验转化思想的内核，即转化就是将未知转化成已知、将复杂转化成简单、将陌生转化成熟悉的过程。

教师要基于“可拓逻辑”，在教学中引导学生追问。追问的过程是引导学生从不同层面展开分析的过程。教师只有从不同层面引导学生展开分析，才能让学生生成大量独特的新认知。基于“可拓学”视角，“可拓逻辑”是推动学生发散认知的内在动能，它能让“还有没有方法”“还有没有路径”等思维成为学生认知的一种习惯。

三、以“学习目标”为指引，引导学生“相关认知”

基于“可拓学理论”视角，教师在引导学生开展可拓认知的过程中，要让学生明晰学习目标。学生只有明晰学习的目标，才能激发头脑风暴和优化学习过程。在目标的统摄、指引下，教师要引导学生抓住关键环节开展相关认知。以学习目标为指引，能充分发挥学生的主观能动性，赋予学生自主性的学习时空，助推学生自主性、自能性的数学学习。

“可拓认知”不是教师外在强加的认知，而是要充分发掘学生的数学学习潜质、潜能，尤其是要开拓学生的思维、认知、想象等。教师要以可拓认知为基础，推动学生的可拓思维、可拓想象的发展，让学生的可拓学习成为一种理性的自觉。对于数学学科知识，教师不仅要引导学生追问“是什么”“为什么”“怎么样”，更应当引导学生追问“还可能会怎样”。只有教师深度推动学生的可拓认知，才能让学生的数学学习向纵深处推进。

比如教学“一一间隔排列”这一部分内容时，在引导学生认识了“两端物体相同”“两端物体不同”的两种类型的“一一间隔排列”之后，教师让学生深入解读学习目标——“探寻一一间隔排列的所有可能情况”。基于此，笔者这样拓展学生的认知：一一间隔排列是否就是以上的两种情况？通过动手操作看有没有其他情况？学生在“探寻不同形式的一一间隔排列”的目标驱动下，逐渐将“直线上的一一间隔排列”转向“封闭图形上的一一间隔排列”。这种转向是学生认知的一种拓展，能使学生的认知不再局限于“固化的一行或者一列”的认知，而是转向“封闭图形的认知”。此外，教师要引导学生建构“封闭图形的一一间隔排列”的数学计算模型，并将这种数学计算模型与“直线上的一一间隔排列”进行比较，从而让学生深刻认识“封闭图形上的一一间隔排列”是“直线上的一一间隔排列”的一种情况。

“相关认知”是一种基于学生的已有认知基础上的新认知。教师要积极拓展学生的认知生态圈，拓展学生的认知角度，让学生在数学学习过程中经历从丰富的感知到丰富的认知的过程。教师引导学生进行拓展认知时，要让学生的数学学习螺旋上升，形成一种循环性的认知活动过程。正是在这种循环性的认知活动过程中，学生的数学认知、思维不断进阶，学生的数学学习力不断获得发展、提升。

四、以“数学活动”为载体，引导学生“共轭认知”

“共轭认知”是可拓认知中的一种认知类型。所谓“共轭”是指“对立特征在事物转化过程中的共同作用”［２］，比如“实与虚”“正与负”“显与隐”等。“共轭认知”有助于学生形成辩证性的思维。许多小学数学学科知识具有共轭性，比如“增加与减少”“盈与亏”“多与少”“重与轻”“快与慢”等。教师要引导学生从正反两个方面来认知数学学科知识的共轭性。学生只有认识到数学学科知识的“共轭性”，才能深入理解数学知识的本质。

比如教学“分数应用题”这一部分内容时，尽管教师一再强调“求一个数的几分之几用乘法”“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用方程或者用除法”，但学生在具体的解决问题的过程中还是会发生“乘除不分”的错误。为了破解这一“教学难题”，笔者在教学中，将学生的已有知识经验——即低年级学段学习的“求一个数的几倍是多少”和“已知一个数的几倍是多少，求这个数”引入其中，让学生进行对比，催生学生发现“求一个数的几分之几”和“求一个数的几倍”之间的相同点和差异，从而引导学生进行共轭认知。学生发现，尽管这些内容是高年级学段学习的内容，但是与低年级学段学习的内容有着普遍、广泛的关联：如果一个分数大于1，就是一个数的几倍；如果一个分数小于1，就是一个数的几分之几。这样，学生就能将“倍数”的相关知识与“分率”的相关知识整合起来。甚至，一些学习弱势的学生会形成这样的共轭策略：遇到分数应用题想同类型的整数应用题，然后用整数应用题的思路、策略、方法和路径去解决分数应用题。尽管这样的认知、思维策略有点“笨拙”，但是对于学生来说无疑是一种行之有效的学习策略。在这里，笔者想要表达的更深刻的意图在于：数学学科知识存在着共轭性，教师在教学中不仅可以引导学生认识数学学科知识的共轭性，还可以借助数学学科知识的共轭性，引导学生建构数学新知，帮助学生解决相关的数学问题。

共轭性是数学学科知识的基本性特性。应用共轭性的思维能促进学生的数学理解，让学生更自然地融入数学学习之中。教师在引导学生学习数学的过程中，可以借助数学学科知识的共轭特性，对学生进行可拓认知的启发。在数学学科知识“可拓性”的特质基础上，教师引导学生通过可拓认知，形成对数学学科知识本质的认识、理解，让学生对自我的认知进行审视。

小学数学“可拓学理论”的核心是促进学生开展可拓认知，将数学学科知识作为一种开放性、生成性、可误性的体系。基于“可拓理论”的“可拓教学”是数学教学的一种新范式。

参考文献：

［１］ 蔡文，杨春燕. 可拓学的基础理论与方法体系［Ｊ］. 科学通报，２０１３，５８（１３）：１１９０－１１９９.

［２］ 董奇，张红川，周新林. 数学认知：脑与认知科学的研究成果及其教育启示［Ｊ］. 北京师范大学学报（社会科学版），２００５（３）：４４－４６.