寓抽象于具体，发展逻辑思维能力

摘" 要：新高考数学试卷引导教学“回归课标，重视教材”，对数学复习课如何遵循教育规律，突出数学教学的本质进行讨论. 在高中数学命题与教学评价专题研讨会上，公开课“抽象函数研究”为大会提供了基于教学实践进行理论概括的研讨样例. 基于教学实践，对教学设计进行反思，获得了以下启示：在教学内容的选择上，寓抽象概念于具体模型，回归抽象函数的代数运算本质，以高考真题为例进行研究；在教学目标的设定上，关注逻辑思维能力的培养与提升；在教学方法的尝试上，基于有结构的导引问题，寓抽象于合情推理；在教学过程的设计上，遵循能力测评、诊断分析、典例精析、归纳小结和目标检测五环节模式，注重内容的基础性和方法的普适性，为学生留出思考和学习的空间，落实回归教学的要求，有效提升和发展学生的逻辑思维能力．

关键词：抽象函数；逻辑思维能力；五环节模式

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）10-0019-05

引用格式：黄炳锋. 寓抽象于具体，发展逻辑思维能力：以“抽象函数研究”的教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（10）：19-23.

2024年迎来了恢复高考以来高考数学命题最重大、最全面的一次改革. 新高考数学创新试卷结构，调整难度结构，突出了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的高考命题理念，全面发挥了“立德树人、服务选才、引导教学”的高考核心功能，用试题诠释了“遵循教育规律，突出教学本质，回归课标，重视教材”的教学要求. 在此背景下，中国教育学会中学数学教学专业委员会以“高考数学命题改革趋势与教学方式变革方向”为主题，带领众多教研员与一线教师开展了“高中数学命题与教学评价”的专题研究. 在湖北省宜昌市举办的专题研讨会上，笔者以“抽象函数研究”为题，开设了教学公开课，为专题研讨会提供了基于教学实践进行理论概括的研讨样例. 通过复盘教学设计与教学过程，在教学内容的选择、教学目标的设定、教学方法的尝试，以及教学过程的设计四个方面了进行回顾与反思.

一、教学内容的选择：立足具体实例，选真题作实战演练

1. 在教学内容的选择上，实战高考，选择合适的高考试题作为具体实例

近年来，抽象函数试题频繁出现在大型考试中. 例如，2024年新课标Ⅰ卷第8题、九省联考第11题，2023年新课标Ⅰ卷第11题、适应性考试第7题和第9题，2022年新高考Ⅰ卷第12题、新高考Ⅱ卷第8题等，这些试题涉及的函数没有具体的解析式或图象，只抽象地提供了一些函数特征，或者只借助函数的方程给出了函数的特定性质或运算规则，以描述函数的定义域、递推关系、特殊点的函数值和特定的运算性质等条件. 试题以选择题为主，立意新颖，构思巧妙，难度较大，求解该类试题需要学生具有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力，以及应用函数知识分析问题和解决问题的能力，这对学生的综合能力要求较高. 因此，抽象函数的求解成为了新高考的热点和重点. 它既是高中函数部分的难点，也是高等数学函数部分与初等数学函数部分的衔接点.

抽象函数本身就是一个抽象概念，是相对于具体函数而提出的. 高考对抽象函数的考查是将其置于具体的实例中，为了让学生明确所要研究的对象，能够迁移研究方法，教学内容应该寓抽象概念于具体实例. 选择高考试题作为实战演练的典型例题，能够帮助学生在解决具体问题的过程中梳理解题的一般方法和基本策略.

2. 在教学内容的设计上，回归教材，探寻抽象函数的代数运算本质

尽管抽象函数没有具体的解析式作为载体，试题比较抽象，理解起来比较困难，但是抽象函数问题的本质还是函数问题，其命题方式以基本初等函数为模型，在代数运算和函数性质的基础上进行一般化抽象，因此抽象函数的解题分析与具体函数的性质研究所遵循的逻辑基础和一般方法一致，抽象函数教学内容的设计应该回归教材中研究具体函数的路径与方法.

