巧设多维问题导

随着新课标的落地，教师的教和学生的学都有所转变。一线教师需要紧跟时代步伐，积极响应课改方针政策。如何巧设问题导学，激活学生思维，已经成为当前教育者关注的重要话题。只有从全景视角出发，设置核心问题导学，教学时化繁为简、以“少”胜“多”，才能让知识序列和能力培养循序渐进，形成相互联系、螺旋上升的畅通机制。这样不仅有助于教师更全面、深刻地把握数学教学内容，还有助于培养学生的综合能力和创新意识，真正促进学生思维向纵、深、广发展。

一、思辨性问题导学，在激活思维中“辩理”

数学是思维的体操，思维是数学的内核。发展思维是数学教学的本真追求。思辨是指通过深入思考和探究来理解和解决问题，以及推动知识和理解的进一步发展和完善的过程。思辨包括对事物、概念和观点的探究、推理和评估，并可以涉及不同学科领域的知识、经验和观点的综合。思辨需要运用批判性思维、创造性思维和逻辑思维等多种思维方式，对问题进行深入的分析和探讨。思辨可以帮助学生拓宽视野、发现新的解决方案、提高自我认识和培养创造性思维能力。教师通过实际问题导学，从学生认知起点出发，深挖蕴含的思维元素，设置指向学生思维发展的核心问题，引导学生深刻经历思维提升的过程，引发学生“辩论”，激发课堂思辨，在“不愤不启，不悱不发”的思辨状态中创造灵动课堂，撬动动态思维杠杆，解开静态知识的底层密码，发展核心素养。

（一）激活思维，理性思考

“鸽巢问题”是数学广角中的内容，属于综合与实践的学习领域。在此之前，学生已经多次体验模型思想，如“工程问题”“行程问题”等的学习。此外，教材还以数学广角为单元来呈现模型思想，如四年级的“鸡兔同笼”问题和五年级的“植树”“找次品”问题。

鸽巢问题是较为抽象和艰涩的数学问题，是组合数学的重要原理，蕴含着丰富的数学思想方法。鸽巢问题的“存在性”，是“最不利”情况下存在的。“最不利原则”是：为了保证完成某一个任务，从“最糟糕”的情况入手考虑问题，确保万无一失的思想方法，在现实社会中具有广泛的应用价值。对全体学生而言具有一定的挑战性。具体体现在：首先，难在模型的建立。“总有”“最多”“至少”等术语的理解，会对思考过程和结论的表述产生影响。其次，难在模型的应用。如何判断具体问题中的集合（鸽笼）与元素（鸽子），特别是对一些存在变式的情况，学生时常感到无从下手。学生在分享时，虽抓住了关键词“最多”和“至少”，但却不容易解释清楚。不难发现，学生理解的难点在于对“最多”和“至少”两个词的理解。明明要求要“最多”，怎么又出来个“至少”呢？教师应立足学生的思维特性，精心设计富有核心性、衍生性的核心问题，推动学生深入思考、深度探究、深刻感悟。学生在思辨中积累经验，在充分辩理、主动构建中举一反三，使思维在灵动课堂中拔节成长。

（二）搭脚手架，以辩促辨

核心问题：教师准备给节粮惜食之星颁发奖品，有粉、黄、蓝3双筷子。①直接拿走2根同颜色的筷子。②3双筷子放进抽奖箱，然后一次性抽出4根，2根若是同颜色，则取走。你会怎样选择呢？请说说你的理由。在这个问题导学中，学生经历的思维的真正碰撞有两次：第一次，选择①或②的思辨。一部分学生认为，选择①能保证得到1双筷子，选择②则可能得到2双筷子，也可能1双都得不到，求稳心理的他们选择①。这部分学生发表观点后，激起了更深刻的思维浪花。学生在头脑风暴中拨云见日：手气再差也会得到至少1双筷子。明白了①选项只能得到1双筷子，而②选项可能得到2双筷子，学生在思辨中无形体会了“总有”和“至少”的含义，将抽象、拗口的词语具象化，初步感知了鸽巢问题的确定与不确定因素。第二次，枚举法与假设法的思辨。在小组充分交流中，利用枚举法的学生列举出所有可能出现的情况，利用假设法的学生把思维聚焦在“抽出的筷子根数至少要比颜色数多1”，因此，4根筷子出现的“最不利”情况就是前3根颜色都不同，第4根一定会重复颜色。

