构建解决问题思维路径，发展学生数学核心素养

摘" 要：基于“抽象函数研究”一课，从教学内容选择、整体结构设计、课堂教学过程和解题思维教学等方面进行课例评析. 该课内容以切入口小而微的微专题形式实现了专项突破；整体结构设计以知识线、思想方法线和研究策略线三条线融合展开；在教学过程中为学生提供了充足的自主思考时间，师生之间充分交流，注重课堂的思维容量；解题的思维教学注重层层启发，讲想法，回归本原性方法，构建解决问题的思维路径，引导学生有规律地思考，发展学生的数学核心素养. 该课以能力素养立意，将思想和方法构建成具体的思维路径，以思维路径引导教学，构建解决问题的一般化思维方式和策略，为高三复习的解题教学提供了非常好的范式.

关键词：高三复习；抽象函数；思维路径；解决问题

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）10-0024-03

引用格式：龙艳文. 构建解决问题思维路径，发展学生数学核心素养：“抽象函数研究”高三复习课例点评［J］. 中国数学教育（高中版），2024（10）：24-26.

中国教育学会中学数学教学专业委员会于2024年8月23日至26日在湖北省宜昌市举办了高中数学命题与教学评价专题研讨会，会议展示了很多既精彩又有深度的高考命题方向和高考备考专题研究讲座，为新形势下高考备考的复习指明了方向. 此次研讨会专门现场展示了两节高三复习课. 章建跃博士指出，这两节高三复习课是他听过的非常具有示范性的高三复习课. 福建省福州第三中学黄炳锋老师（以下统称“执教教师”）的授课课题是“抽象函数研究”，授课对象是湖北省宜昌市第一中学层次最好的班级的学生. 在课堂上，执教教师展示了极强的教学功底、高立意的教学设计和精彩的课堂教学. 笔者有幸受会务组邀请对该课进行了现场点评，表达了自己对这节课的一些思考和想法，不当之处敬请批评指正.

一、教学内容选择微专题专项突破

近几年，高考试卷中考查抽象函数的试题较多，且主要以难度较大的选择题为主. 抽象函数只提供了函数的一般化性质，能够很好地考查函数的单调性、奇偶性、周期性、极值、最值和对称性等基础知识. 同时，抽象函数具有很强的抽象性，构思巧妙，能够很好地考查学生的关键能力和数学核心素养.

抽象函数试题体现了高考的综合性和创新性，对学生的综合能力要求较高，所以它既是学生学习的难点和痛点，也是高三复习的重点. 该节复习课的教学内容并没有采取传统的高三一轮章节复习的方式，即“概念回顾 + 基础小练 + 例题分析”的形式，而是采取了以抽象函数为主题的微专题形式，教学内容的选择切入口小而微，实现了专项突破.

由于授课学生的层次较好，学习能力较强，基于该学情，该课选择从难度较大的高考试题直接入手，体现了章建跃博士提出的在知识、技能和能力培养的关系上，摒弃先打基础再发展能力的倾向，注重做中学、用中学的能力培养模式.

例1 （2023年新课标Ⅰ卷·11）已知函数[fx]的定义域为R，[fxy=y2fx+x2fy]，则（" " ）.

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函数

（D）[x=0]为[fx]的极小值点

该题是多选题，学生能够判断出选项A、选项B和选项C是正确的，然后直接排除选项D. 从答题角度来说，该题已经完成，学生在确定选项A、选项B和选项C正确后结束了答题，并没有对选项D进行质疑和思考. 但是执教教师没有仅满足于让学生答题，而是继续追问选项D为什么不对，对高考试题的内容进行深度挖掘，充分发挥了教学内容的价值，真正解决了学生学习抽象函数的难点.

二、整体结构设计三线融为整体

该节课的板书设计如图1所示.

从板书设计中可以看出，执教教师对该节课的整体架构设计了三条线. 第一条线是知识线，通过对两道例题的分析，表达了抽象函数的解题过程；第二条线是思想方法线，通过对第一条线的展开，归纳并总结了解题的思想方法；第三条线是研究策略线，即通过对抽象函数问题的研究，归纳并总结了对抽象函数问题一般化的研究策略.

很多教师采取导学案的形式开展高三复习课教学，但是导学案呈现的内容往往是碎片化的，很多导学案只是试题的堆砌，是一种松散的形式，没有从结构化的角度进行选题和设计. 这节复习课的整体结构设计为高三抽象函数复习课的教学提供了一个范式，即先设计研究策略线，再设计思想方法线，最后围绕这两条线进行选题和教学设计. 教学过程以知识线的学习逐步展开，思想方法线不断渗透于教学中，研究策略线指引方向，在课堂教学中三条线融为一体. 这节课的设计，体现了章建跃博士提出的“在教学内容的处理上，要改变碎片化知识点累积式教学，大力加强应用驱动、学用融合的整体性教学”.

三、课堂教学过程中师生交流充分

在呈现高考试题后，执教教师并没有让学生立刻作答，而是让学生把题目抄写一遍. 教师在教学中大量使用教辅、导学案、PPT等现成资源，会让学生失去逐字逐句认真抄写题目的机会，无形中造成了学生审题能力的下降. 抄写题目的过程看似浪费时间，实则该过程既是学生审题的过程，又是让学生加深思考的过程. 然后，执教教师给学生提供了充足的思考时间和答题时间. 在学生自主做题的过程中，执教教师通过PPT呈现了以下问题，体现了一般化的思维路径.

