多元表征 流程架构:构建有意义的乘法

为了全面贯彻落实党的教育方针，2023年中山市开展了义务教育质量监测和评价。数据显示，一方面，学生对数学学习的兴趣、自信心不足;另一方面，学生问题解决能力有待提高。

基于教育质量监测结果，如何推进教育教学方式变革，进一步培养学生学习的兴趣和提高学生解决问题的能力，让学生学习走向深度思考，助力学生数学高阶思维能力培养，是当下亟须解决的问题。下面以“连乘解决实际问题”为例加以阐述。

“连乘解决实际问题”是人教版三年级下册“两位数乘两位数”单元末的解决问题教学，是在学生熟练掌握两位数乘两位数计算方法之后的教学，着重解决生活中连乘的实际问题。以往的教学中发现，学生在连乘的计算中问题不大，但对其中乘法意义的理解却存在较大的困难。如三个相关联的信息，学生按照自己的经验，能很快找到连乘的方法进行计算，但要表述每一步乘法具体的含义是存在困难的。也就是说，在学生朴素的意识中，连乘更多是停留在浅层、字面上的理解，即把任意的三个数相乘，一旦有信息变化，或者类型的变化，或者信息增加、减少的情况，学生往往会变得无所适从。

基于以上的分析，教师在教学中要把重心放在乘法意义的建构上，用波利亚“怎样解题”的建议来看，要引导学生梳理信息、明确问题、找准条件与问题之间的关联，构建有意义的乘法。为了实现这一目标，本文从以下几个方面进行教学实践。

一、创设情境，培养提问能力——关注学生思维的起点

教师在教学中要创设问题情境，将数学问题巧妙地融入情境之中，充分唤醒学生的知识储备，引导学生调用已有的知识经验，激发学生的求知欲望，使学生把已有问题的解决经验迁移到新知的学习中。

师：前段时间，我们学校举行了校运会，班上买了一些矿泉水，如图1，你能发现什么数学信息？

生：每箱有24瓶，每瓶2元。

师：你能提出什么数学问题呢？

生：买一箱矿泉水要多少元？

师：怎么解答？你为什么用乘法解决？

课堂伊始，利用刚举行完的校运会中购买矿泉水的情境导入。让学生根据这些信息提出相关的数学问题，并讨论为什么用乘法解决。学生初步回忆数量、单价、总价的数量关系式和乘法的意义，从而激活数学思维。

二、借助直观，理清数量关系——促进学生思维的外显

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，小学数学教学中，教师需要借助几何直观，通过数形结合的方式，帮助学生探究问题，让学生通过画图等表征方式将自己的想法直观呈现出来。在本课的教学中，教师应该引导学生通过画一画、算一算、说一说的表征方式，将内隐的思维显性呈现出来，对算式赋予的意义进行解释，进而在图、式、语言的表征中帮助学生在条件、问题之间构建清晰的数量关系，明确每一步具体的计算含义。

1.教学例3

2.从题中你知道了哪些数学信息？应该怎么求一共卖了多少钱？

（1）完成学习单。（温馨提示：先独立思考，可以画一画、算一算，把想法表示出来）

（2）同桌交流。同桌交流自己的方法，说一说用了几步，每步求的是什么。

学生通过阅读与理解，在学习单上留痕，找出已知信息和问题，培养收集信息和分析数量关系的能力。结合小学生擅长直观形象思维的特点，巧用学习单，通过画一画、算一算、说一说等教学活动，降低学生理解数量关系的难度，为正确分析和解决问题搭建必要的脚手架。因此，教师在课堂中应给足学生独立思考的时间和空间，让不同学生的思维能达到不同程度的发展，让内隐的思维逐渐外显。

三、交流展示，鼓励算法多样——促成学生思维的碰撞

根据例题中三个信息的编排顺序，大部分学生会直接利用前两个信息先求出一共卖了多少个保温壶，也有少部分同学会想到先求1箱保温壶卖了多少钱。不管是哪种方法，学生最能听懂的就是同伴的语言。因此，在教学中，教师要鼓励学生大胆思考，联系所求问题，说清自己的解题思路，在生生交流中产生思维碰撞，进一步明晰解题的步骤和方法。