通过实际问题导学，激活思维辩理，学生在独立思考、交流讨论中以辩促辨，自主构建数学模型，在逻辑论证中凸显鸽巢问题的本质意义，突出逻辑推理数学方法的思维价值和理性意义，提高逻辑思维能力，发展核心素养。

二、活动性问题导学，在觅寻本质中“明理”

高斯说过：数学中一些美丽定理具有这样的特性，它们极易从事实中归纳出来，但证明却藏得极深。数学教学不在于追求“热闹”的课堂，而在于觅寻隐藏在知识深处的数学本质，理解“四何”问题，即是何——是什么（知道）、为何——为什么（理解）、如何——怎么办（应用）、若何——又怎样（迁移）。问题导学以核心问题为导向，紧扣本质明理，让思维从浅层到中层，再到深层，使数学课堂学习走向纵深。

小学阶段“图形与几何”领域最基本的测量概念有长度、面积和体积，体现了由一维到二维，再到三维的立体空间。从纵向上看，长度单位、面积单位和体积单位有共同之处;从概念本质上看，三者存在内在联系。编者根据学生的认知特点，将这些空间概念分别编排在不同年级进行教学。教师应具有整体视野，从全景的角度建构小学数学知识体系，从知识本质进行整体构建，解决“断层”，减缓“坡度”，沟通不同阶段的教学认知，让知识序列和能力培养循序渐进，形成相互联系、螺旋上升的畅通机制，让学生深刻把握数学内容。

（一）拼摆冲突，引发深思

“面积和面积单位”在核心问题“哪个图形面积大”这一活动性问题的驱动下，学生自主选择重叠法、拼接法、数格子等，在活动中感受数学“理”的严谨性，在拼一拼、摆一摆过程中，通过同一图形用不同大小的正方形拼摆所用的数量不同，激起认知冲突，进而引出需要统一用一样大小的单位来摆，也就是统一面积单位，包括“形状”和“大小”的统一。度量的前提是构建度量的标准，并对标准进行赋值。学生在一、二年级认识时间、钱币、质量、长度等计量单位，已经积累了一定的思维经验。而面积单位的建构过程更为直观，也更利于学生感悟度量思想。人教版教材用了三角形、圆形、正方形对比引出正方形更适合做面积单位，此处给出的理由是圆不能密铺而三角形不能铺满。这个理由并没有说服我，因为长方形完全可以将正三角形一分为二继续铺满，而且用三角形作单位去铺长方形本来就不公平，今天换做两个三角形比较大小，那就变成了正方形不能铺满了啊！所以，我对此处课堂教学设计进行了改变。我们可以思考在除去圆之外，为什么面积单位非要选择正方形不可？我们需要找到一个充分的理由。以面积是1 cm2的长方形为例，其可以是长2 cm和宽0.5 cm，或长4 cm和宽0.25 cm等;面积是1 cm2的三角形，可以是底1 cm高2 cm，或底4 cm高0.5 cm;面积是1 cm2的平行四边形同样有很多。只有1 cm2的正方形是唯一的。我们需要选择一个不会变化的事物作为测量单位。“拼摆”的本质是用小的面积单位不断积累来测量图形的面积，以面积的深度理解为核心，帮助学生构建核心概念，建立面积和面积单位之间的关联，实现“整体化教学”。这有利于学生形成量感，达成核心素养目标。

