蜗轮蜗杆传动系统的非线性动态特性分析

摘 要：为了研究蜗轮蜗杆传动系统的非线性动态特性，本文采用集中参数法建立含齿侧间隙、综合传动误差、时变啮合刚度等非线性因素的蜗轮蜗杆传动系统非线性动力学模型。使用4阶变步长Runge-Kutta法对蜗轮蜗杆传动系统动力学方程进行数值仿真。通过分岔图、相图和Poincaré映射图分析系统的非线性动态特性。结果表明，系统经历了擦边分岔、跳跃分岔以及连续的倍化分岔，使其从周期1运动转迁为混沌运动；随着啮合阻尼比逐渐增大，高周期和混沌运动逐渐变为稳定的单周期运动；进行系统动态设计时，选取合理的啮合阻尼比可以提升系统的稳定性。

关键词：蜗轮蜗杆；非线性；分岔

中图分类号：TH 132" " " 文献标志码：A

蜗轮蜗杆传动系统具有结构紧凑、传动效率高、工艺性好以及反向自锁等特点，被广泛应用于航空航天、自动驾驶汽车和智能家居等高科技领域。随着蜗轮蜗杆传动系统的传动效率和承载能力不断提高，使其满足更高品质的产品需求并减少齿轮副冲击振动和噪声是目前亟待解决的关键问题[1]。蜗轮蜗杆齿轮副啮合时发生冲击振动是不可避免的，会影响蜗轮蜗杆传动系统甚至整个机械系统的安全性。因此，对蜗轮蜗杆传动系统的冲击特性进行非线性动力学研究十分必要。

蜗轮蜗杆传动系统的非线性动态特性分析通常使用理论推导分析系统，采用数值计算进行仿真验证。杨艳通过分析双参数空间内齿轮副动态响应与传递误差间的关系，验证了极端工况条件导致的齿轮副跳跃、脱啮等异常振动现象[2]。莫帅等研究了高速重载人字齿轮系统稳定性与各类关键参数的正、负相关关系，探究了不同因素对系统动态响应的影响[3]。

1 动力学模型

含齿侧间隙、支撑间隙的蜗轮蜗杆传动系统弯扭轴耦合非线性动力学模型如图1所示，其中主动齿轮1为蜗杆，从动齿轮2为涡轮。

支撑蜗轮蜗杆传动系统的滚动轴承被等效为线性弹簧和线性阻尼。使用牛顿第二定律可得系统微分方程，其弯扭轴耦合运动微分方程如公式（1）所示。

（1）

式中：Xi、Yi、Zi（i=1，2，3，4）分别为系统沿X、Y、Z轴方向的振动位移；Tg、Te分别为两轴上的扭矩；I1、I2分别为转动惯量；Kij、Cij（i=1，2；j=x，y，z）分别为系统的支撑刚度、支撑阻尼；M1、M2分别为蜗杆和蜗轮的质量。

公式（1）中，蜗轮蜗杆啮合间的动态啮合力及其沿坐标方向X、Y、Z的分力依次如公式（2）所示。

（2）

公式（1）中的非线性间隙函数统一为公式（3）。

（3）

式中：X代表齿侧位移和振动位移；B代表齿侧间隙和支撑间隙。

蜗轮蜗杆传动系统因传递误差和振动产生沿啮合线方向的相对位移Xn如公式（4）所示。

Xn=（X1-X2+R1θ1）cosαnsinβ+（Y1-Y2）sinαn-（Z1-Z2-R2θ2）cosαncosβ-En（τ） （4）

式中：Ri（i=1，2）为蜗杆和涡轮的分度圆半径；αn为齿轮法向压力角；β为蜗杆的导程角；En（）为综合传递误差，如公式（5）[4]所示。

En（τ）=Emcos（Ωτ+ψ1） " "（5）

为使公式简洁，令a1=cosαnsinβ，a2=sinαn，a3=cosαncosβ。

引入齿轮系统的特征频率，选定特征尺寸bc，对系统的辨识参数进行处理，可得xi=，yi=，zi=，

b=，em=，无量纲时间t=ωnτ，无量纲频率ω=Ω/ωn。将上述无量纲参数带入公式（1），可得蜗轮蜗杆传动系统的无量纲微分方程，如公式（6）所示。

（6）

公式（6）中的参数经过无量纲化后，如公式（7）所示。

（7）

2 非线性动态特性分析

将蜗轮蜗杆传动系统啮合周期作为庞加莱截面，选择合理的庞加莱截面可以更简洁、清晰地分析系统的运动状态。使用C语言进行编程，采用4阶变步长龙格库塔法为数值计算方法。利用计算机对无量纲化后的系统运动微分方程进行计算求解，得到系统的全局分岔图、相轨迹和Poincaré映射的叠加图，结合这些图像全面分析系统的稳定性。蜗轮蜗杆传动系统的主要设计参数如下：模数m=4mm，蜗杆齿数z1=3，蜗杆的直径d1=44mm，涡轮齿数z1=37，法向压力角αn=20°，主要动力学参数见表1。

