基于参数估计和Kalman滤波的单通道盲源分离算法

摘 要： 针对存在频谱混叠通信信号的单通道盲源分离（single channel blind source separation， SCBSS）问题，提出一种基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法。首先，针对根多重信号分类（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法在相近载频估计方面的局限性，提出一种自适应的Root-MUSIC算法，对接收到的盲混合信号的源信号数目和载频进行估计;其次，将Kalman滤波的思想引入到SCBSS算法中，根据估计得到的源信号参数构造信号模型，将其作为Kalman滤波系统的观测向量，执行“时间更新”和“测量更新”两个过程，得到源信号的最佳估计，实现单通道盲源分离。仿真结果表明，所提算法能够有效地从存在频谱混叠的单路接收信号中准确地分离出多路源信号，比传统的算法分离精度高，运算速度快。

关键词： 单通道盲源分离; 卡尔曼滤波; 参数估计; 通信信号处理

中图分类号： TN 911

文献标志码： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.32

Single-channel blind source separation algorithm based on parameter

estimation and Kalman filter

FU Weihong^*， ZHOU Yufei， ZHANG Xinyu， LIU Naian

（School of Telecommunications Engineering， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract： Aiming at the problem of single channel blind source separation （SCBSS） for communication signals with spectrum aliasing， a SCBSS algorithm based on parameter estimation and Kalman filtering is proposed. Firstly， in view of the limitation of root multiple signal classification （Root-MUSIC） algorithm in the estimation of similar carrier frequencies， an adaptive Root-MUSIC algorithm is proposed to estimate the number of source signals and carrier frequencies of the received blind mixed signals. Secondly， the idea of Kalman filtering is introduced into the SCBSS algorithm， and the signal model is constructed according to the estimated source signal parameters， which is used as the observation vector of the Kalman filtering system， and the two processes of “time update” and “measurement update” are performed to obtain the best estimation of the source signals and realize the single channel blind source separation. Simulation results show that the proposed algorithm can effectively and accurately separate multi-channel source signals from single channel received signal with spectrum aliasing， and has higher separation accuracy and faster operation speed than traditional algorithms.

Keywords： single channel blind source separation （SCBSS）; Kalman filtering; parameter estimation; communication signal processing

0 引 言

单通道盲源分离^［1-3］（single channel blind source separation， SCBSS）算法能够有效地避免多传感器接收信号所造成的系统复杂、造价昂贵以及设备体积过大等问题，成为信号处理^［4］、机械故障诊断^［5-6］、生物医学^［7-9］等领域的一大研究热点。但SCBSS可供利用的信息较少，是一个极端病态问题，需要充分挖掘和利用信号本身的一些特性来对其进行分离，解决此问题具有挑战性。针对SCBSS问题，较为常用的是虚拟多通道法，该方法将单传感器接收的混合信号扩展为多路信号从而满足经典盲源分离算法的要求，如集合经验模态分解^［10-14］（ensemble empirical mode decomposition， EEMD）算法和变分模态分解^［15-21］（variational mode decomposition， VMD）算法，但该类算法存在自适应性差、迭代次数多、运行速度慢的缺点。除虚拟多通道法外，还可以采用稀疏分量分析^［22-23］和基于混合信号状态空间估计的算法。根据接收到的观测信号对源信号的先验信息进行估计，从而构造状态空间，再通过对状态的迭代更新得到源信号的最佳估计。Lyu等^［24］将小波变换^［25-26］与Kalman滤波^［27］结合，利用非线性主成分分析实现了盲源分离;Langkam等^［28］提出了一种基于Kalman滤波的双参数估计方法，解决了线性盲源分离问题;宋宇霄^［29］利用源信号的时序结构，提出了一种将Kalman估计与SCBSS相结合的算法，用于实现盲源分离;Dutt等^［30］提出了一种基于双扩展Kalman滤波器的状态参数估计算法，消除了独立分量分析法固有频率不相交和统计独立性的限制，实现了快速收敛的单通道盲源分离。但目前现有的算法往往存在收敛速度较差、复杂度较高的问题。

基于上述研究，为了提高SCBSS分离的准确性，提高运算效率，降低复杂度，本文提出了一种基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法。该算法首先利用改进的自适应根多重信号分类（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法进行源信号数目及载频的估计，利用相干解调原理进行源信号相位的估计;然后利用估计得到的源信号参数重构源信号，并将其作为Kalman滤波系统的观测值，对Kalman滤波系统进行初始化;最后通过Kalman滤波对信号状态不断地进行校正和更新，得到源信号的最佳估计，实现单通道盲源分离。