回归教材的思考，一方面，体现在抽象函数与具体函数没有本质的差异上. 在抽象函数研究中，所用的方法都可以在教材提供的具体函数研究的学习过程中找到，在学习函数的概念与性质和基本初等函数时已经学习过相关方法，因此只需要对抽象函数赋予一般的意义即可. 另一方面，将教材中具体函数的运算性质加以抽象并赋予定义的形式，就可以得到抽象函数的形式. 这意味着许多抽象函数具有原型，具体函数的解就是抽象函数的特解. 例如，满足“[fx+y=][fxfy]”的抽象函数可以是指数函数，因为指数函数中指数的加法运算可以转化为幂的乘法运算，对应关系的掌握有助于学生在处理抽象问题时迅速找到解决方法. 由此形成了两种解决抽象函数问题的一般方法：一种是基于演绎推理，结合函数性质与概念由一般到特殊，通过赋值、推理等方式来获得结论；另一种是基于合情推理，结合函数的运算特征选择符合抽象函数特征的具体函数模型，借助选择题的题型特征进行求解.

3. 在教学内容的研究上，无需拓展，立足基本初等函数原型的研究

在进行教学设计时，笔者试图在教学中通过严谨的方法论证抽象函数的模型，用“定理”的形式给出模型联系与函数样例. 章建跃理事长否定了这个设想，他指出抽象函数本就抽象，提炼成定理会更加抽象，不符合学生的认知水平. 实际上，高考中以抽象函数为背景的试题，考查了学生的数学探究性思维、思维的灵活性和从特殊到一般的归纳思维等. 这类问题的解决，应该注重内容的基础性和方法的普适性，教师只需要引导学生通过适当推理得出规律，或者将抽象函数问题适当转化为可以利用基本初等函数的性质进行求解的问题即可，绝不希望出现超纲教学的抽象函数的内容，将抽象函数作为新的知识增长点，补充知识“套定理”，新增内容“套模式”，盲目钻研与机械训练，都不是高考的复习导向. 这说明抽象函数的教学内容不需要在概念知识上进行拓展，新增定理. 在函数模型的选择上，以基本初等函数为原型就足够了，复习教学的重点应该将总结解题技巧转到培养学生的数学核心素养和发展学生的逻辑思维等关键能力上.

教什么比怎么教更重要. 选择了合适的教学内容，高中数学的复习课就有了正确教学的基础，抽象函数的复习教学应该寓抽象于具体，重视学生的数学思维方式的形成，重视应用数学解决问题的能力的培养，在教“真数学”中发展学生的逻辑思维能力.

二、教学目标的设定：依托不同水平，化能力为分层发展

高考对逻辑思维能力的考查是分水平层次的，抽象函数试题对学生的能力层次要求较高，在教学目标上应该依托不同的教学内容和教学过程分层次进行设计，逐一突破，在教学过程中分水平发展. 为了使教学目标更具体、可操作且可检测，对教学目标和教学过程进行了如下分层思考.

第一层次是数学抽象能力和直观想象能力. 表现在审题的过程中，体现了高考的基础性和综合性. 研究一个抽象函数问题，学生应该明确试题（包括选择题中的题设和选项）的特征，从变量与常量的个数、条件等式的样式、目标选项的特点，以及涉及的代数运算形式等方面进行识别，从一般性与特殊性两个方面建立题设与选项之间的联系.

第二层次是数学运算能力和逻辑推理能力. 表现在解题的过程中，体现了高考的综合性与应用性. 学生应该明确如何通过灵活赋值、代数运算（包括导数运算）和寻找模型等方式实现转化，应用数形结合、函数与方程、特殊与一般、转化与化归，以及分类与整合等思想方法获得结论.

第三层次是数学建模能力和数学表达能力. 表现在获得结论与检验反思的过程中，体现了高考的应用性与创新性. 学生要能够找到基本初等函数的原型来解释抽象函数，要能够创造性地建立函数模型来实现证明或证伪的解题过程，并从中提炼研究方法作为解题的一般策略.

抽象函数试题主要考查函数的三要素（定义域、对应关系和值域）、单调性、奇偶性、周期性、极值、最值和对称性等基础知识，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力等关键能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等数学思想方法，检测了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象等数学核心素养，体现了高考的综合性和创新性.

基于上述分析将教学目标设定为：经历求解抽象函数问题的过程，了解该类试题的情境创设、条件构造和设问方式的特点，理解抽象函数的数学内涵，能够以基本初等函数为参照，通过归纳、类比等方法探究规律和发现解题方法，通过逻辑推理进行证明或者通过举反例进行证伪，得出结论，体会从特殊到一般、归纳与类比等数学思想，发展逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模等数学核心素养.

教学目标达成的标志为：能够以基本初等函数为参照，提取条件和选项所提供的信息；能够通过探索发现符合抽象函数条件的具体函数模型，找到符合要求的函数，并结合函数性质，对试题选项中的性质进行判断；能够通过逻辑推理、数学运算等方法得出抽象函数的相关性质，并对选项给出的性质做出正确的判断.

