虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出分析模型

马超+许长新+田贵良+吴丹+石常峰+吴兆丹

摘要 虚拟水是水资源需求管理的创新领域。投入产出法是研究虚拟水的重要方法，但既有研究多以线性静态投入产出模型为主，存在较强的比例性假设，在解释现实经济活动中的虚拟水贸易时存在一定缺陷和不足。为更加贴近现实状况，本文利用可计算一般均衡（CGE）思想，设计了一种新的虚拟水测算思路，对传统的线性静态投入产出模型进行了非线性和动态化的拓展，旨在对区域经济系统中的虚拟水贸易进行更加科学合理的计算和考察。首先，参照国家统计机构常用的42产业部门划分方式，根据一般均衡理论，围绕区域经济系统的生产模块、价格模块和供需平衡模块三个部分，定义有关变量和参数，对区域经济系统非线性动态投入产出模型进行了详细的方程列写。在此基础上，将虚拟水流动的因素与一般形式的非线性动态投入产出模型进行嵌套，采用“母表”（价值型流量表）和“子表”（水资源流量表）相结合的形式，给出了一种全新的区域水资源投入产出表的设计思路与编制方法，将可计算非线性动态产出模型从一般形式扩展至水资源领域，构建了区域经济系统中虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出分析框架。分析同时指出，通过对该模型进行求解，可以推导和计算平衡增长路径和最优增长路径下的区域经济系统产出结构和用水结构，并可结合虚拟水贸易对区域经济的作用机理，分析最优增长路径下实施虚拟水贸易对区域经济增长的贡献。

关键词 虚拟水贸易；可计算；非线性；动态；投入产出

中图分类号 TV213.4 文献标识码 A 文章编号 1002-2104（2016）11-0160-10

doi：10.3969/j.issn.1002-2104.2016.11.020

虚拟水贸易是无形的“引调水工程”[1-2]。“虚拟水”的概念由Tony Allan教授于1993年首先提出[3-5]，与实体水相对应，是指生产商品或服务中所需要的水资源量[6-7]，以无形的方式蕴含在产品和服务中。虚拟水贸易，则是指缺水国家或地区通过贸易的方式从富水国家和地区购买水密集产品来缓解本国或本地区的水资源压力，实现当地的水资源安全及食品安全。其理论的提出与发展拓展了过去人们对于水与粮食问题上从问题发生范围内寻求解决方案的传统思路，而是强调从系统的角度出发，基于系统思考的方法从问题发生的范围之外寻找解决问题的对策，为水资源管理特别是需求侧管理开辟了新的视角。虚拟水的量化分析和政策研究，也由此成为水问题政策专家与学者的关注焦点与创新领域。我们试图对传统的线性静态水资源投入产出模型加以扩展和改进，引用当前较为前沿的可计算非线性动态投入产出模型，基于可计算非线性动态投入产出的思想，建立区域经济系统非线性动态水资源投入产出模型，对区域经济系统中的虚拟水贸易进行更加科学合理的计算和考察。本文将重点给出可计算非线性动态水资源I-O模型的构建思路。