1 SCBSS信号模型

假设接收到的单通道混合信号是由多个独立的相移键控（phase shift keying， PSK）调制信号与高斯白噪声线性叠加而成，各个PSK调制信号在时域上完全混叠，在频域上存在不同程度的混叠。单通道混合信号的模型可以表示为

x（t）=∑Ni=1A_is_i（t），i=1，2，…，N（1）

式中：s_i（t）（i=1，2，…，N）表示第i个PSK调制信号;A_i表示第i个混合系数;（t）表示高斯白噪声。

将PSK调制信号表示为复信号形式

s_PSK（t）=∑ni=1g_T（t－iT）e^{j（2πfct+φi）}=e^{j2πfct+∑ni=1φigT（t－iT）}（2）

式中：f_c表示载频;n表示总码元数;T表示码元宽度;g_T（t）表示幅度为 1、宽度为T的矩形脉冲，在0≤t≤T区间内，g_T（t）=1；在其余区间，g_T（t）均为 0。φ_i表示第i个调制码元对应的相位，φ_i∈{2π（r－1）/R，r=1，2，…，R}，R表示调制阶数。由此可以得到，对于PSK调制的信号，其相位调制可以表示为

φ（t）=2πf_ct+∑ni=1φ_ig_T（t－iT）（3）

对于PSK调制信号，相位信息决定其自身特性，而相位调制中的两个重要参数为载波频率和调制码元对应的相位。因此，对这两个参数进行估计是完整构建PSK调制信号的前提。通过对PSK信号进行相干解调得到信号基带码元a_i∈（r－1）（i=1，2，…，n）根据基带码元与码元对应相位之间的关系φ_i=2πa_i/R，即可对PSK信号的相位进行估计。

相干解调的前提是已知信号的载频，本文提出一种基于自适应Root-MUSIC的参数估计算法，根据估计得到的载频以及相位就可以利用式（2）所述的模型重构出源信号，得到源信号的初步估计。

2 基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法2.1 基于自适应Root-MUSIC的参数估计算法

MUSIC算法是空间谱估计领域中应用十分广泛的经典算法，该算法通过对接收到的信号的协方差矩阵进行特征分解，得到两个相互正交的子空间：信号子空间和噪声子空间。然后，搜索空间谱峰，实现对信号参数的估计。Root-MUSIC算法是一种通过构造多项式并求根从而代替原MUSIC算法中谱峰搜索过程的算法，该算法使求解过程更加简便，减小了运算量，具有更好的性能和更优越的分辨力，从而被应用于信号参数（如信号源数目、频率、时延等）的估计中。

假设接收到的信号为

式中：x（t）=［x₁（t），x₂（t），…，x_M（t）］^T表示接收到的数据矢量;s（t）=［s₁（t），s₂（t），…，s_N（t）］^T表示入射信号矢量;a（θ_i）表示第i（i∈{1，2，…，N}）个信号对应的阵列方向矢量;（t）=［₁（t），₂（t），…，_M（t）］^T表示高斯白噪声矢量;σ²表示高斯白噪声的方差。为方便表示，后续将省略x（t）、s（t）和n（t）中的时间变量t。

由于信号与噪声之间相互独立，输入阵列数据的协方差矩阵可表示为与信号、噪声相关的两部分，即：

R_xx=E［xx^H］=AE［ss^H］A^H+E［nn^H］=AR_ssA^H+σ²I（5）

式中：R_ss=E［ss^H］表示信号s的自相关矩阵。

对R_xx进行特征值分解，得到M个特征值{λ₁，λ₂，…，λ_M}，将其从大到小进行排列，则有λ₁≥λ₂≥…≥λ_Ngt;λ_N+1≈…≈λ_M≈σ²，其中前N个大特征值对应的特征向量组成信号子空间，后（M－N）个近似相等的小特征值对应的特征向量组成噪声子空间，两个子空间之间相互正交。

令噪声矩阵为

V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］（6）

定义一个关于z的多项式：

f（z）=q^H_ip（z） i=N+1，…，M（7）

式中：q_i是协方差矩阵R_xx中的（M－N）个噪声特征值对应的特征向量，p（z）=［1，z，…，z^M－1］^T是关于z的多项式。当z=exp（jω）， ω=2πdsin（θ）/λ时，表示多项式的根z都落在单位圆上，p（z）=p（exp（jω））。p（z）表示一个频率为ω的信号导向矢量，属于信号子空间。因此，式（7）可以表示为

f（z）=p^H（z）V_nV^H_np（z）（8）

对f（z）求根就可以得到信号源到达方向的信息。但多项式中存在的共轭项z^*增加了求解过程的复杂度。已知z=exp（jω），则有z^*=exp（－jω），zz^*=1，z^*=1/z。对多项式进行修改，得到修正的Root-MUSIC算法表达式：

f（z）=z^M－1pT（z^－1）V_nV^H_np（z）（9）

式中：f（z）为2（M－1）阶的多项式，有M－1对共扼对称的根，即当f（z）其中一个根为z₀时，则必然存在另一个为z^*₀的根。在理论意义上，在M－1对根中应该有N对根位于单位圆上，但在实际情况下，噪声的存在会使协方差矩阵的估计产生误差，因此只需要得到N个接近于单位圆的根。