三、教学方法的尝试：基于导引问题，寓抽象于合情推理

教学内容的选择决定了教学的方向和方法. 通过调查与分析，发现教学的主要问题为抽象思维、逻辑推理能力不足，运算求解能力欠缺，建立函数模型的意识不强，没有形成研究抽象函数的一般方法.

基于诊断，笔者认为要寓抽象于具体，抽象函数性质的研究方法是通过归纳具体函数研究的方法并将其一般化而得到的，但是由于抽象函数的解析式往往不确定，所以在研究抽象函数的性质时更趋向于回归性质的定义或者利用符合条件的函数模型进行检验，求解抽象函数问题需要学生有理性思维能力，体现了逻辑性、实证性和批判性特点. 这是学习的主要困难. 化解困难的方法是提供具体的函数实例进行验证或者加强解题分析、引导思考，培养学生的理性思维能力.

由此设定教学的难点为探索发现有关抽象函数问题的求解方法，提炼解题的一般方法与策略.

四、教学过程的设计：按照五个环节设计，置解题于过程分析

教学过程按照能力测评、诊断分析、典例精析、归纳小结、目标检测五个环节进行设计. 笔者先指出近年来频频出现的抽象函数试题的难度较大，很大程度影响了学生的考试成绩，引起了学生的注意；再提出寓抽象于具体的策略，以专题的形式对抽象函数试题进行研究.

1. 能力测评

对学生进行限时实战演练，选择2023年新课标Ⅰ卷第11题（例1）作为测试题，要求学生独立完成并提交解答过程，教师出示答案，了解学生的整体答题情况.

例1 （多选题）已知函数[fx]的定义域为R，[fxy=y2fx+x2fy]，则（" " ）.

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函数

（D）[x=0]为[fx]的极小值点

【设计意图】检测学生的认知基础，对学生的解答进行反馈评价.

2. 诊断分析

教师进行调查、分析，通过对话的方式引导学生提炼研究一道抽象函数试题的基本方法，并用分解的五个问题引导学生思考，让学生在解题过程中初步形成解决抽象函数问题的三个视角. 在教学中，教师结合学生对极小值的概念认识模糊的情况，引导学生翻阅教材，指导学生读书并交流阅读体会，让学生理解极小值这一概念.

调查问题：你的答案正确吗？能否说明错误的原因，或者正确的答案给你什么启示？

为了帮助大家探寻这类试题的解题方法，试根据以下问题分享自己的思考过程.

（1）观察试题，你发现了什么特征？

（2）解题中，你是如何建立题设与选项之间的联系的？

（3）你是如何分析题设与选项之间的联系的？你是如何实现转化的？

（4）你是如何得出结论的？正确的结论能证明、错误的结论能证伪吗？如何证伪？

（5）解题给你什么启发？

追问：试题中已知的条件是什么？四个选项有什么特点？

【设计意图】引导学生从试题的特征和解题的一般方法两个方面概括解题思路，在紧扣条件等式，观察目标选项，灵活赋值（或举反例），化特殊为一般，化抽象为具体，获得结论或所需要的函数性质的数学表达的解题过程中，初步了解解题的“五步骤”.

分析问题：对不能充分利用函数所满足的条件，以及不能从特殊现象中发现一般规律等问题进行探索，结合上述5个问题的回答，能否提出解决问题的合理视角？

追问1：构成函数的三要素包括定义域、对应关系和值域，例1中函数的定义域为R，说明什么？函数的对应关系有几个？

追问2：基于三要素的思考，选项A和选项B提供了什么信息？

追问3：基于函数性质的思考，选项C和选项D提供了什么信息？为了判断函数[fx]是否为偶函数，需要怎样的函数性质的数学表达？

【设计意图】基于上述3个追问，引导学生从以下三个视角展开探索.（1）基于函数要素的视角. 从构成函数的三要素开始研究函数性质是回归函数概念的具体表现.（2）基于代数运算的视角. 从函数的概念与函数的代数特征方面思考，在定义域内对变量赋值必然满足函数的代数方程，所得结论一定成立，这样的代数运算包括赋值和求导等.（3）基于性质研究的视角. 在学习函数的概念与性质和基本初等函数时，学生已经学过利用函数图象、代数运算，以及导数运算等方法研究具体函数，基于性质研究的视角，就是从具体函数的性质研究中获得启示.

思考问题：如何用上述三个视角来解决实际问题呢？

【设计意图】为学生提供思考的视角，根据后续的实战情境，展开学习讨论.