（二）测量活动，建立表象

通过选用小圆片、小三角形和小正方形来测量，发现小三角形和小圆片在拼摆的时候都不能密铺，此给了学生充分表达的机会，叙述小正方形做面积单位最合适的道理。这样既有效促进思维生长，又给其他学生以启迪，让学生在明理中突破难点，在似懂非懂中顺利过渡，“面积单位”呼之欲出，结合估测和实际测量，帮助学生建立常用面积单位的表象。在数学中充分利用学生关于长度度量等方面的经验，把对面积的研究从定性引向定量。另外，对抽象的面积单位概念的体会和认识，应当通过实践活动帮助学生建立表象，并体验其实际意义。此处开展实践活动：哪些物体表面面积接近1 cm2（1 dm2/1 m2）？黑板的面积有多大？数学书封面的面积用哪个面积单位比较合适？估一估大概是多少dm2，再实际测量。估测活动与实际测量活动相结合，加深了学生对度量单位的认识与把握，使学生顺利建立面积单位的表象。学生容易通过对比、归纳，根据已给的信息，尝试给1 dm2和1 cm2下定义，并尝试用它们来估测身边物体面积的大小，还可能给出1 mm2和1 km2等面积单位。这样的方式非常考验学生的观察、分析、归纳能力，可以让学生真正成为学习的主体。

新课程理念指出，数学教学是数学活动的教学。教师应设计科学合理的教学环节，力求将几何概念课上得生动、有趣而富有数学之“理”，让学生在活动中思考，触动学生的思维内核，使学生真正实现认知上的超越，深化对本质的理解，实现思维的质变。

三、联系性问题导学，在构建体系中“通理”

美国认知心理学家布鲁纳指出，学习结构就是学习事物是如何关联的。因此，教师在解读教材时，要打破学段壁垒，将不同学段的教学内容进行有机融合，实现不同学段之间的知识衔接和能力培养，为学生提供更为连贯、系统、高效的学习体验。运用“三镜视角”观察，即用“显微镜”观察课时内容关键元素之间的结构关联，用“放大镜”观察课时内容与相关课时、单元和领域内容的结构关联，用“望远镜”观察课时内容与学科外相关学科乃至广阔的生活世界的关联。正如史宁中教授所说，基于数学核心素养的教学要实现从知识点到知识团的跨越。

（一）前后联系，归纳联理

在学习“圆的面积”时，学生都知道“圆的面积=πr2”，但这个公式的道理是什么，未必理解透彻。在梳理中，我们以核心问题“圆的面积为什么等于πr2”导学，撬开面积公式原理的大门，深挖隐藏的秘密。本课紧紧围绕转化思想，引导学生联系已学知识，把圆等分成4份、8份、16份、32份、64份……分割得越小，越接近长方形。观察发现，圆的面积即长方形的面积，长是πr，宽是r，圆的面积=πr2。圆的面积公式的推导方法有多种。通过对不同版本教材的对比，不难发现，大部分教材都是将分割后的圆拼成近似的长方形，然后通过比较长、宽、圆的半径之间的关系，推导出圆的面积计算公式的。在数形结合中研究、归纳，学生发现圆的面积与拼成的近似长方形的面积之间的联系，从而完成对新知的构建过程，建立数学模型。学生在联理中培养推理能力，体验了面积守恒、极限等数学思想方法，培养了解决问题的能力。在构建知识过程中，学生是发现者、研究者，能发展数学思维，提升核心素养。