Root-MUSIC算法通过在M－1对根中选择N个最接近单位圆的根的方式实现对信号入射方向的估计。但是，这种选择方式存在一定的问题，当最接近单位圆的根中恰好有来自同一个信号源的共轭对称的根时，估计将不再准确。由此，本文提出一种自适应Root-MUSIC算法，选择N个最接近单位圆且来自不同信号的根实现对信号入射方向的估计：在选择最小的N个误差时，对误差对应的归一化频率进行观察，判断频率是否相等，对相等的归一化频率对应的误差只选择其中一个，直到找到N个对应不同归一化频率的误差，从而得到N个不同的信号载频。

在单通道盲源信号分离中，只有一路接收信号，因此需要对其进行处理后构造多通道信号矩阵，然后利用自适应Root-Music算法估计信号参数，具体步骤如下：

步骤 1 初始化参数设置： 下变频的载频为f_low，降采样的频率为F_s2，重构通道数为M，混合信号的数据长度为L。

步骤 2 对接收到的单通道混合信号x（t）进行下变频和降采样预处理，得到x″（t）;

步骤 3 构造M×（L－M）维的样本矩阵

计算其协方差矩阵R_X～=1L－M∑L－Mi=1X～（i）X～^H（i），其中X～（i）表示矩阵X～的第i列;

步骤 4 对协方差矩阵R_X～进行特征值分解，并将特征值按照降序排序，根据最小特征值的重数K;估计源信号个数N=M－K;

步骤 5 根据M－N个小特征值对应的特征向量q_N+1，q_N+2，…，q_M构造噪声子空间矩阵V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］;

步骤 6 构造多项式求根公式f（z）=z^M－1pT（z^－1）·V_nV^H_np（z），并对多项式求解得到M－1对根z_i，i=1，2，…，2（M－1）;

步骤 7 求解复数根z_i（i=1，2，…，2（M－1））的相位角ϕ_i（i=1，2，…，2（M－1）），并将其转换为对应的归一化频率f-_i=ϕ_i/（2π）（i=1，2，…，2（M－1））;

步骤 8 计算2（M－1）个根与单位圆之间的误差e_i=|z_i|－1，i=1，2，…，2（M－1），将误差按照从小到大顺序排列，找到最小的N个误差，同时判断误差对应的归一化频率是否相等。当归一化频率相等时，i′→i+1，继续对下一个误差进行判断，直到找到N个归一化频率不同的误差，即N个最接近单位圆的根;

步骤 9 将N个根对应的归一化频率保留两位小数为f-_i（i=1，2，…，N），将f-_i与信号的采样频率F_s2相乘，再与下变频的频率f_low相加，得到源信号的载频估计f^_ci=f-_i·F_s2+f_low， i=1，2，…，N。

2.2 基于Kalman滤波的SCBSS算法

针对SCBSS问题，可以采用基于混合信号状态空间估计的算法。Kalman滤波是一种用于在状态空间模型中估计状态向量的重要技术，是一种建立在线性最小均方误差基准上的最优估计，具有计算量小、稳定性高、可靠性强的优点。Kalman滤波算法由“时间更新”（也称为预测）和“测量更新”（也称为校正）两个步骤组成。在时间更新过程中，会根据前一时刻的状态估计来生成当前时刻的状态估计;在测量更新过程中，会将当前时刻的先验预测与当前时刻的测量相结合，来修改和更新状态估计。将Kalman滤波算法应用于解决单通道盲源信号分离问题，将得到的源信号初步估计值作为Kalman滤波的观测值，通过不断的时间更新和测量更新得到源信号的最佳估计，从而实现混合信号的SCBSS。