3. 典例精析

教师选择2021年新高考Ⅱ卷第8题（例2）作为典型例题，以“观察试题，你发现有什么特征？如何解答？解答试题的过程，给你怎样的视角？”等问题，有逻辑地引导学生置解题于过程分析，进而形成解题的一般方法.

例2" 设函数[fx]的定义域为R，且[fx+2]为偶函数，[f2x+1]为奇函数，则（" " ）.

（A）[f-12=0] （B）[f-1=0]

（C）[f2=0] （D）[f4=0]

问题1：“令”的目的是什么？根据什么来“令”？如何能够想到通过构造函数值之间的关系来解决问题？

问题2：如何想到“特殊”，为什么可以用特殊来替代一般？

【设计意图】该题的教学意在引导学生根据给定的条件有层次地研究函数的性质，在研究的基础上归纳并总结抽象函数问题的一般解法. 教学重视题意的分析，突出求解抽象函数的策略与方法，指出不同的求解思维与方法反映了不同的数学思想的具体应用. 其中，对法则特殊化处理和利用函数性质化归函数值既是特殊化思想和等价转化思想的具体体现，也是求解抽象函数的法宝；利用对应法则合理地反复赋值来求解问题既是特殊化思想的具体应用，也是求解抽象函数必须想到的思维方法.

4. 归纳小结

对典型的例题和解题分析进行小结，在师生对话中明确抽象函数的试题特点、原型和解题的一般视角.

问题：上述两道例题给你什么启示？抽象函数试题有什么特点？能否根据抽象函数问题的求解方法提炼解题策略？

【设计意图】在例题的基础上提炼有关抽象函数问题的一般求解方法，探索解题策略，形成研究抽象函数的3个视角：基于函数要素，基于代数运算，基于性质研究. 在此基础上，教师引导学生归纳并总结解题的一般步骤和每一步的具体操作，如图1所示.

5. 目标检测

教师选择2024年新课标Ⅰ卷第8题作为检测试题.

例3" 已知函数[fx]的定义域为R，[fxgt;][fx-1+fx-2]，且当[xlt;3]时，[f（x）=x]，则下列结论中一定正确的是（" " ）.

（A）[f10gt;100] （B）[f20gt;1 000]

（C）[f10lt;1 000] （D）[f20lt;10 000]

【设计意图】检测学生的答题情况和学生在一节复习课中是否达成目标，形成了解题的一般方法.

五、教学反思与展望：快慢教学辩证观，导向关键能力提升

回顾教学过程，引发反思的是如何辩证地看待“快慢教学”. 教师在诊断分析阶段有意识地放慢节奏，用较多时间加深学生对试题的理解和对解题步骤的思考，与开始阶段让学生先抄写题目再解答问题一样，都是“慢教学”的过程.“慢教学”并非一味追求慢，学生在抄写题目的过程中可以培养审题能力，养成认真读题的好习惯，“慢教学”是为了让学生在解题时能够启动“快思考”. 诊断分析是为了探寻思维的断点，帮助学生形成解决问题的常规思路，熟悉了思考问题的步骤，解题自然就快了. 特别地，当发现学生对某一概念的认识模糊时，教师停顿下来引导学生阅读教材，交流阅读体会，此时的“慢”是为了帮助学生厘清概念. 毫无疑问，“快”与“慢”是相对的、辩证的，复习开始阶段的“慢”是为了后续复习和解题能保持“快”.

反观教学设计，引发思考的是如何整体设计复习内容. 高考总复习往往离不开教辅材料，但是当前的教辅材料多为题型归纳加上反复训练的形式，选材内容良莠不齐.“抽象函数研究”的教学提供了选材的样式，为高中数学的复习方法提供了有益尝试. 从命题改革的导向上看，应该将“轮次复习 + 题型归纳”的复习转变为“知识结构梳理 + 关键能力提升”的复习，并以“单元教学设计 + 专题”的方式实施教学. 唯有如此，才能适应新高考的变革.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］章建跃. 数学教学中的一些常识［J］. 中国数学教育（高中版），2024（1）：3-5.

［5］章建跃. 高考复习如何回归教材（之二）：从2024年高考综合改革适应性测试卷得到的启示［J］. 中小学数学（高中版），2024（1 / 2）：128-129.

［6］史宁中. 数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［7］黄炳锋. 数学新高考高分要领：基于五环节的教学设计［M］. 福州：福建教育出版社，2021.

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2023年度常规课题——高中数学建模活动的教学与评价研究（FJJKZX23-212）．

作者简介：黄炳锋（1969— ），男，正高级教师，福建省特级教师，主要从事高中数学教学研究．