师：通过刚才的探究，大家有了自己的思考，谁愿意来分享一下自己的想法？

（学生汇报）

师：你是先画图还是先写算式？

生：我是先画图（见图2），再写算式。

师：你的图表达的是什么意思？你的算式是先解决图中的哪一步？

生：我用圆圈代表保温壶，画5个框表示有5箱，每个框里画12个圆代表每箱有12个保温壶。先用5箱和每箱12个保温壶这两个信息求出一共有多少个保温壶，12×5=60（个），再用保温壶的数量乘1个保温壶的价格就求出一共卖了多少元，60×45=2700（元）。

师：大家听明白他的方法了吗？谁能试着把刚才这位同学的方法在黑板上摆一摆表示出来？

学生边摆树状图（见图3）边讲解，先选择哪些信息，求出来的是什么，再……

师：老师看到有同学是这样列式的（呈现图4），谁看明白他的方法了？

生1：这个是综合算式。

生2：他们都是先求出了一共有多少个保温壶。

生3：他们的方法是一样的。

师：是的，这两个算式用的是同一种方法，都先求一共有多少个保温壶，只是书写形式不一样。一个是分步计算，一个是综合算式。

师：真了不起，其他同学有不一样的想法吗？

生：我用的方法不一样，我画线段表示。先求出每箱保温壶卖多少钱，45×12=540（元），再用1箱的价钱乘5箱，540×5=2700（元）。（生结合画的图和列出的算式汇报，见图5）

师：真厉害，想到了不一样的方法。谁能在黑板上再来摆一摆？

学生在黑板上边摆树状图（见图6）边讲解，先选择哪些信息，求出来的是什么，再……

师：请同学们尝试将分步改写成综合算式。

追问：刚才同学们找到了两种不同的方法，那还有其他的方法吗？

（生犹豫了一会儿）

生1：我先算45×5。

生2：（反驳生1）那你先算出来的是什么？

生3：我也不赞同他的这种方法，因为每个45元与5箱这两个信息没有直接的关系。所以不能先算45×5。（同学们纷纷点头表示赞同）

师：你们说得真好，看来同样是三个数相乘，但并不是随意两个都可以先乘，每一步一定要乘得有意义才行。

师：仔细观察这两种方法，它们有什么异同点？

小组先交流，再汇报。

生1：它们的相同点是都用了两步计算。

生2：都是连乘解决的。

生3：它们的方法不一样。

生4：它们先求的那个问题不同。

……

师小结，引出中间问题。

通过展示学生的不同解题方法，一方面引导他们具体解释每步求得的实际意义，进一步明确解决问题的思路，也就是先算什么、再算什么，训练学生的语言表达能力。追问环节，引发学生的思辨质疑，使其明确每一步相乘的意义。在交流展示多种算法中，学生思维的火花得到碰撞。另一方面，重视每种解题思路分步与综合的对比，明确具体算法的含义。适当引导学生通过观察比较两个算式，明确不同算法之间的区别与联系。在对比中梳理出中间问题，降低学生的理解难度。这样的过程，不仅有助于培养学生的分析、比较、抽象、概括能力，而且有助于他们从中感悟出一些乘法运算的基本规律，为后续学习奠定基础。

四、多元表征，文图式的互译——促进学生思维的进阶

画图是分析问题、解决问题的重要策略，能有效帮助学生分析数量关系，找到解题的步骤和方法。在教学中，教师要引导学生阅读题目，对题目中的信息进行加工，用文字、画图、操作、语言、符号等方式将自己的理解转译出来，通过具体的表征形式来表达自己的思考，并通过自主分享、同伴质疑与交流的方式增进对知识的理解。连乘是三个数相乘，更需要建立在有意义的理解上列式相乘。