1 文献综述

在虚拟水的量化计算中，国内外学者常用的方法有两种：一种是单位水量法，主要来自Chapagain和Hoekstra提出的研究不同产品生产树的方法[7]，以及Zimmer和Renault基于对不同产品类型的区分的计算方法[8]。比如，在计算农产品的虚拟水含量时，普遍采用联合国粮农组织（FAO）推荐并修正的标准彭曼-孟蒂斯公式，计算作物在生长发育期间蒸发蒸腾所消耗的全部水资源量ETc（Plant Evapotranspiration），并对农作物产量YC进行统计，即可得到单位质量农产品的虚拟水含量[9-11]。另一种是投入产出法。与生产树法相比，后者因为其所依据的投入产出表覆盖了国民经济系统中各种产品的生产过程和使用去向，可以在产业普遍联系之中，更为直观、准确的追踪产品贸易背后的水资源流动效应，因而成为研究社会生产系统中水资源问题最重要的分析工具之一[12-14]。近年来，大量学者使用投入产出模型对虚拟水贸易进行计算分析。Yu等用投入产出模型计算了英国虚拟水贸易格局[15]。Antonelli等利用投入产出法计算了地中海地区“蓝水”和“绿水”的流动情况[16]。田贵良和许长新基于投入产出分析方法，构建起虚拟水贸易理论框架下的水价敏感性模型，分析了水价上涨对各产业产品价格带来的影响[17]。Guan等用投入产出法，计算了我国北方6省和广东省的虚拟水流动情况[18]。谭圣林提出运用单区域投入产出表和多区域投入产出表研究虚拟水，并以广东省为例进行了量化分析[19]。李方一对山西省与国内其他地区的虚拟水流动关系进行了实证研究[20]。雷玉桃依据投入产出分析原理，对中国17个行业的各种用水系数和虚拟水进出口量进行了计算分析[21]。周姣等建立起价值-实物混合型区域间投入产出表对华北地区的虚拟水贸易进行了量化分析[22]。黄晓荣等运用投入产出法计算了1998-2002年宁夏地区的虚拟水状况[23]。马忠等利用投入产出法对甘肃省张掖市各产业间的虚拟水流动进行了分析[24]。总的看来，随着虚拟水概念的逐渐普及和研究领域的不断扩大，投入产出法以其行业覆盖面广、计算精确度高的特点，成为当前虚拟水贸易研究中的主流方法。

但需要看到，既有研究中的投入产出模型多以线性静态模型为主，存在着很强的比例性假设，即假设在一定的值域内，某种产品的产出量与包括水资源在内的投入要素之间是成线性比例的，各投入要素间必须是固定比例而不能变化的[25]。而事实上，在实际生产过程中，各产业内部投入要素的比例是在不断变化的。比如，发展中国家处于经济起步阶段时，往往投入较多的劳动力资源而使用较少的固定资本，但随着经济发展，固定资本占投入要素的比例不断增加，而投入的劳动力总量基本变化不大，导致其投入比例的减小，由此引起了两种投入要素其比例隨着生产的进行在不断变化。由此看来，基于比例性假设的线性静态投入产出模型在描述现实经济活动中的投入产出关系时不够准确。为了使投入产出模型更加切近现实中的区域经济系统，近年来，许多经济学家都致力于将线性投入产出模型推广到非线性的情况，并取得一定进展，但尚未有研究将这一思路应用到水资源及虚拟水贸易领域。

2 模型构建的思路

本模型的构建思路源于可计算一般均衡（CGE）思想。这一思想源于经济学家瓦尔拉斯的一般均衡理论，该理论有别于数据导向的计量经济学模型，而是依赖坚实的经济理论基础，将整个经济系统作为研究对象，全面考察系统中各种商品和要素供给、需求和供求的变化关系，成为研究经济复杂系统和政策分析的有效工具[26-28]。在CGE框架中，各经济主体和市场都将价格视为参数，并通过价格相互作用，既体现经济主体彼此之间的联系，又包含对市场机制的描述[29]，一般框架如图1所示。而水资源作为资源环境可持续发展的基础性资源，与经济社会关系密切、相互依存，几乎所有行业的生产和消费都直接或间接与水有关。在接下来可计算非线性动态水资源投入产出模型的构建中，本文将结合CGE的思想进行阐释。

国内学者曾给出6部门区域经济系统非线性动态投入产出模型的计算方法[25]。从本质上讲，如果采用上述原理与方法进一步构造更多部门的可计算非线性动态投入产出模型，除了在数据采集及参数估计方面要求较大的工作量，在技术上是完全可行的。考虑建模、求解的复杂程度以及统计数据的可得性，本研究拟扩展到投入产出分析中更为具体的42产业部门，建立42部门可计算非线性动态水资源I-O模型。需要说明的是，本文对非线性投入产出模型中相关参数的设置，与投入产出表的元素结构基本一致。

3 区域经济系统非线性动态投入产出模型方程列写

根据一般均衡理论，区域经济系统由生产模块、价格模块和供需平衡模块三部分组成。本小节分别构建前两模块的非线性动态方程组，其中生产模块包括总产出方程、增加值生产函数、固定资产生产函数、存货生产函数和资本存量平衡方程；价格模块包括产品价格方程、要素价格方程、增加值价格模型。

