思维导图在数学问题解决中的应用研究

摘" 要：文章剖析了数学问题解决的过程，分析了思维导图在数学问题解决中的工具性价值. 通过实例，给出了思维导图在数学问题解决的四个阶段中的应用过程，深入研究了思维导图在问题表征、模式识别、激活问题图式、搜索问题空间、实施思维监控和确定解决方向等步骤中的具体应用，并总结了思维导图对数学问题解决和思维能力培养的重要意义.

关键词：数学问题解决；思维导图；思维过程；思维能力

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）10-0004-04

引用格式：吴志丹. 思维导图在数学问题解决中的应用研究［J］. 中国数学教育（高中版），2024（10）：4-7.

问题解决是数学教学活动中最基本、最重要的活动形式. 如何提高数学问题解决的效率，提高学生的思维能力，实现对问题深层次的理解，是一项值得研究的课题. 基于此，笔者对数学问题解决的思维过程进行了研究，分析了思维导图的工具性特点，发现思维导图恰好为数学问题解决的思维过程搭建了“脚手架”. 因此，提出了将思维导图应用于数学问题解决中的想法. 通过具体实例，给出了思维导图在数学问题解决的各个阶段中的具体应用过程. 研究发现，思维导图是解决数学问题的一种有效的认知工具，对于提高数学问题解决的效率、增强学生的思维能力有积极的作用.

一、数学问题解决的过程

问题是数学的心脏. 一个数学问题由初始状态、目标状态和问题解决规则组成. 解决数学问题，就是从初始状态出发，按照某些规则（也称“算子”），经过若干个中间状态，最终到达目标状态的过程. 认知心理学把在解决一个问题的过程中所到达的全部中间状态和全部算子统称为问题空间. 问题解决就是对问题空间进行搜索，以便找到一条从问题的初始状态到目标状态的道路.

解决数学问题的过程往往伴随着复杂的思维活动. 具体思维过程包括理解问题、探索思路、转换问题直至解决问题，以及回顾问题解决过程中的全部思维活动. 基于思维活动的分析，波利亚提出了问题解决的四个阶段，即理解问题、拟订计划、实现计划和回顾反思，如图1所示.

二、思维导图在数学问题解决中的工具性分析

1. 思维导图在激发三种思维中的作用

在数学问题解决的过程中经常使用三种思维方式，即发散思维、集中思维和化归思维. 思维导图是激发大脑潜能的强有力的图解工具，其结构符合大脑的自然结构和思维过程，可以帮助学生更好地运用上述三种思维方式.

（1）问题解决的发散思维和思维导图.

发散思维不是局限于对已知问题的既定理解，而是对问题进行多角度、多方向的思考，进而提出新问题，发现多种解答的思维方式. 发散思维的特点是思路广阔、寻求变异，通过对已知信息进行转换或改造，扩散派生，从而形成新的信息. 思维导图呈树状结构，它从一个“主题中心”出发，从不同角度对问题进行探索，从不同层次对问题进行分析，其分支的数量体现了思维的广度，即发散思维的广度. 因此，思维导图是发散思维图形化的表征，可以帮助学生扩展“求解”的探索空间.

（2）问题解决的集中思维和思维导图.

集中思维（又称收敛思维）是调动各种已知信息，按照常规寻求问题解决的思维方式. 集中思维的特点是思路集中，所有信息都朝着一个目标深入发展，进而生成新的信息. 思维导图中每个分支的长度都体现了思维的深度，即集中思维的深度. 思维导图能够将学生对问题的理解逐步引向纵深.

（3）问题解决的化归思维和思维导图.

化归思维是将待解决的问题转化为更容易解决的或已经解决的问题来处理，即化未知为已知、化困难为容易，然后将问题还原为原问题的思维方式. 例如，无理方程与分式方程的求解问题可以化归为整式方程的求解问题. 对于较复杂的数学问题，思维导图可以帮助学生实现化归，其一般模式如图2所示.

2. 思维导图在思维监控中的作用

思维监控是指对于从事的问题解决活动（包括问题解决策略的选择、整个问题解决过程的组织，目前所从事的工作在整个问题解决过程中的作用等内容）中的自我意识、自我分析、自我评估和自我调节. 思维监控是学生对思维活动的自我意识、对自我认知过程的认知，是一种最高层次的认知. 美国心理学家弗拉维尔（J.H.Flavell）提出的元认知知识和元认知体验指的就是思维活动的自我意识. 对于数学问题的解决，思维监控起着至关重要的作用，它直接决定着问题能否顺利解决甚至最终成败.

思维导图是一种元认知工具，能够使学生将正在进行的认知活动作为意识对象，进行积极地监控和调节，从而快速到达预定的目标状态. 从思维监控的角度来看，思维导图能够帮助学生树立自我意识，自觉调控思维进程，对自身的思维活动有清醒的认识和正确的评估，从而促进数学思维活动的顺利进行，强化学生的思维能力和思维水平，提高数学问题解决的效率.

三、思维导图在数学问题解决中的应用

数学问题的解决需要进行一系列复杂的思维活动. 通过上述对思维导图在激发三种思维和思维监控中的工具性分析，发现思维导图恰好为数学问题解决的思维过程搭建了“脚手架”. 通过下面的例题，说明思维导图在数学问题解决的四个阶段——理解问题、拟定计划、实现计划和回顾反思中的具体应用过程.

例" 已知[sinα，cosα]是方程[8x2+6kx+2k+1=0]的两个实根，求实数k的值.