Kalman滤波的预测部分包含状态变量的预测和误差协方差矩阵的预测，通过前一状态来预测当前状态X^_k/k－1，并对先验误差协方差矩阵P^_k/k－1进行估计，该过程也可以称为时间更新过程;校正部分包括Kalman增益矩阵的计算、状态变量的估计和误差协方差矩阵的估计，利用Kalman增益K_k和k时刻的观测值Z_k对X^_k/k－1进行校正，得到状态向量的最小均方误差估计（也就是最优估计X^_k），对P^_k/k－1进行校正，得到后验估计误差协方差P_k。在任一时刻，Kalman滤波只需要知道当前最新的测量数据和上一时刻的最优估计值，便可通过递推的方式得到当前状态的最优估计值，因此减少了数据存储量，提高了运算速度。

在Kalman滤波系统中，观测变量Z_k是已知的，只要给定了状态变量估计的初始值X^₀和估计误差协方差矩阵的初始值P₀，Kalman滤波就可以通过不断递推和修正的方式计算出k时刻状态变量的最优估计X^_k。在基于Kalman滤波的单通道信号盲源分离系统中，Z_k是利用第2.1节中提出的算法估计得到的参数重构后的源信号的初始估计值。

基于Kalman滤波的单通道盲源信号分离算法具体实现过程如下：

步骤 1 初始化状态变量的初始估计值X^₀=［000］^T，协方差矩阵的初始估计误差值P₀=1_3×3，观测矩阵H=［1， 0， 0］，观测噪声的协方差矩阵R=10^－4I，状态转移矩阵Φ为随机产生的3×3的矩阵，初始化过程中噪声的协方差矩阵Q=10^－4I，将源信号的初始估计s_PSK（t）作为Kalman滤波的系统观测变量Z_k;

步骤 2 使用转移矩阵Φ对状态变量的下一个状态进行预测

X^_k/k－1=ΦX^_k－1;

步骤 3 对误差协方差矩阵进行预测

P^_k/k－1=ΦP_k－1Φ^T+Q;

步骤 4 计算Kalman增益

K_k=P^_k/k－1H^T（HP^_k/k－1H^T+R）^－1;

步骤 5 对状态变量估计进行更新

X^_k=X^_k/k－1+K_k（Z_k－H_kX^_k/k－1）;

步骤 6 对误差协方差矩阵进行更新

P_k=（I－K_kH）P^_k/k－1;

步骤 7 在当前时刻k小于信号数据长度L时，k′→k+1，返回算法步骤2继续进行更新;否则，得到状态变量的最佳估计值X^_k，X^_k即为源信号的最佳估计。

2.3 基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法流程

基于上述研究，本小节对基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法实现过程进行总结，具体流程如下：

步骤 1 利用第2.1节提出的自适应Root-MUSIC算法对预处理后的信号x″（t）的源信号数目N及载频f^_ci进行估计，其中，i=1，2，…，N;

步骤 2 对混合信号x（t）进行相干解调，得到相位估计{φ^_n};

步骤 3 根据得到的参数估计，利用式（2）所述模型重构源信号，得到源信号的初步估计s_PSKi（t）;

步骤 4 将得到的s_PSKi（t）作为Kalman滤波的系统观测变量Z_ki;

步骤 5 根据第2.2节的步骤进行Kalman滤波，对源信号的状态不断迭代更新，得到源信号的最佳估计y_i（t）（i=1，2，…，N），实现单通道混合信号的盲源分离。

3 仿真实验与性能分析

3.1 算法可行性仿真

本节对基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法进行仿真，验证其对频谱混叠通信信号分离的有效性。本节采用PSK调制、升余弦脉冲成型的源信号进行仿真实验，两路源信号s₁（t）和s₂（t）的滚降系数α～均为0.5，带通采样速率F_s1均为20 MHz，符号速率R_b均为0.2 MHz，信号调制类型分别为二进制相移键控（binary phase shift keying， BPSK）调制和正交相移键控（quadrature phase shift keying， QPSK）调制，载频频率f_i分别为5 MHz和5.2 MHz。生成均值为0、方差为1的随机高斯白噪声n（t），与两路源信号线性叠加构成单通道混合观测信号x（t）=s₁（t）+s₂（t）+n（t），混合信号x（t）的信噪比设置为10 dB。对混合信号x（t）进行下变频和降采样操作，下变频载频设置为f_low=4.84 MHz，降采样频率设置为F_s2=4 MHz，得到预处理后的信号x″（t）。设置重构通道数为10，即M=10，利用自适应Root-MUSIC算法对预处理后的信号x″（t）的信号源数目和载频频率进行估计，得到信号源个数为N=2，载频频率分别为5 MHz和5.2 MHz，与源信号的真实载频相同，表明自适应Root-MUSIC算法实现了对频谱混叠信号相近载频的准确估计。计算最终得到的信号y₁（t）和y₂（t）与源信号s₁（t）和s₂（t）之间的相关系数，结果分别为0.90和089，估计信号y₁（t）和y₂（t）与源信号s₂（t）和s₁（t）之间的相关系数则分别为0.07和0.029。由此可见，分离信号y₁（t）与源信号s₁（t）对应，y₂（t）与s₂（t）对应。分离信号与源信号之间具有很强的相关性。计算分离信号与对应源信号之间的误码率均为0。