（二）内在联系，深刻通理

“平面图形求面积公式的道理一样吗？”学生以学过的直边图形为例，阐明其中蕴藏的奥秘：都是在数图形里面有几个面积单位。学生在三年级学过长方形面积公式长×宽，长即一行面积单位个数，宽即一列的面积单位个数，长×宽即求长方形里面所铺面积单位的个数;在五年级学习“多边形的面积”单元知识时亦是。平行四边形、三角形、梯形均转化成已经学习过的图形，找到沿着长（或底）有几个面积单位，沿着宽（或高）有几个面积单位，再相乘。二维图形的面积就是数图形里有几个面积单位。圆的面积也一样，都是对多少个面积单位的表达，本质具有一致性。平行四边形、三角形、梯形的面积都是以三年级长方形的面积为基础，圆的面积的求解也能回到数面积近似长方形的面积单位。有的学生拼成近似平行四边形、近似梯形、近似三角形，再数面积单位。这样我们就能引导学生在联系中领悟转化思想，并灵活应用转化思想。

新课标强调，学生的学习应该是主动探索、自主交流的过程，必须在已有知识和经验上展开学习活动。本节课以联系性问题导学，基于学生年龄特征和心理特点，关注知识的差异性、阶段性和递进性，从“二维图形的面积”整体出发，沟通内在联系。在不断思考追问中，学生建立完整的知识结构，形成系统的数学思维，提高数学素养。

四、开放性问题导学，在对比质疑中“追理”

根据SOLO分类评价理论，不同的解法反映不同学生不同层次的认知水平，体现不同层次学生思维的广度、深度与灵活性。开放性问题提供“大空间”，可以让学生在师生对话、生生质疑中拨云见日。

“找次品”属于统计与概率的内容，旨在通过操作活动渗透优化思想。学生在真实情境中感受数学与生活的联系。教师不断让学生通过观察、试验、推理归纳优化策略的有效性，在潜移默化中学会数学地思考，培养了思维的条理性和逻辑性。此前学习过的“沏茶”“田忌赛马”“打电话”等，都属于这一范畴。学生已经具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力，因此，教学的关键落在找次品最优策略的本质理解上。

（一）明晰问题，感受推理

本课以“如何用最快的方法找到次品”这一富有挑战性的开放性问题导学，激发学生的探索欲望。学生容易想到用天平，基本上把8个分成（4，4），9个分成（3，3，3）来称，少部分分成（4，4，1）来称。教学时巧妙用对比—质疑手段唤醒学生思维，引导学生再次追理：“为什么要尽可能分成3份？”如果分成（4，4），称一次只排除，如果分成3份，一次可以排除，所以三等分最快。学生在比较、推理中理解“一分为三”策略最优的道理。

（二）对比质疑，深刻追理

此处的对比有：第一次：天平外的为什么不称？感受推理的重要性。第二次：把9分成（4，4，1）和（3，3，3），感受平均分的重要性。第三次：9个只需称2次，8个却要称3次，合理吗？第四次：同样是8个，分成（4，4）2次就可以找到，而分成（3，3，2）要3次，从而发现分法不同，将目光聚集到“第3个盘子”上。第五次：把8个分成3份对比，发现“使最大数与最小数相差1的这种尽量均分最优。第六次：“一分为三”和“一分为多”进行对比，如（1，1，1，1，1，1，1，1）和（3，3，2），通过数形结合发现，分的份数越多，第二次查找的范围越大，再次确认“一分为三”是最好的策略。即在多次对比中找到规律，把问题模型化。学生在解决问题的过程中，质疑与思辨共存，倾听与交流相伴，落实了核心素养的培养。

新课标视域下，小学数学深度说理课堂的问题设计与实施，要以思辨性问题导学，激发学生辩理：在活动性问题导学中觅寻本质，引发学生明理;在联系性问题导学中构建知识，引导学生通理;在开放性问题导学中对比质疑，促使学生追理。问题导学作为“双减”政策下的课堂新样态，以问题为导向、以导学为方法、以发展思维为目的、以落实核心素养为最终目的，把教学内容整合提炼归纳出核心问题，提供开放的课堂空间、问题空间、思考空间，以多元学习的方式，在说理表达中碰撞思维，推动数学课堂走向“灵动”，推动学生思维走向“深刻”，落实了全面育人的时代需求。

编辑：常超波