1. 思维导图在数学问题解决的“理解问题”阶段的应用

思维导图在数学问题解决的“理解问题”阶段的应用，分为以下两个部分.

（1）问题表征.

学生借助思维导图将题目所具备的条件、待达到的目标和限制性因素等罗列出来. 通过图形化的表征，学生能够清晰地识别组成问题的基本概念，理解概念之间的多种关联，解释概念之间的隐含关系，从而更全面地弄清楚问题.

在该题中，借助思维导图可以明确：题目中的已知条件是[sinα，cosα]为一元二次方程的两个实根；该题需要求解的目标是方程中的待定系数k的值；限制性因素为两个实根.

（2）模式识别.

在接触并理解数学问题之后，学生需要先判断题目的类型，以便将数学问题与已有知识和经验建立联系，然后确定问题解决的思路. 这种先进行归类、判别的策略就是模式识别.“已知一元二次方程的两个实根，求方程的待定系数k的值”为一元二次方程中根与系数的关系的问题，可以借助思维导图的化归思维，将问题化归为关于k的方程来求解.

2. 思维导图在数学问题解决的“拟订计划”阶段的应用

在数学问题解决的“拟订计划”阶段恰当地应用思维导图，可以帮助学生激活问题图式、搜索问题空间、实施思维监控和确定解决方向.

（1）激活问题图式.

当题目输入大脑时，学生的思维就会提取贮存于大脑长时记忆里的知识组块，即激活问题图式. 问题图式是由与问题类型有关的原理、概念、关系、规则和操作程序构成的知识综合体.

思维导图能够引导学生构建一个类似人脑联想记忆结构的知识网络图，通过从已有的知识体系中快速找到与问题解决相关的知识组块，激活问题图式. 贝斯特（J.B.Best）曾指出，图式知识一旦被激活，就能引导学生用特定的方式搜寻问题空间和问题的有关特征，从而提高问题解决的效率.

（2）搜索问题空间.

思维导图的发散思维拓展了问题解决的探索空间. 思维导图中的连接线，能够引导学生积极主动地思考问题，激发创意与联想，进而帮助学生将各种零散的想法、知识等内容融会贯通为一个系统. 思维导图既能够清晰地呈现概念或者公式之间复杂的逻辑关系，又能够培养学生的创造性思维和创新能力.

上述例题的思维导图的建构如图3所示. 该题的建构不是一蹴而就的过程，而是一个不断充实、重组的动态过程.

（3）实施思维监控.

问题解决是一种目的明确的活动. 因此，在问题解决的过程中，必须集中指向目标. 思维导图可以帮助学生始终明确问题解决的目标，使学生对自身的思维活动有清醒的认识和正确的评估，对自身的思维实施监控，从而促进数学思维的顺利进行.

（4）确定解决方向.

问题解决的过程在一定意义上又是一种选择的过程. 在解决数学问题的过程中，思维导图是在发散思维的基础上进行了收敛思维. 利用思维导图的收敛思维，可以从若干种方案中挑选出最佳方案，将思维集中指向目标，以便迅速找到问题解决的条件和目标状态之间的联系，从而解决问题.

3. 思维导图在数学问题解决的“执行计划”阶段的应用

思维导图通过可视化的方法帮助学生厘清思维的脉络，从复杂的知识网络中找到问题解决所需要的中间状态. 学生参照图示，实施求解计划，从问题的初始状态，经过一系列中间的转化状态，逐步向目标状态靠拢，然后对每个步骤进行检验. 该例题按照图2执行问题解决计划，通过计算可以得出k的值.

4. 思维导图在数学问题解决的“回顾反思”阶段的应用

“回顾反思”阶段虽然容易被忽视，但它却是提高数学思维的一个重要方面. 思维导图呈现的是整个思维过程，其可视化的方法有助于学生对整个问题解决过程进行回顾和反思. 因此可以将其应用于数学问题解决的“回顾反思”阶段.

在该例题中，利用思维导图进行回顾反思，发现题目中隐含的限制条件为[Δ≥0]. 因此，在“执行计划”阶段求出的[k=2]不满足条件，故舍去. 若不经历“回顾反思”阶段，就会得出错误的答案.

不仅如此，回顾与反思的过程还有利于创造性思维和批判性思维的培养. 一个问题的结束意味着另一个问题的开始，思维导图促进学生深层次地理解问题，而不是简单地追求问题的答案.

四、结束语

数学问题解决是一项复杂的思维活动，思维导图恰好为这一思维过程搭建了“脚手架”. 思维导图能够帮助学生调控和捋顺思维，激发问题解决的灵感，提高问题解决的效率. 绘制思维导图是一场头脑风暴，对学生思维的培养大有裨益. 思维导图以集中的方式将学生对问题的理解引向纵深，以发散的方式搜索信息，以逻辑的方式组织信息，有利于纵向思维能力、发散思维能力和逻辑思维能力的培养. 思维导图将隐性的知识显性化，促进学生对自我认知结构的批判，有利于培养学生的批判性思维和创造性思维. 因此，思维导图是解决数学问题的一种有效的认知工具，应用思维导图能够提高数学问题解决的效率，增强学生的思维能力.

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基金项目：教育部产学合作协同育人项目——基于超星平台的高等数学课程混合教学模式的研究与实践（231102070271846）；

教育部产学合作协同育人项目——三全育人背景下高等数学课程思政建设与实践（230824461607000）；

辽宁省教育科学“十四五”规划2022年度立项课题——高等数学课程思政育人体系构建研究（JG22DB618）.

作者简介：吴志丹（1979— ），女，博士，副教授，主要从事数学教育教学研究.