2.1 啮合频率对系统的影响

在以上述设计和动力学参数不变的情况下，选择涡轮蜗杆传动系统的啮合阻尼比ξ＝0.08，变量参数选择无量纲啮合频率ω∈[0.1，2.5]，输出参数选择系统的相对啮合位移，蜗轮蜗杆传动系统的位移-频率分岔图如图2所示。从图2中可以得出，当无量纲啮合频率ω∈[0.1，0.5089]时，蜗轮蜗杆传动系统进行周期1运动，此时系统的齿轮副为完全啮合状态。齿轮系统运行时，每对轮齿始终啮合，齿轮间的无冲击振动发生。当啮合频率ω=0.5089时，系统开始发生擦边运动，此时齿轮副仍无冲击振动，虚线表示两齿间的间隙，可以看到系统的相对位移刚好碰上。当ω继续增大时，齿侧逐渐开始产生冲击振动，系统进行单次碰撞的周期1运动。ω=0.5673时，系统发生跳跃分岔。虽然系统处于周期1运动状态，但跳跃分岔的出现导致系统的运动轨迹发生明显变化，说明跳跃分岔干扰了系统的平稳运行。继续增大无量纲啮合频率ω，当系统穿越倍化分岔点ω=0.8736时，系统的运动周期发生改变，由周期1运动转变为周期2运动。当ω=0.9时，相轨迹2次穿越Poincaré截面，齿轮副发生冲击碰撞的次数增加。当ω继续增大时，系统再次发生跳跃分岔，齿轮副的运动由此发生改变，使系统变成单次碰撞，系统还处于周期2运动状态。当ω接近1.3时，系统的运动变得不稳定，在较短时间内，系统连续发生倍化分岔且速度越来越快，系统由周期2运动迅速转迁为周期4运动，继而进入周期8运动等高周期运动，最终变为混沌运动，系统的运动混乱，有很多点穿过Poincaré截面，无法查看运动周期。此时，蜗轮蜗杆传动系统齿轮间的碰撞次数变多，齿轮受到较大冲击，处于危险状态。随着ω继续增大，高周期和混沌行为逐渐减弱，呈下降趋势。系统又在较短时间内经过连续逆倍化分岔，从混沌转迁为周期4运动，最终变为周期2运动，系统的运行慢慢恢复稳定。当ω≥1.7195时，系统最终退化为稳定的周期1运动，可以看出系统在高频区稳定运行，啮合状态保持良好。

2.2 啮合阻尼比对系统的影响

啮合阻尼比是保证蜗轮蜗杆传动系统平稳运动的关键参数，对传动系统的运行可靠性和减振降噪具有重要作用。为分析啮合阻尼比对系统动态特性的影响，选取系统的啮合阻尼比ξ=1.0和ξ=1.2，无量纲啮合频率ω区间依旧为[0.1，2.5]，输出参数为系统的相对位移，保持设计和动力学参数不变，得到如图3所示的位移-频率分岔图。与图2进行比较可以发现，在低频区，系统的运行基本一致，啮合阻尼比ξ的变化对系统发生的跳跃分岔无明显影响。在系统从低频区向高频区的运动过程中，齿侧间的冲击振动会突然增大2次，影响了齿轮的运动稳定性。但是随着啮合阻尼比ξ增大，系统在ω∈[1.35，1.6]内的复杂混沌行为开始慢慢消失，运动周期逐渐减少，最终转变为稳定的周期运动。说明啮合阻尼比对蜗轮蜗杆传动系统在高频区的运行影响较大，通过选择合理的啮合阻尼比，不仅可有效减少高频区的混沌运动，降低齿轮间的冲击振动，还能保证齿轮啮合传动稳定运行，有利于提升系统精度和性能，满足更高的工业需求。

3 结论

本文建立了含弯扭轴三方向的蜗轮蜗杆传动系统非线性动力学模型，研究了不同啮合频率和啮合阻尼比下系统的动力学特性，主要结论如下所示。1）随着ω增大，系统经历擦边分岔、跳跃分岔和连续倍化分岔后，快速进入高周期直至混沌运动，又通过连续逆倍化分岔退化为稳定的周期1运动。2）随着ξ不断增大，系统的高周期和混沌运动等复杂行为逐渐消失，最终稳定运行。合理提高齿轮副的啮合阻尼比ξ，可以有效减少系统在高频域的复杂行为，有利于提高系统的稳定性，减少齿轮间的冲击振动和噪声。

参考文献

[1]秦大同.国际齿轮传动研究现状[J].重庆大学学报，2014，37（8）：1-10.

[2]杨艳.双参数空间内两级齿轮传动系统的动态响应[J].机械设计，2023，40（10）：33-41.

[3]莫帅，曾彦钧，王震，等.高速重载人字齿轮传动非线性动力学分析[J].力学学报，2023，55（10）：2381-2392.

[4]李润方，王建军.齿轮系统动力学——振动、冲击、噪声[M].北京：科学出版社，1997．