问题1：观察试题，你能发现什么特征？

问题2：解题中，如何建立题设与选项之间的联系？

问题3：如何分析题设与选项的联系？如何实现转化？

问题4：如何得出结论？正确的结论能证明、错误的结论能证伪吗？如何证伪？

问题5：解题给你什么启发？

学生解题结束后，执教教师没有让学生立刻叙述解题过程，而是让几名学生根据上述问题分享自己的思考过程，进而追问：对不能充分利用函数所满足的条件，以及不能从特殊现象中发现一般规律等问题进行探索，结合对上述5个问题的回答，能否提出解决问题的合理视角？随后，执教教师引导学生从三个视角展开探索，即基于函数要素、基于代数运算和基于性质研究.

在整个课堂教学过程中，执教教师都不是让学生立刻叙述解题过程，而是与学生进行充分交流. 在交流过程中，执教教师表现得沉稳从容，师生之间的对话也自然平和，执教教师在沟通交流过程中特别尊重学生的各种想法. 整个课堂改变了一些高三复习课堂死气沉沉的现象，学生不断举手回答，课堂气氛非常活跃. 例如，一名学生在寻找反例的过程中说出，通过与执教教师交流让他想到了找反例和怎么找反例，加深了他对题目的理解.

执教教师不断与学生进行交流，课堂节奏比较缓慢. 只讲了两道选择题，虽然从题量来看教学容量很小，但是从思维容量来看，教学容量很大. 现在一些高三的教学节奏太快，教师布置了太多题目，在课堂上为了尽可能多地讲授题目，教师省去了学生充分自主思考的时间，减少了与学生充分交流的机会. 因此，笔者特别希望高三教师也能够将题量降下来，将高三的课堂复习节奏慢下来.

四、构建思维路径引导解题教学

对于解题教学，教师从题目中提炼解题方法和技巧是非常必要的. 但是有些教师在高三复习的解题教学中过分追求方法的多样. 例如，有的教师总结了抽象函数常考题型的解题十法. 方法过多、过细，学生根本记不住，导致学生无所适从，不知道如何选择和应用方法. 该节课的解题教学突出了归纳总结题目蕴含的知识、概念和原理. 执教教师先引导学生进行分析，通过赋予一些特殊值，如0或1，来求解函数在特定点的值，然后归纳并总结例1的选项A和选项B的信息表现为函数的一些特殊点的性质，可以通过赋值的方法来解决. 执教教师结合选项A和选项B推导了更多的信息，引导学生发现选项C反映了函数的一般化性质，即函数的奇偶性，可以通过未知量的代换来解决问题. 最后，执教教师引导学生从整体的角度分析例1的选项A、选项B和选项C的特征和思路，总结了根据条件提供的一般化函数性质，通过特殊化来研究函数的特殊性质，再对函数的一般化性质进行研究的方法，充分体现了特殊与一般的思想.

对于选项D，执教教师引导学生寻找反例进行否定，让学生从容试错. 例如，有的学生找到特殊点[f0=0]和[f1=0]就否定了选项D. 执教教师顺势呈现了教材中极值的概念，对照概念分析这种想法的错误之处，充分体现了高三复习要回归教材和回归概念的要求. 学生找到[f0=0]作为反例后，执教教师给予了充分的肯定，然后引导学生发现其他特殊的具体函数. 当学生在寻找特殊的具体函数遇到困难时，执教教师没有急于教授学生转化的技巧，而是引导学生联想：[fx+y=fx+fy]，[fx+y=fxfy，fxy=][fx+fy，fxy=fxfy]，它们到底是怎样的具体函数？执教教师引导学生结合“[fxy=y2fx+x2fy]”的形式联想到了对数函数，但是学生发现其不符合对数函数的形式，执教教师再引导学生试错和对等式进行变形，层层启发构造了“[fxyx2y2=fxx2+fyy2]”的形式，进而构造了具体函数[fx=x2lnx]，实现了由性质反推具体函数的过程. 最后，执教教师总结了在解决抽象函数问题时通常会用到特殊值法、赋值法、图象性质法、代数运算和导数运算等方法. 由于方法之间是零散孤立的，所以执教教师最后归纳并总结了如图2所示的解题思维路径.

在新高考变革的形势下，高考注重对能够普适性解决学科问题的本原性方法的考查，要让学生掌握原理、内化方法，而不是将考查的重点放在解题的技巧上. 该高三复习课的解题教学不仅讲解法，更讲想法，回归本原性方法，通过思维路径引导教学过程，引导学生有规律地思考. 该课的教学以能力素养立意，将思想和方法构建成了具体的思维路径，以思维路径引导教学，构建了解决问题的一般化思维方式和策略，为高三复习的解题教学提供了非常好的范式.

参考文献：

［1］章建跃. 培养思维是发展核心素养的关键［J］. 中国数学教育（高中版），2023（1 / 2）：3-4.

［2］赵轩，翟嘉祺，郭淑媛. 强调灵活考查思维" 聚焦创新人才选拔：2024年高考数学新课标卷评析［J］. 数学通报，2024，63（6）：44-47.

作者简介：龙艳文（1975— ），男，高级教师，主要从事中学数学教学、考试命题和教师指导等研究.