为了更加直观地观察估计信号的分离效果，可以借助于信号的星座图。混合信号的星座图以及分离后估计得到的两路源信号星座图如图1～图3所示。

从图1～图3可以看出，本文提出的SCBSS算法很好地恢复出两路源信号。

3.2 所提算法对不同调制源信号的分离性能

本节将改变源信号的调制方式，混合信号的频谱中存在混叠，仿真本文所提算法对不同调制方式源信号的分离性能，分别仿真了两路源信号分别为BPSK+BPSK、BPSK+QSPK、QPSK+QPSK以及BPSK+8PSK时的结果，其他参数与第3.1节中所述一致。

源信号和估计信号之间的相关系数随信噪比变化的曲线如图4所示。从图4可以看出，本文所提SCBSS算法分离出来的信号与源信号之间具有很强的相关性，当信噪比大于5 dB时，相关系数在0.85以上。

可以看到，源信号调制方式对本文提出的基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法性能影响不大，所提算法可以对单通道接收的多个频谱混叠的不同调制方式的源信号实现准确的分离和估计，具有良好的性能表现。

3.3 所提算法对不同源数目混合信号的分离性能

本节将改变源信号的混合源数目，混合信号的频谱中存在混叠，分别仿真了两路和三路源信号时的结果，源信号均为BPSK信号，其他参数与第3.1节中所述一致。

图5给出了估计信号解调后得到的误码率曲线，从图中可以看到本文提出的算法能分离出两路或多路源信号，只是随着源信号个数的增加，分离效果会变差。

3.4 本文所提算法与现有算法性能对比实验

本节将本文所提基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法与经典SCBSS算法EEMD和VMD进行对比，仿真时两路源信号调制方式均为BPSK，其他参数与第3.1节中所述参数一致，其一次仿真所用时间如表1所示。

由表1可以看到，本文提出的基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法的运行时间远少于VMD算法和EEMD算法。

不同算法得到的估计信号与源信号之间的平均相关系数、误码率随信噪比变化的曲线分别如图6、图7所示。从图6可以看出，本文提出的基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法分离后得到的信号与源信号之间的相关系数明显高于VMD算法和EEMD算法，当信噪比为5 dB时，本文提出的盲源信号分离算法相关系数高达0.9，而VMD算法和EEMD算法对应的相关系数只有0.55和035左右。由图7可以看出，当误码率为10^-5时，本文所提的基于参数估计和Kalman滤波的单通道信号盲源分离算法所需信噪比为7 dB，而VMD算法和EEMD算法所需的信噪比分别为11 dB和17 dB，因此本文所提算法分离精度和运算速度均明显优于基于VMD和EEMD的SCBSS算法。

4 结 论

本文提出了一种基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法。针对Root-MUSIC算法不能准确估计频谱混叠混合信号相近载频的局限性，提出一种自适应Root-MUSIC算法，从而实现了对不同源信号的载频估计，提高了载频估计的准确性;将传统Kalman滤波算法与SCBSS相结合，利用估计的源信号参数重构源信号，将源信号的初步估计作为Kalman滤波系统的观测值，给定系统相关的初始值，通过不断的预测和校正，最终得到源信号的最佳估计。通过仿真实验验证了所提算法的可行性和有效性。仿真结果表明，本文所提基于参数估计和Kalman滤波的SCBSS算法可以从频谱混叠的混合信号中分离出多个源信号，得到的估计信号与源信号之间具有很强的相关性，且准确无误地恢复了源信号的码元信息，具有良好的分离性能和较低的算法复杂度，同时与基于EEMD的SCBSS算法和基于VMD的SCBSS算法相比，本文所提算法自适应性更强，收敛速度更快，分离效果更好，优势更加明显。

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作者简介

付卫红（1979—），女，副教授，博士，主要研究方向为盲信号处理、雷达目标成像。

周雨菲（1997—），女，硕士研究生，主要研究方向为通信信号的盲源分离。

张鑫钰（1999—），男，硕士研究生，主要研究方向为通信信号的盲源分离。

刘乃安（1966—），男，教授，博士，主要研究方向为无线通信。