参照国家统计局惯用的部门划分方式，将国民经济划分为42个部门，其中第一产业包括1个部门，即农林牧渔业，简称农业，代码为01；第二产业包括25个部门，代码为02到26；第三产业包括16个部门，代码为27到42。为体现区域经济系统固定资本的实际变化，我们在建立非线性动态投入产出模型时，将建筑业部门（代码26）从工业部门中单独分离进行分析。

3.1 生产模块方程

关于区域经济系统生产模块的数学描述，主要包括各产业部门的生产动态方程、固定资本累计与投资方程两部分。下面，首先给出区域经济系统生产动态方程，定义变量见表1：

需要强调的是，表中所定义的变量与投入产出表中的定义完全一致。另外，在以上42个部门或者42种产品中，只有工业产品及建筑业产品可以作为固定资本，由于每个部门其使用的固定资本总额Kj中包括工业品固定资本Kj′和建筑业产品固定资本Kj″，一般的，有如下平衡关系：

对于第j个部门，其投入产出关系可用图2来表示：

对于图2所示的第一层关系，根据宏观经济学的基本知识，以及区域经济系统投入产出经济流量表的平衡关系，有：

产业部门j中间投入的i产品数量xij由j部门的经济产出Yj和中间投入系数aij决定，后者可以直接从投入产出表直接获取。对于j部门的增加值Vj，根据投入产出表的平衡方程，则有：

由式2和式3可得到区域经济系统投入产出关系第一层关系的数学方程，列写如下：

第二层关系表示了生产活动中部门增加值与固定资本投资投入产出的数量关系，其数学表达式可用学者惯用的CES类型的生产函数来描述。方程如下：

其中，αj、dj、σj是j产业部门CES函数的参数。

下面，考虑图2的第三层投入产出关系，该部分用以反映固定资本投资的构成比例。考察投入产出表的结构不难发现，在实际的固定资本积累中只有工业品与建筑业品可作为固定资本投资，对于固定投资中的其他部分由于无法在投入产出结构中明显体现，本文不予考虑。不妨假设部门j工业产品投资占固定资本的比例为βj，则建筑业品所占比例为1-βj。其关系方程很容易由下式表达：

用列昂惕夫型的函数表示，上式转化为：

同样的，βj值也可以依据区域经济系统历年的统计数据进行参数估算。以上方程构成了区域经济系统各部门的生产方程。

下面，仍以产业部门j为例，对固定资本累计与投资方程进行描述。为体现固定资本的累计效应，需设定基准年t及基准年的后续年t+1，此外还需设定固定资产折旧率δ′和δ″，分别代表工业品固定资本及建筑业固定资本的折旧率，部门j在第t年使用的工业品及建筑业品固定资本数量分别为Ij′（t）和Ij″（t）。由此，我们对部门j的固定资本积累与投资方程表述如下：

至此，区域经济系统第j个产业部门的生产函数、固定资本投资及资本积累的非线性动态方程推导完毕，联立方程组如下：

3.2 价格模块方程

区域经济系统价格方程可由生产函数方程进行演推，根据公式（9）的第一式，即列昂惕夫型的生产函数，不妨假设j部门产品的产出Yj量为1，反映在方程上，此时中间投入xij等于中间投入系数aij，即：

对于增加值Vj，有：

类似的，我们首先对价格方程推导中涉及的诸多变量进行定义，详见表2。

其中，pj和qj分别为j部门的产品价格及增加值价格。应当注意，该价格并非现实中产品价格的绝对值，而是价格指数的概念。这是因为，对于价值型投入产出表，每单位的经济产出并非数量概念而是代表价值概念，所以这里的pj和qj均指调价幅度。如pj=1.2，则对于j部门1亿元的经济产出而言，是指当前的产品价格被低估，应调整为1.2亿元。在市场平衡时，一种产品的市场价格应和实际投入的成本相等。