教师通过问题引领及动手操作，引导学生手、脑、口有机结合，实现文、图、式互译，随机切换，培养学生思维的有序性和灵敏性，促进学生思维的进阶。

五、回顾反思，构建数学模型——促进学生思维的迭代

连乘作为解决问题的教学，一是需要对解决问题的教学步骤进行复习与巩固，引导学生对解决问题三个基本步骤“阅读与理解、分析与解答、回顾与反思”进行回顾与梳理，便于学生将本课学习的经验、方法进行迁移;二是需要对连乘的解题思路进行回顾：引导学生先利用两个信息解决一个中间问题，再在中间问题的基础上解决题目的目标问题。因此，对本课的梳理与回顾，一方面是对解题流程的回顾，另一方面是对方法的总结与回顾，有利于学生梳理经验，逐步形成解决连乘问题的一般化思路。

师：结合板书，回顾今天的学习内容，我们是如何展开研究的？

生1：先读题找到已知条件和要求的问题，再分析题意进行解答，最后检验结果。

生2：选择不同的信息，求出来的问题就不同。

生3：可以用画图的方式来帮助我们分析和理解。

……

本环节通过回顾整节课的学习，引导学生梳理解决实际问题的基本步骤（阅读与理解、分析与解答、回顾与反思，见图7），让学生去沟通新旧知识的联系，寻找解决问题的方法，在总结中加深对知识形成过程的理解，自主构建数学模型，从而实现思维的迭代，进而将本课所积累的知识迁移到同类型问题的解答中。

六、梯度练习，发展应用意识——促进学生思维的成长

练习是训练学生思维的有效途径，可以在巩固新知的基础上让学生充分展示自己的思维过程。有梯度的练习，能让学生在知识再现、变式练习、拓展练习中拾阶而上，促进思维的进阶;便于学生把本课的学习经验迁移到类似的问题解决过程中，将零散的信息建构起结构化的联系，提高应用意识。

1.基础练习（固“四基”）

（1）光后中心小学有3幢教学楼，每幢有4层，每层有3间教室，一共有几间教室？（引导：说出解决问题的步骤，说清每一步求的是什么）

（2）游泳池长25米，小军游了4个来回，一共游了多少米？（引导“来回”在数学中的意义。）

2.拓展延伸（展“四能”）

下面三种计算立体图形中小正方体个数的方法对吗？请你选择其中一种，说说你的理由。

①4×2×3 ②3×2×4 ③4×3×2

3.生活启示（渗“教育”）

（1）每天比其他同学多阅读2分钟，一个月按30天计算，一年12个月能比其他同学多读多少分钟？（学习方面）

（2）1顿饭节约50克粮食，一天3顿饭，一年365天能节约多少粮食？（节约方面）

本课的练习主要围绕巩固“四基”、发展“四能”、渗透“教育”三方面来设计。基础练习方面，结合学生熟悉的场景，设计教学楼和游泳池中的数学问题，不仅能培养学生运用知识解决实际问题的能力，还能让学生体会到数学与生活的广泛联系。拓展练习方面，重视在对比中进一步增进对连乘的认知。具体为：例题中三个数据不能随意相乘，但习题中求正方体个数时三个数可以随意相乘，让学生明白连乘不是乱乘，每一步列式都应有意义。在生活启示方面，通过阅读和珍惜粮食进行思想教育。练习设计由易到难，从简单到复杂，使每个层次的学生都有“事”可做，通过有梯度的练习，提高学生的应用意识，促进学生思维的成长。

综上所述，在“连乘解决实际问题”的教学中，需要超越三个数任意相乘的朴素理解，充分调用学生的经验，让学生带着已有经验进行新知探究，在新知探究的过程中通过多元表征呈现自己的思维，注重图、操作、式、数量关系的关联与互译，并架构条件与问题之间的解决流程图，搭建好必要的脚手架——中间问题，在针对性、层次性、拓展性的练习中帮助学生建构有意义的乘法，进而在梳理问题解决步骤的基础上帮助学生建立思辨的认知：连乘不是任意乘，而是需要建立有意义的乘法，清楚条件与问题之间的关联。

编辑：赵飞飞