接下来，考虑生产函数非线性方程的第三式，即：

用价格方程来表示生产函数中固定资本的构成比例，首先应明确工业固定资本与建筑业品固定资本的价格指数。对于后者，由于在投入产出表中由唯一的部门与之对应，可直接由该部门的价格指数予以表示，而工业固定资本则包含了投入产出表中的多个部门，由于模型中的参数设置与投入产出表结构完全一致，因此不能用某一参数直接给出。这里，我们考虑用区域经济系统各工业部门的平均价格指数来表示工业固定资本的价格指数。如，对于42部门投入产出表，其工业部门包含了代碼由02至25总共24个经济部门，因此其固定资本价格指数可表示为：p′=p2+p3+…+p2524，而建筑业固定资本的价格指数为p″=p26。简明表示起见，使用p′和p″分别表示两种固定资本的价格指数。根据生产方程的第三式，以及前面给出的参数，我们得到部门j使用两种固定资本分别付出的成本（租金），包括资本增长率及折旧，如下式所示：

基于上式，再根据工业品及建筑业品分别占固定资本的构成比例，部门j每单位的固定资本投资需要付出的成本（租金）可表示为：

容易理解的是，当市场达到平衡时，产业部门使用的各种固定资本其统一回报率相等，即r=r′=r″。则上式转化为：

不难发现，对于42部门的区域经济系统投入产出模型，上述价格动态方程共有126个方程，而变量却共有128个变量。按照方程自身的经济学特点，变量个数大于方程个数，且方程相互之间并非全部线性独立，如果按照数学上非线性的方程组算法，求解过程将变得十分复杂，具体方法我们将后续研究中詳细解释。

3.3 供需平衡模块方程

在构建了区域经济系统生产与价格动态方程后，下面主要根据列昂惕夫动态I-O系统总供给流量与总需求流量的关系，通过对区域经济系统的供需模块的动态平衡进行数学描述和方程的列写。

3.3.1 数学描述

列昂惕夫动态投入产出模型属于动态一般均衡分析的范畴，在区域经济系统的平衡增长中，首先应满足如下关系：

总产出=中间产品+固定资产投资品+

存货投资品+最终净产品（24）

对其进行数学方程的列写，上式可表述为：

这里，将区域经济系统中的实物平衡方程表示成了与传统的列昂惕夫动态投入产出模型完全一致的形式。其中，δ′=δ″=0，即不考虑固定资本折旧，A为中间投入系数矩阵，根据历年投入产出表可以直接查找得到，B（p，w，r）中的元素是价格p、工资率ω和利润率r的非线性函数，反映了区域经济生产过程中资本与劳动相互替代的情况，这也是与线性投入产出模型的根本区别。此外，这些非线性函数的数学表达式由上一部分与本节前面部分构件的区域经济系统三大模块动态方程组确定，其中的参数也可根据实际数据进行参数估计，因而是可计算的。

为便于对实物平衡方程进行求解，还应当相应对消费需求向量c（t）的形式进行等价变换。用于最终消费需求的是消费者收入，即劳动力的工资总额，而工资总额又等于生产过程中由于劳动力投入带来的增加值。在实际的消费中，假设消费者用工资总额wL购买i中产品的支出比例是固定的，令i产品的价格为pi，购买量为ci，支付比例为gi，g1+g2+…+gi=1，则有如下关系：

4 基于非线性动态投入产出的虚拟水贸易分析框架

建立了区域经济系统的非线性动态投入产出模型之后，接下来，将虚拟水的因素考虑进去，建立相应的非线性动态水资源I-O模型。为了更加直观的表示水资源在各部门之间的投入产出关系，这里引入一种全新的区域水资源投入产出表的设计思路与编制方法。

如表3、表4所示，用于可计算非线性动态水资源I-O模型求解的投入产出表，采用“母表”与“子表”的形式。其中，“母表”为区域经济价值型流量表，其结构与区域经济投入产出表的一般形式完全一致，“子表”为区域水资源流量表，其结构布局与“母表”是一致的，表中的元素与“母表”中的元素一一对应，即“子表”中所有数据均为“母表”同一位置价值量所对应的直接用水量。

为了建立虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出分析框架，这里需要厘清区域经济系统一般形式的投入产出模型和水资源系统的投入产出模型之间的关系，重点作出两点说明。首先，前面建立的区域经济系统实物平衡方程，具有与传统的列昂惕夫投入产出模型相同的形式，并且与区域经济系统中的价值型投入产出表是相互对应的，即方程中的元素Y（t）是指社会总产品的价值，c（t）代表区域经济系统的最终消费需求对应的价值量。其次，区域经济系统的平衡关系适用于接下来的水资源投入产出分析，也就是说，利用标准型的可计算非线性动态投入产出模型，根据水资源投入产出母表与子表的对应关系，以水资源的流量对模型中的经济变量进行一一替代，就可以建立起可计算非线性动态水资源I-O模型，据此可对区域经济系统中的虚拟水贸易进行分析测算。对于第二点说明，我们基于前面建立的区域经济系统平衡方程给出简要证明，为便于阅读，将该方程再度列写如下：

根据前面的基本假定，由于产品类型不同及其价值的差别悬殊决定了使用单位质量产品生产所需的水资源数量来表示产品对水资源依赖程度大小，因此使用单位价值产品生产中所需要的水资源数量来对区域经济系统的虚拟水含量进行表征。这里，我们将n个产业部门产品的虚拟水含量分别以vw1，vw2，…vwn来表示，不妨假设各产品虚拟水含量在一段时间内保持不变。

上面的方程中，Y（t）是一个n行列向量，代表了n个产业部门的产出，因此对于产业部门i来说，有：

上式即为可计算非线性动态水资源I-O模型的标准形式。可见，可计算非线性动态水资源I-O模型依然保持了与传统列昂惕夫投入产出模型基本一致的形式，但两者的一个重要区别是，静态投入产出模型中的最终需求包括了最终消费和投资需求，尽管将固定资产的投资与需求也包含在内，但分不清投资结构与消费结构，而可计算非线性动态水资源I-O模型则定义了固定资产使用系数，将最终需求中的消费需求与投资需求分开，从理论上对后者进行了完善，更为清晰的表述区域经济系统中的投入产出关系。

与一般性的非线性动态投入产出模型一样，非线性动态水资源投入产出模型考虑了区域经济发展中资本与劳动的相互替代规律，更为贴近区域经济的发展实际。式中，A矩阵中的元素与一般性的非线性动态水资源投入产出模型完全相同，系数矩阵B和T中的元素仍是价格的函数，可以依照实际数据进行参数估计，因而是可计算的投入产出模型。需要说明的是，尽管我们在数学方程的表达上对两个投入产出模型采用了相同的参数表示形式，但模型中参数的现实意义却并不相同。或者说，区域经济系统和水资源系统的非线性动态I-O模型拥有相同的数学表达形式，但参数的量纲是明显存在区别的。特别的，对于可计算非线性动态水资源I-O模型而言，尽管这里对其参数的现实意义难以立刻给出合理的解释，但这并不影响模型的计算分析。至此，我们已经将可计算非线性动态产出模型从一般形式扩展至水资源领域，根据该模型，可以对区域经济系统中各产业部门间的虚拟水流动，进行更加客观、精确的测算。

5 小 结

本文在传统静态水资源投入产出模型的基础上，引入可计算非线性动态投入产出理论，通过区域经济系统生产、价格以及实物平衡方程的列写，阐述了将区域经济系统非线性动态投入产出模型从一般性分析向水资源领域的转换思路，建立了测算区域经济系统中虚拟水贸易的投入产出分析框架。需要说明的是，由于联立方程组涉及的变量及参数较多，大大超过了方程的数量，使得模型的求解过程变得十分复杂，限于篇幅限制这里不再进行专门阐述。

在后续工作中，我们将重点讨论该模型的参数估计思路及求解方法，利用庇隆-弗罗宾纽斯定理（P-F定理）、Jordan分解定理及GaussSeidel迭代運算思想，对经济系统平衡增长路径的存在性和唯一性进行分析，对基于可计算非线性动态I-O模型的虚拟水测算方法展开探讨，并通过著名的“快车道”定理，推导最优增长路径下区域经济系统产出结构与用水结构的求解思路。同时，结合虚拟水贸易对区域经济的作用机理[30]，回答如何基于以上模型计算对最优增长路径下实施虚拟水贸易对区域经济增长的贡献。

（编辑：李 琪）

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